Дисперсия
непрерывной случайной величины X , возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством:
Назначение сервиса . Онлайн калькулятор предназначен для решения задач, в которых заданы либо плотность распределения f(x) , либо функция распределения F(x) (см. пример). Обычно в таких заданиях требуется найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение, построить графики функций f(x) и F(x) .
Инструкция . Выберите вид исходных данных: плотность распределения f(x) или функция распределения F(x) .
Задана плотность распределения f(x): 
Задана функция распределения F(x): 
Непрерывная случайна величина задана плотностью вероятностей 
(закон распределения Релея – применяется в радиотехнике). Найти M(x) , D(x) .
Случайную величину X называют непрерывной
, если ее функция распределения F(X)=P(X < x) непрерывна и имеет производную.
Функция распределения непрерывной случайной величины применяется для вычисления вероятностей попадания случайной величины в заданный промежуток:
P(α < X < β)=F(β) - F(α)
причем для непрерывной случайной величины не имеет значения, включаются в этот промежуток его границы или нет:
P(α < X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Плотностью распределения
непрерывной случайной величины называется функция
f(x)=F’(x) , производная от функции распределения.
Свойства плотности распределения
1. Плотность распределения случайной величины неотрицательна (f(x) ≥ 0) при всех значениях x.2. Условие нормировки:
Геометрический смысл условия нормировки: площадь под кривой плотности распределения равна единице.
3. Вероятность попадания случайной величины X в промежуток от α до β может быть вычислена по формуле
Геометрически вероятность попадания непрерывной случайной величины X в промежуток (α, β) равна площади криволинейной трапеции под кривой плотности распределения, опирающейся на этот промежуток.
4. Функция распределения выражается через плотность следующим образом:
Значение плотности распределения в точке x не равно вероятности принять это значение, для непрерывной случайной величины речь может идти только о вероятности попадания в заданный интервал. Пусть , имеем
, 
; cледовательно,
| (19) |
Таким образом, вероятность попадания дискретной случайной величины в интервал равна приращению функции распределения на этом интервале.
Рассмотрим основные свойства функции распределения.
1°. Функция распределения является неубывающей.
В самом деле, пусть < . Так как вероятность любого события неотрицательна, то 
. Поэтому из формулы (19) следует, что 
, т.е. 
.
2°. Значения функции распределения удовлетворяют неравенствам
.
Это свойство вытекает из того, что F(x)
определяется как вероятность [см. формулу (18)]. Ясно, что * и .
3°. Вероятность того, что дискретная случайная величина примет одно из возможных значений xi, равна скачку функции распределения в точке xi
.
Действительно, пусть xi
- значение, принимаемое дискретной случайной величиной, и . Полагая в формуле (19) , , получим
Т.е. значение p(xi)
равно скачку функции ** xi
. Это свойство наглядно иллюстрируется на рис. 4 и рис. 5.
* Здесь и в дальнейшем введены обозначения: 
, 
.
** Можно показать, что F(xi)=F(xi-0)
, т.е. что функция F(x)
непрерывна слева в точке xi
.
3. Непрерывные случайные величины.
Кроме дискретных случайных величин, возможные значения которых образуют конечную или бесконечную последовательность чисел, не заполняющих сплошь никакого интервала, часто встречаются случайные величины, возможные значения которых образуют некоторый интервал. Примером такой случайной величины может служить отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе. Такого рода, случайные величины не могут быть заданы с помощью закона распределения вероятностей р(х)
. Однако их можно задать с помощью функции распределения вероятностей F(х)
. Эта функция определяется точно так же, как и в случае дискретной случайной величины:
Таким образом, и здесь функция F(х)
определена на всей числовой оси, и ее значение в точке х
равно вероятности того, что случайная величина примет значение, меньшее чем х
.
Формула (19) и свойства 1° и 2° справедливы для функции распределения любой случайной величины. Доказательство проводится аналогично случаю дискретной величины.
