Что значит "дифференциальное исчисление". Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление – это раздел анализа математического, связанный главным образом с понятиями производной и дифференциала функции. В дифференциальном исчислении изучаются правила вычисления производных (законы дифференцирования) и применения производных к исследованию свойств функций.

Центральные понятия дифференциального исчисления – производная и дифференциал – возникли при рассмотрении большого числа задач естествознания и математики, приводивших к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие среди них – физическая задача определения скорости неравномерного движения и геометрическая задача построения касательной к кривой. Рассмотрим подробно каждую из них.

Будем вслед за итальянским ученым Г. Галилеем изучать закон свободного падения тел. Поднимем камешек и затем из состояния покоя отпустим его. Пусть - время, отсчитываемое от начала падения, a - пройденное к моменту расстояние. Галилей экспериментально нашел, что зависимость имеет следующий простой вид:

где - время в секундах, а - физическая постоянная, равная примерно 9,8 м/с2.

Движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость падения постепенно возрастает. Но как именно выглядит зависимость ? Ясно, что, зная зависимость , т.е. закон движения падающего тела, мы в принципе должны иметь возможность получить отсюда и выражение для скорости как функции времени.

Попробуем найти зависимость от . Будем рассуждать следующим образом: фиксируем момент , в который мы хотим знать значение скорости . Пусть - небольшой промежуток времени, прошедший от момента . За это время падающее тело пройдет путь, равный . Если промежуток времени очень маленький, то скорость тела за время не успевает заметно измениться, поэтому можно считать, что если мало, то приближенно

, (1)

, (2)

причем последнее приближенное равенство тем точнее, чем меньше (чем ближе величина к нулю). Значит, величину скорости в момент можно рассматривать как предел, к которому стремится стоящее в левой части приближенного равенства (2) отношение, выражающее среднюю скорость на интервале времени от момента до момента , когда величина стремится к нулю.

Сказанное записывают в виде

. (3)

Проведем указанные в соотношении (3) вычисления, исходя из найденной Галилеем зависимости

Сделаем сначала элементарные вычисления:

а теперь, разделив на , получаем

Когда стремится к нулю, второе слагаемое записанной справа суммы тоже стремится к нулю, а первое остается постоянным, точнее, не зависящим от величины , поэтому в нашем случае

и мы нашли закон

изменения скорости свободно падающего тела. Обратите внимание, формула (3) одновременно дает и определение, и правило вычисления значений мгновенной скорости изменения функции .

Поскольку скорость сама есть функция времени, то можно было бы поставить вопрос о скорости ее изменения. В физике скорость изменения скорости называется ускорением. Таким образом, если - скорость как функция времени, то, рассуждая как и при выводе формулы (3), для мгновенного ускорения в момент времени получаем выражение

. (4)

«Открытие исчисления бесконечно малых дало математикам возможность свести законы движения тел к аналитическим уравнениям». Ж. Л. Лагранж

Посмотрим, что дает эта формула для случая свободного падения, в котором, как мы вычислили, :

и, поскольку - постоянная, то из (4) получается, что , т. е. ускорение свободно падающего тела постоянно и величина есть та самая физическая постоянная, которая выражает ускорение свободного падения у поверхности Земли.

Нетрудно заметить полное сходство выражений (3), (4) и понять, что мы нашли общее математическое выражение для мгновенной скорости изменения переменной величины. Конечно, результат вычислений по формулам (3), (4), как мы убедились, зависит от конкретного вида функций или но сами операции над этими функциями, которые предписываются правыми частями формул (3), (4), одни и те же.

Обобщая сделанные наблюдения, в математическом анализе уже для любой функции рассматривают важную величину:

, (5)

которую называют производной функции .

Производная, таким образом, играет роль скорости изменения зависимой переменной по отношению к изменению независимой переменной ; последняя теперь уже не обязана иметь физический смысл времени.

Значение производной зависит от значения аргумента , поэтому, как и в случае скорости, производная некоторой функции сама является функцией переменной .