Случайная величина называется непрерывной
, если для нее существует неотрицательная кусочно-непрерывная функция* , удовлетворяющая для любых значений x
равенству
Исходя из геометрического смысла интеграла как площади, можно сказать, что вероятность выполнения неравенств равна площади криволинейной трапеции с основанием , ограниченной сверху кривой (рис. 6).
Так как , а на основании формулы (22)
Заметим, что для непрерывной случайной величины функция распределения F(х)
непрерывна в любой точке х
, где функция непрерывна. Это следует из того, что F(х)
в этих точках дифференцируема.
На основании формулы (23), полагая x 1 =x
, , имеем
В силу непрерывности функции F(х)
получим, что
Следовательно
Таким образом, вероятность того, что непрерывная случайная величина может принять любое отдельное значение х, равна нулю
.
Отсюда следует, что события, заключающиеся в выполнении каждого из неравенств
Имеют одинаковую вероятность, т.е.
В самом деле, например,
Так как
Замечание.
Как мы знаем, если событие невозможно, то вероятность его наступления равна нулю. При классическом определении вероятности, когда число исходов испытания конечно, имеет место и обратное предложение: если вероятность события равна нулю, то событие невозможно, так как в этом случае ему не благоприятствует ни один из исходов испытания. В случае непрерывной случайной величины число возможных ее значений бесконечно. Вероятность того, что эта величина примет какое-либо конкретное значение x 1
как мы видели, равна нулю. Однако отсюда не следует, что это событие невозможно, так как в результате испытания случайная величина может, в частности, принять значение x 1
. Поэтому в случае непрерывной случайной величины имеет смысл говорить о вероятности попадания случайной величины в интервал, а не о вероятности того, что она примет какое-то конкретное значение.
Так, например, при изготовлении валика нас не интересует вероятность того, что его диаметр будет равен номиналу. Для нас важна вероятность того, что диаметр валика не выходит из поля допуска.
Определение функции распределения
Пусть $X$ – случайная величина, а $x$ – вероятность распределения этой случайной величины .
Определение 1
Функцией распределения называется функция $F(x)$ удовлетворяющая условию $F\left(x\right)=P(X
Также иначе функцию распределения иногда называются интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.
В общем виде график функции распределения представляет собой график неубывающей функции с областью значений, принадлежащей отрезку $\left$ (причем 0 и 1 обязательно входят в область значений). При этом функция может, как иметь, так и не иметь скачков функции (рис. 1)
Рисунок 1. Пример графика функции распределения
Функция распределения дискретной случайной величины
Пусть случайная величина $X$ является дискретной. И пусть для нее дан ряд её распределения. Для такой величины функцию распределения вероятностей можно записать в следующем виде:
Функция распределения непрерывной случайной величины
Пусть случайная величина $X$ теперь является непрерывной.
График функции распределения такой случайной величины всегда представляет собой неубывающую непрерывную функцию (рис. 3).
Рассмотрим теперь случай, где случайная величина $X$ является смешанной.
График функции распределения такой случайной величины всегда представляет собой неубывающую функцию, которая имеет минимальное значение в 0, максимальное значение в 1, но которая не на всей области определения является непрерывной функцией (то есть имеет скачки в отдельных точках) (рис. 4).
Рисунок 4. Функция распределения смешанной случайной величины
Примеры задач на нахождение функции распределения
Пример 1
Приведен ряд распределений появления события $A$ в трех опытах
Рисунок 5.
Найти функцию распределения вероятностей и построить её график.
Решение.
Так как случайная величина является дискретной, то мы можем пользоваться формулой $\ F\left(x\right)=\sum\limits_{x_i
При $x>3$, $F\left(x\right)=0,2+0,1+0,3+0,4=1$;
Отсюда получаем следующую функцию распределения вероятностей:
Рисунок 6.
Построим ее график:
Рисунок 7.
Пример 2
Проводится один опыт, в котором событие $A$ может, как произойти, так и не произойти. Вероятность того, что данное событие произойдет равно $0,6$. Найти и построить функцию распределения случайной величины.