В формуле (5) величину разности называют приращением аргумента функции и часто обозначают символом (читается: дельта икс), а разность обозначают обычно через (или, более полно через ) и называют приращением функции, соответствующим данному приращению аргумента. В этих обозначениях выражение (5) приобретает вид:

или .

Таким образом, значение производной функции в точке - это предел отношения приращения функции , соответствующего смещению от точки , к приращению аргумента , когда стремится к нулю.

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. С физической точки зрения, как мы теперь понимаем, дифференцирование – это определение скорости изменения переменной величины.

В дифференциальном исчислении выводятся производные основных элементарных функций. Укажем, например, что производными функций , , являются соответственно функции , и .

В дифференциальном исчислении выводятся также следующие общие правила дифференцирования:

(вынесение постоянного множителя);

(дифференцирование суммы и разности функций);

(дифференцирование произведения функций);

(дифференцирование частного функций).

Наконец, справедливо также следующее важное правило дифференцирования сложной функции: если , а , то производная функции равна , или .

Общие законы дифференцирования существенно облегчают отыскание производных, а для любых комбинаций элементарных функций делают дифференцирование столь же доступной операцией, как и арифметические действия для человека, знающего таблицу умножения.

Например, если - многочлен, то

ИСААК НЬЮТОН
(1643-1727)

В 1665 г. Исаак Ньютон окончил Кембриджский университет и собирался начать работу там же, в его родном Тринити-колледже. Однако чума, бушевавшая в Англии, заставила Ньютона уединиться на своей ферме, в Вулсторпе. «Чумные каникулы» затянулись почти на два года. «Я в то время был в расцвете моих изобретательских сил и думал о математике и философии больше, чем когда-либо позже», - писал Ньютон. Тогда и сделал молодой ученый почти все свои открытия в физике и математике. Он открыл закон всемирного тяготения и приступил с его помощью к исследованию планет. Он обнаружил, что 3-й закон Кеплера о связи между периодами обращения планет и расстоянием до Солнца с необходимостью следует, если предположить, что сила притяжения Солнца обратно пропорциональна квадрату расстояния до планеты.

Но чтобы исследовать и выражать законы физики, Ньютону приходилось заниматься и математикой. В Вулсторпе Ньютон, решая задачи на проведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных фигур, создает общий метод решения таких задач – метод флюксий (производных) и флюэнт, которые у Г. В. Лейбница назывались дифференциалами. Ньютон вычислил производную и интеграл любой степенной функции. О дифференциальном и интегральном исчислениях ученый подробно пишет в своей самой значительной работе по математике «Метод флюксий» (1670-1671), которая была опубликована уже после его смерти. В ней были заложены основы математического анализа. Ньютон также находит формулу для различных степеней суммы двух чисел (см. Ньютона бином), причем не ограничивается натуральными показателями и приходит к суммам бесконечных рядов чисел (см. Ряды). Ньютон показал, как применять ряды в математических исследованиях.

Когда Ньютон вернулся в Кембридж в 1666 г., он привез бесчисленные и бесценные результаты своих математических занятий в Вулсторпе. У него пока не было времени привести их в форму, пригодную для публикации, и он не торопится с этим. Дел у него прибавляется, в 1669 г. он получает физико-математическую кафедру. В 1672 г. его выбирают членом Лондонского королевского общества (английской Академии наук).

В 1680 г. Ньютон начинает работу над основным своим сочинением «Математические начала натуральной философии», в котором он задумал изложить свою систему мира. Выход книги был крупным событием в истории естествознания. В ней все величественное здание механики строится на основании аксиом движения, которые теперь известны под названием законов Ньютона.

В «Началах» Ньютон чисто математически выводит все основные известные в то время факты механики земных и небесных тел, законы движения точки и твердого тела, кеплеровы законы движения планет.

Многие математические труды Ньютона так и не были своевременно опубликованы. Первые его сравнительно подробные публикации относятся к 1704 г. Это работы «Перечисление кривых третьего порядка», где описаны свойства этих кривых, и «Рассуждения о квадратуре круга», посвященные дифференциальному и интегральному исчислениям.

В 1688 г. И. Ньютона выбирают в парламент, а в 1699 г. он переезжает в Лондон, где получает пожизненное место директора монетного двора.

Работы И. Ньютона надолго определили пути развития физики и математики. Значительная часть классической механики надолго сохранилась в виде, созданном Ньютоном. Закон всемирного тяготения постепенно осознавался как единый принцип, позволяющий строить совершенную теорию движения небесных тел. Созданный им математический анализ открыл новую эпоху в математике.

Или если , то, полагая , , получаем, что и, значит, .

Мы уже отмечали, что к вычислению пределов вида (3), (4), (5), т. е., как теперь можно говорить, к вычислению производной, приводили многие задачи.

Рассмотрим теперь другой классический пример уже чисто геометрического вопроса, который решается в терминах производной, - построение касательной к кривой (см. Касательная).

Требуется построить прямую (рис. 1), касательную в точке к кривой – графику функции .

«Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение». Ф. Энгельс

Как и в случае определения мгновенной скорости, построение касательной будет сопровождаться уточнением самого понятия касательной.

Пусть - координаты точки : как известно, любая не вертикальная прямая, проходящая через точку , задается уравнением ,

так называемый угловой коэффициент прямой, характеризующий ее наклон к горизонтальной оси. В нашем случае , поэтому уравнение прямой, проходящей через точку , имеет вид , и мы хотим выбрать значение коэффициента так, чтобы прямая была как можно лучше «подогнана» к кривой , т. е. лучше всего приближала нашу кривую в окрестности точки . Значит, мы хотим выбрать так, чтобы приближенное равенство , или, что то же самое, приближенное равенство

было возможно более точным при значениях , близких к .

Но это знакомая ситуация и, с точностью до переобозначений , , это знакомое нам отношение из формулы (5), следовательно,

Итак, найдено уравнение

той прямой, которая наилучшим образом приближает кривую в окрестности точки . Эту прямую естественно считать искомой касательной к данной кривой в рассматриваемой точке.

Например, если взять параболу , т.е. , то касательная к ней в точке в силу (7) будет задаваться уравнением , которое можно преобразовать к более компактному виду .

Выше мы дали физическую интерпретацию производной как мгновенной скорости, а теперь на основании уравнения касательной (7) можно дать геометрическую трактовку производной. А именно, значение производной функции в фиксированной точке есть угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

Это, в частности, означает, что на участках изменения переменной , на которых , функция возрастает; там, где , функция убывает, а в точках местных максимумов или минимумов функции ее производная должна обращаться в нуль, ибо касательная в этих точках горизонтальна. Ясно также, что если в некоторой точке производная обратилась в нуль, то нельзя спешить с выводом, что это точка максимума или минимума (см. точку ), ибо знак производной может не измениться при переходе через эту точку, и функция будет продолжать возрастать или убывать. Но если производная меняет свой знак при переходе через эту точку (см. точки ), то ясно, что при функция будет иметь или местный максимум, если идет смена знака с «» на «» (как в точках ), или местный минимум, если знаки меняются с «» на «» (как в точке ).

Сделанные наблюдения о связи знака или нулей производной с характером монотонности (возрастанием, убыванием) функции или с ее экстремумами (максимумами, минимумами) имеют многочисленные применения.

Попробуем, например, проволокой данной длины огородить такой прямоугольный участок луга, чтобы получить возможно более просторный загон для скота, т.е. среди прямоугольников с заданным периметром (т.е. среди изопериметрических прямоугольников) надо найти тот, который имеет наибольшую площадь.

Если - длина одной из сторон прямоугольника, то при указанном условии длина другой стороны равна , а площадь прямоугольника равна . Надо найти максимальное значение функции на отрезке . Поскольку при или функция, очевидно, обращается в нуль (прямоугольник вырождается в отрезок), то максимум достигается при каком-то значении , лежащем между 0 и . Как найти это значение?

В соответствии со сделанным выше наблюдением максимум значений функции может быть лишь при том значении , при котором скорость изменения функции равна нулю, т. е. .