Решение.
Так как вероятность того, что событие $A$ произойдет равно $0,6$, то вероятность того, что данное событие не произойдет равно $1-0,6=0,4$.
Построим для начала ряд распределения данной случайной величины:
Рисунок 8.
Так как случайная величина является дискретной, найдем функцию распределения по аналогии с задачей 1:
При $x\le 0$, $F\left(x\right)=0$;
При $x>1$, $F\left(x\right)=0,4+0,6=1$;
Таким образом, получаем следующую функцию распределения:
Рисунок 9.
Построим ее график:
Рисунок 10.
Мы установили, что ряд распределения полностью характеризует дискретную случайную величину. Однако эта характеристика не является универсальной. Она существует только для дискретных величин. Для непрерывной величины ряд распределения построить нельзя. Действительно, непрерывная случайная величина имеет бесчисленное множество возможных значений, которые сплошь заполняют некоторый промежуток. Составить таблицу, в которой были бы перечислены все возможные значения этой величины, невозможно. Следовательно, для непрерывной случайной величины не существует ряда распределения в том смысле, в каком он существует для дискретной величины. Однако различные области возможных значений случайной величины не являются одинаково вероятными, и для непрерывной величины все-таки существует «распределение вероятностей», хотя и не в том смысле, как для дискретной.
Для количественной характеристики этого распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностью события Р (Х = х ), состоящего в том, что случайная величина примет определенное значение х , а вероятностью события Р (Х <х ), состоящего в том, что случайная величина примет значение меньшее х . Очевидно, что вероятность этого события зависит от х , т.е. является некоторой функцией от х .
Определение. Функцией распределения случайной величины Х называется функция F (x ), выражающая для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х :
| F (x ) = P (X < x ). | (4.2) |
Функцию распределения называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения .
Функция распределения – самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует для всех случайных величин: как дискретных, так и непрерывных. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения.
Функция распределения допускает простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим случайную величину Х на оси Ох (рис. 4.2), которая в результате опыта может занять то или иное положение. Пусть на оси выбрана точка, имеющая значение х . Тогда в результате опыта случайная величина Х может оказаться левее или правее точки х . Очевидно, вероятность того, что случайная величина Х окажется левее точки х , будет зависеть от положения точки х , т.е. являться функцией аргумента х .
Для дискретной случайной величины Х , которая может принимать значения х 1 , х 2 , …, х n , функция распределения имеет вид
Найти и изобразить графически ее функцию распределения.
Решение. Будем задавать различные значения х и находить для них F (x ) = = P (X < x ).
1. Если х ≤ 0, то F (x ) = P (Х < х ) = 0.
2. Если 0 < х ≤ 1, то F (x ) = P (Х < х ) = P (Х = 0) = 0,08.
3. Если 1 < х ≤ 2, то F (x ) = P (Х < х ) = P (Х = 0) + P (Х = 1) = 0,08 + 0,44 = 0,52.
4. Если х > 2, то F (x ) = P (Х < х ) = P (Х = 0) + P (Х = 1) + P (Х = 2) = 0,08 + 0,44 + + 0,48 = 1.
Запишем функцию распределения.
Изобразим функцию распределения графически (рис. 4.3). Заметим, что при подходе слева к точкам разрыва функция сохраняет свое значение (про такую функцию говорят, что она непрерывна слева). Эти точки на графике выделены. ◄
Этот пример позволяет прийти к утверждению, что функция распределения любой дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений .
Рассмотрим общие свойства функции распределения.
1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей :
3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности равна единице , т.е.
Пример 4.3. Функция распределения случайной величины Х имеет вид:
Найти вероятность того, что случайная величина X примет значение в интервале и имеющих нулевую вероятность.
Однако представления о событии, имеющем отличную от нуля вероятность, но складывающемся из событий с нулевой вероятностью, не более парадоксально, чем представление об отрезке, имеющем определенную длину, тогда как ни одна точка отрезка отличной от нуля длиной не обладает. Отрезок состоит из таких точек, но его длина не равна сумме их длин.