Найдем, используя уже проведенные ранее вычисления, производную нашей функции. Поскольку , то и при . По самому смыслу задачи при найденном значении аргумента функция должна иметь именно максимум. Это можно проверить и формально:

При и при .

Таким образом, мы нашли, что искомым прямоугольником с наибольшей площадью является квадрат, длина стороны которого равна .

Решение единым методом различных задач на отыскание максимальных и минимальных значений функций, или, как их принято называть в математике, задач на отыскание экстремумов, является одним из ранних и вместе с тем наиболее популярных и впечатляющих достижений математического анализа (см. Геометрические задачи на экстремум).

До сих пор, следуя И. Ньютону, в качестве главного понятия дифференциального исчисления мы выделяли производную. Г. В. Лейбниц, другой родоначальник математического анализа, в качестве исходного выбрал понятие дифференциала, которое, как мы увидим, логически равноценно понятию производной, но не совпадает с ним. Лейбниц нашел правила вычисления дифференциалов, равноценные правилам отыскания производных, и назвал развитое им исчисление дифференциальным. Это название и сохранилось. Рассмотренные выше примеры помогут нам достаточно быстро разобраться в следующих, на первый взгляд формальных, но очень важных определениях всего дифференциального исчисления.

Функция называется дифференцируемой при некотором значении ее аргумента, если приращение этой функции, отвечающее приращению ее аргумента , можно представить в виде

где - коэффициент, зависящий только от , а - величина, стремящаяся к нулю при , стремящемся к нулю.

Таким образом,

т.е. с точностью до погрешности , малой в сравнении с величиной приращения аргумента, приращение дифференцируемой в точке функции можно заменить величиной , линейной относительно приращения аргумента .

Эта приближающая линейная по функция называется дифференциалом исходной функции в точке и обозначается символом или, более полно, .

В каждой точке приближающая линейная функция , вообще говоря, своя, что отмечено зависимостью коэффициента от .

Поделив обе части равенства (8) на и учитывая, что величина стремится к нулю, когда стремится к нулю, получаем соотношение:

, (10)

позволяющее вычислять дифференциальный коэффициент и показывающее, что он просто-напросто совпадает со значением производной функции в точке .

Таким образом, если функция дифференцируема в точке , то в этой точке существует указанный в (10) предел, т.е. в ней существует производная и .

ГОТФРИД ВИЛЬГЕЛЬМ ЛЕЙБНИЦ
(1646-1716)

Математика не была его единственной страстью. С юных лет ему хотелось познать природу в целом, и математика должна была стать решающим средством в этом познании. Он был философом и лингвистом, историком и биологом, дипломатом и политическим деятелем, математиком и изобретателем. Научные и общественные планы Лейбница были грандиозны. Он мечтал о создании всемирной академии наук, о построении «универсальной науки». Он хотел выделить простейшие понятия, из которых по определенным правилам можно сформировать все сколь угодно сложные понятия. Лейбниц мечтал об универсальном языке, позволяющем записывать любые мысли в виде математических формул, причем логические ошибки должны проявляться в виде математических ошибок. Он думал о машине, которая выводит теоремы из аксиом, о превращении логических утверждений в арифметические (эта идея была воплощена в жизнь в нашем веке).

Но грандиозность замыслов уживалась у Лейбница с пониманием того, что может быть непосредственно осуществлено. Он не может организовать всемирную академию, но в 1700 г. организует академию в Берлине, рекомендует Петру I организовать академию в России. При организации Петербургской Академии наук в 1725 г. пользовались планами Лейбница. Он прекрасно умеет решать конкретные задачи и в математике: создает новый тип арифмометра, который не только складывает и вычитает числа, но и умножает, делит, возводит в степень и извлекает квадратные и кубические корни, решает трудные геометрические задачи. Вводит понятие определителя и закладывает основы теории определителей. И все же Лейбниц всегда стремился рассмотреть любой вопрос под самым общим углом зрения. Скажем, X. Гюйгенс замечает сохранение энергии на примере некоторых механических задач, а Лейбниц пытается преобразовать это утверждение во всеобщий закон природы, он рассматривает Вселенную в целом как вечный двигатель (предварительная формулировка закона сохранения энергии!).

Но особенно ярко проявились эти качества Лейбница, когда он, узнав о разнообразных математических и механических задачах, решенных Гюйгенсом, по совету последнего знакомится с работой Б. Паскаля о циклоиде. Он начинает понимать, что в решении этих разных задач спрятан общий, универсальный метод решения широкого круга задач и что Паскаль остановился перед решающим шагом, «будто на его глазах была пелена». Лейбниц создает дифференциальное и интегральное исчисления, которые в другом варианте были построены, но не опубликованы И. Ньютоном.

Ученый, занимавшийся разработкой универсального языка, понимает, какую роль в новом исчислении должна играть символика (см. Знаки математические). Без символики (которая сохранилась до наших дней в форме, предложенной Лейбницем) метод математического анализа не вышел бы за пределы узкого круга избранных (как это было с алгеброй до символики Виета-Декарта). Кстати, Лейбниц предложил несколько других математических знаков, например (равенство), (умножение). В отличие от Ньютона Лейбниц потратил много сил на передачу своего метода другим математикам, среди которых выделялись братья Якоб и Иоганн Бернулли. По его инициативе создается журнал, в котором группа математиков оттачивает методы нового математического анализа.

Смысл своей жизни Лейбниц видел в познании природы, в создании идей, помогающих раскрыть ее законы.

Обратно, если у функции в точке есть определенная равенством (5) производная, то

где поправка стремится к нулю, когда стремится к нулю. Умножая это равенство на , получаем

и значит, функция дифференцируема в точке .

Итак, мы убедились, что функция имеет дифференциал в том, и только в том, случае, когда она имеет производную , причем . Но дифференциал как линейная по функция вполне определяется коэффициентом , поэтому отыскание дифференциала функции вполне равносильно отысканию ее производной. Вот почему обе эти операции часто называют одним термином - «дифференцирование», а исчисление называют дифференциальным.

Если вместо писать , то вместо можно записать . Если взять , то и , поэтому вместо приращения независимой переменной часто пишут дифференциал . В этих обозначениях получается красивая запись дифференциала функции, от которой Лейбниц и пришел к обозначению для производной , рассматривая последнюю как отношение дифференциалов функции и ее аргумента. Заметим, что обозначение для производной было введено лишь в 1770 г. французским математиком Ж. Л. Лагранжем, а исходным было обозначение

Г. Лейбница, которое во многих отношениях настолько удачно, что широко используется и по сей день.

Прежде чем показать, как дифференциал можно использовать в приближенных вычислениях, проследим его геометрическую и физическую интерпретацию.

Если в равенстве (8) вместо написать , то можно считать, что на рис. 1 левой части равенства (8) отвечает отрезок (это приращение функции или приращение ординаты кривой ), дифференциалу отвечает отрезок (это приращение ординаты касательной, приближающей нашу кривую в окрестности точки ), а остатку соответствует отрезок , который тем меньше в сравнении с отрезком , чем меньше приращение аргумента. Именно это обстоятельство отражают соотношение (11) и приближенное равенство (9), означающее, что .., - его скорость, а, . Оказывается, соотношение (12) является частным случаем общего равенства, а с точностью, не худшей, чем .

Можно проверить, что в рассматриваемом случае при неограниченном увеличении , поэтому можно предложить такую запись:

Справа в этом равенстве стоит бесконечно много слагаемых, т.е., как говорят, имеется ряд. Равенство (16) понимается, как и вообще сумма ряда, в том смысле, что при любом значении разность между и суммой конечного числа взятых по порядку слагаемых ряда стремится к нулю, если количество слагаемых неограниченно увеличивается.

Ценность формул вида (15), (16) состоит в том, что они позволяют заменить вычисление значений сложной функции вычислением значений приближающего ее многочлена. Вычисление же значений многочлена сводится к одним арифметическим операциям, которые, например, можно выполнить на электронной вычислительной машине.