Из этого свойства вытекает следующее следствие.
Следствие. Если Х – непрерывная случайная величина, то вероятность попадания этой величины в интервал (х 1 , х 2) не зависит от того, является ли этот интервал открытым или закрытым :
P (x 1 < X < x 2) = P (x 1 ≤ X < x 2) = P (x 1 < X ≤ x 2) = P (x 1 ≤ X ≤ x 2).
Функция распределения вероятностей и ее свойства.
Функцией распределения вероятностей F(x) случайной величины Х в точке х называется вероятность того, что в результате опыта случайная величина примет значение, меньше, чем х, т.е. F(x)=P{X < х}.
Рассмотрим свойства функции F(x).
1. F(-∞)=lim (x→-∞) F(x)=0. Действительно, по определению, F(-∞)=P{X < -∞}. Событие (X < -∞) является невозможным событием: F(-∞)=P{X < - ∞}=p{V}=0.
2. F(∞)=lim (x→∞) F(x)=1, так как по определению, F(∞)=P{X < ∞}. Событие Х < ∞ является достоверным событием. Следовательно, F(∞)=P{X < ∞}=p{U}=1.
3. Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала [Α Β] равна приращению функции распределения вероятностей на этом интервале. P{Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α).
4. F(x 2)≥ F(x 1), если x 2, > x 1 , т.е. функция распределения вероятностей является неубывающей функцией.
5. Функция распределения вероятностей непрерывна слева. FΨ(x o -0)=limFΨ(x)=FΨ(x o) при х→ x o
Различия между функциями распределения вероятностей дискретной и непрерывной случайных величин хорошо иллюстрировать графиками. Пусть, например, дискретная случайная величина имеет n возможных значений, вероятности которых равны P{X=x k }=p k , k=1,2,..n. Если x ≤ x 1 , то F(Х)=0, так как левее х нет возможных значений случайной величины. Если x 1 < x ≤ x 2 , то левее х находится всего одно возможное значение, а именно, значение х 1 .
Значит, F(x)=P{X=x 1 }=p 1 .При x 2 < x ≤ x 3 слева от х находится уже два возможных значения, поэтому F(x)=P{X=x 1 }+P{X=x 2 }=p 1 +p 2 . Рассуждая аналогично,приходим к выводу, что если х k < x≤ x k+1 , то F(x)=1, так как функция будет равна сумме вероятностей всех возможных значений, которая по условию нормировки равна еденице. Таким образом, график функции распределения дискретной случайной величины является ступенчатым. Возможные значения непрерывной величины располагаются плотно на интервале задания этой величины, что обеспечивает плавное возрастания функции распределения F(x), т.е. ее непрерывность.
Рассмотрим вероятность попадания случайной величины в интервал , Δx>0: P{x≤X< x+Δx}=F(x+ Δx)-F(x). Перейдем к пределу при Δx→0:
lim (Δx→0) P{x≤ X < x+Δx}=lim (Δx→0) F(x+Δx)-F(x). Предел равен вероятности того, что случайная величина примет значение, равное х. Если функция F(x) непрерывна в точке х, то lim (Δx→0) F(x+Δx)=F(x), т.е. P{X=x}=0.
Если F(x) имеет разрыв в точке х, то вероятность P{X=x} будет равна скачку функции в этой точке. Таким образом, вероятность появления любого возможного значения для непрерывной величины равна нулю. Выражение P{X=x}=0 следует понимать как предел вероятности попадания случайной величины в бесконечно малую окрестность точки х при P{Α< X≤ Β},P{Α ≤ X< Β},P{Α< X< Β},P{Α ≤ X≤ Β} равны, если Х - непрерывная случайная величина.
Для дискретных величин эти вероятности неодинаковы в том случае, когда границы интервала Α и(или) Β совпадают с возможными значениями случайной величин. Для дискретной случайной величины необходимо строго учитывать тип неравенства в формуле P{Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α).