А равенство

известное в математике как бином Ньютона (см. Ньютона бином).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, раздел математического анализа, в котором изучаются производные, дифференциалы и их применение к исследованию функций. Дифференциальное исчисление сложилось как самостоятельная дисциплина во 2-й половине 17 века под влиянием трудов И. Ньютона и Г. В. Лейбница, в которых они сформулировали основные положения дифференциального исчисления и отметили взаимно обратный характер дифференцирования и интегрирования. С этого времени дифференциальное исчисление развивалось в тесной связи с интегральным исчислением, составляя вместе с ним основную часть математического анализа (или анализа бесконечно малых). Создание дифференциального и интегрального исчислений открыло новую эпоху в развитии математики, повлекло за собой появление ряда новых математических дисциплин (теории рядов, теории дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии, вариационного исчисления, функционального анализа) и существенно расширило возможности приложений математики к вопросам естествознания и техники.

Дифференциальное исчисление основывается на таких фундаментальных понятиях, как действительное число, функция, предел, непрерывность. Эти понятия приняли современный вид в ходе развития дифференциального и интегрального исчислений. Основные идеи и понятия дифференциального исчисления связаны с изучением функций в малом, т. е. в малых окрестностях отдельных точек, для чего требуется создание математического аппарата для исследования функций, поведение которых в достаточно малой окрестности каждой точки области их определения близко к поведению линейной функции или многочлена. Этот аппарат основан на понятиях производной и дифференциала. Понятие производной возникло в связи с большим числом различных задач естествознания и математики, приводящих к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие из этих задач - определение скорости движения материальной точки вдоль прямой линии и построение касательной к кривой. Понятие дифференциала связано с возможностью приближения функции в малой окрестности рассматриваемой точки линейной функцией. В отличие от понятия производной функции действительной переменной, понятие дифференциала легко переносится на функции более общей природы, в том числе на отображения одного евклидова пространства в другое, на отображения банаховых пространств в другие банаховы пространства и служит одним из основных понятий функционального анализа.

Производная . Пусть материальная точка движется вдоль оси Оу, а х обозначает время, отсчитываемое от некоторого начального момента. Описание этого движения даёт функция у = f(х), ставящая в соответствие каждому моменту времени х координату у движущейся точки. Эту функцию в механике называют законом движения. Важной характеристикой движения (особенно если оно является неравномерным) является скорость движущейся точки в каждый момент времени х (эту скорость называют также мгновенной скоростью). Если точка движется по оси Оу по закону у = f(х), то в произвольный момент времени х она имеет координату f(х), а в момент времени х + Δх - координату f(х + Δх), где Δх - приращение времени. Число Δy = f(х + Δх) - f(х), называемое приращением функции, представляет собой путь, пройденный движущейся точкой за время от х до х + Δх. Отношение

называемое разностным отношением, представляет собой среднюю скорость движения точки в промежутке времени от х до х + Δх. Мгновенной скоростью (или просто скоростью) движущейся точки в момент времени х называется предел, к которому стремится средняя скорость (1) при стремлении к нулю промежутка времени Δх, т. е. предел (2)

Понятие мгновенной скорости приводит к понятию производной. Производной произвольной функции у = f(х) в данной фиксированной точке х называется предел (2) (при условии, что этот предел существует). Производную функции у = f(х) в данной точке х обозначают одним из символов f’(х), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Операцию нахождения производной (или перехода от функции к её производной) называют дифференцированием.

К пределу (2) приводит и задача построения касательной к плоской кривой, определяемой в декартовой системе координат Оху уравнением у = f(х), в некоторой её точке М (х, у) (рис.). Задав аргументу х приращение Δх и взяв на кривой точку М’ с координатами (х + Δх, f(х) + Δх)), определяют касательную в точке М как предельное положение секущей ММ’ при стремлении точки М’ к М (т. е. при стремлении Δх к нулю). Т. к. точка М, через которую проходит касательная, задана, построение касательной сводится к определению её углового коэффициента (т. е. тангенса угла её наклона к оси Ох). Проведя прямую МР параллельно оси Ох, получают, что угловой коэффициент секущей ММ’ равен отношению

В пределе при Δх → 0 угловой коэффициент секущей переходит в угловой коэффициент касательной, который оказывается равным пределу (2), т. е. производной f’(х).

К понятию производной приводит и ряд других задач естествознания. Например, сила тока в проводнике определяется как предел lim Δt→0 Δq/Δt, где Δq - положительный электрический заряд, переносимый через сечение проводника за время Δt, скорость химической реакции определяется как lim Δt→0 ΔQ/Δt, где ΔQ - изменение количества вещества за время Δt и, вообще, производная некоторой физической величины по времени является скоростью изменения этой величины.

Если функция у = f(х) определена как в самой точке х, так и в некоторой её окрестности, и имеет производную в точке х, то эта функция непрерывна в точке х. Пример функции у= |х|, определённой в любой окрестности точки х = 0, непрерывной в этой точке, но не имеющей производной при х = 0, показывает, что из непрерывности функции в данной точке, вообще говоря, не вытекает существование в этой точке производной. Более того, существуют функции, непрерывные в каждой точке своей области определения, но не имеющие производной ни в одной точке этой области определения.

В случае, когда функция у = f(х) определена только справа или только слева от точки х (например, когда х является граничной точкой отрезка, на котором задана эта функция), вводятся понятия правой и левой производных функции у = f(х) в точке х. Правая производная функции у = f(х) в точке х определяется как предел (2) при условии, что Δх стремится к нулю, оставаясь положительным, а левая производная - как предел (2) при условии, что Δх стремится к нулю, оставаясь отрицательным. Функция у = f(х) имеет в точке х производную тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке равные друг другу правую и левую производные. Указанная выше функция у =|х| имеет в точке х = 0 правую производную, равную 1, и левую производную, равную -1, и поскольку правая и левая производные не равны друг другу, эта функция не имеет производной в точке х = 0. В классе функций, имеющих производную, операция дифференцирования является линейной, т. е. (f(x) + g(x))’ = f’(x) + g’(x), и (αf(x))’ = αf’(x) для любого числа α. Кроме того, справедливы следующие правила дифференцирования:

Производные некоторых элементарных функций суть:

α - любое число, х > 0;

n = 0, ±1, ±2,

Производная любой элементарной функции снова является элементарной функцией.

Если производная f’(х), в свою очередь, имеет производную в данной точке х, то производную функции f’(х) называют второй производной функции у = f(х) в точке х и обозначают одним из символов f’’(х), y’’, ÿ, d 2 f/dx 2 , d 2 y/dx 2 , D 2 f(x).

Для материальной точки, движущейся вдоль оси Оу по закону у = f(х), вторая производная представляет собой ускорение этой точки в момент времени х. Аналогично определяются производные любого целого порядка n, обозначаемые символами f (n) (x), y (n) , d (n) f/dx (n) , d (n) y/dx (n) , D (n) f(x).

Дифференциал . Функция у = f(х), область определения которой содержит некоторую окрестность точки х, называется дифференцируемой в точке х, если её приращение в этой точке, отвечающее приращению аргумента Δх, т. е. величину Δy = f(x + Δх) - f(x) можно представить в виде Δy = AΔх + αΔх, где А = А(х), α = α(x, Δх) → 0 при Δх → 0. При этом выражение АΔх называется дифференциалом функции f(х) в точке х и обозначается символом dy или df(х). Геометрически при фиксированном значении х и меняющемся приращении Δх дифференциал есть приращение ординаты касательной, т. е. отрезок РМ" (рис.). Дифференциал dy является функцией как точки х, так и приращения Δх. Дифференциал называют главной линейной частью приращения функции, поскольку при фиксированном значении х величина dy является линейной функцией от Δх, а разность Δу - dy - бесконечно малой относительно Δх при Δх → 0. Для функции f(х) = х по определению dx = Δх, то есть дифференциал независимой переменной dx совпадает с её приращением Δх. Это позволяет переписать выражение для дифференциала в виде dy=Adx.

Для функции одной переменной понятие дифференциала тесно связано с понятием производной: для того чтобы функция у = f(х) имела в точке х дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную f’(х), при этом справедливо равенство dy = f’(х)dx. Наглядный смысл этого утверждения состоит в том, что касательная к кривой у = f(х) в точке с абсциссой х является не только предельным положением секущей, но также и прямой, которая в бесконечно малой окрестности точки х примыкает к кривой у = f(х) теснее, чем любая другая прямая. Таким образом, всегда А(х) = f’(х) и запись dy/dx можно понимать не только как обозначение для производной f’(х), но и как отношение дифференциалов функции и аргумента. В силу равенства dy = f’(х)dx правила нахождения дифференциалов непосредственно вытекают из соответствующих правил для производных. Рассматриваются также дифференциалы второго и более высоких порядков.

Приложения . Дифференциальное исчисление устанавливает связи между свойствами функции f(х) и её производных (или её дифференциалов), составляющие содержание основных теорем дифференциального исчисления. Среди этих теорем - утверждение о том, что все точки экстремума дифференцируемой функции f(х), лежащие внутри её области определения, находятся среди корней уравнения f’(х) = 0, и часто используемая формула конечных приращений (формула Лагранжа) f(b) - f(a) = f’(ξ)(b - a), где a<ξ 0 влечёт за собой строгое возрастание функции, а условие f ’’ (х) > 0 - её строгую выпуклость. Кроме того, дифференциальное исчисление позволяет вычислять различного рода пределы функций, в частности пределы отношений двух функций, представляющие собой неопределённости вида 0/0 или вида ∞/∞ (смотри Раскрытие неопределенностей). Особенно удобно дифференциальное исчисление для исследования элементарных функций, производные которых выписываются в явном виде.

Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Методы дифференциального исчисления применяются для исследования функций нескольких переменных. Для функции двух переменных u = f(х, у) её частной производной по х в точке М (х, у) называется производная этой функции по х при фиксированном у, определяемая как

и обозначаемая одним из символов f’(x)(x,y), u’(x), ∂u/∂x или ∂f(x,y)’/∂x. Аналогично определяется и обозначается частная производная функции u = f(x,y) по y. Величина Δu = f(x + Δx, y + Δy) - f(x,y) называется полным приращением функции и в точке М (х, у). Если эту величину можно представить в виде

где А и В не зависят от Δх и Δу, а α стремится к нулю при

то функция u = f(х, у) называется дифференцируемой в точке М (х, у). Сумму АΔх + ВΔу называют полным дифференциалом функции u = f(х, у) в точке М(х, у) и обозначают символом du. Так как А=f’х(х, у), В = f’у(х,у), а приращения Δх и Δу можно взять равными их дифференциалам dx и dy, то полный дифференциал du можно записать в виде

Геометрически дифференцируемость функции двух переменных u = f(х, у) в данной точке М (х, у) означает существование у её графика в этой точке касательной плоскости, а дифференциал этой функции представляет собой приращение аппликаты точки касательной плоскости, отвечающей приращениям dx и dy независимых переменных. Для функции двух переменных понятие дифференциала является значительно более важным и естественным, чем понятие частных производных. В отличие от функции одной переменной, для дифференцируемости функции двух переменных u = f(х, у) в данной точке М(х, у) не достаточно существования в этой точке конечных частных производных f’х(х, у), и f’у(х, у). Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции u = f(х, у) в точке М (х, у) заключается в существовании конечных частных производных f’х(х, у) и f’у(х, у) и в стремлении к нулю при

величины

Числитель этой величины получается, если сначала взять приращение функции f(х, у), отвечающее приращению Δх её первого аргумента, а затем взять приращение полученной при этом разности f(х + Δх, у) - f(х, у), отвечающее приращению Δу её вторых аргументов. Простым достаточным условием дифференцируемости функции u = f(х, у) в точке М(х, у) является существование непрерывных в этой точке частных производных f’х(х, у) и f’у(х, у).

Аналогично определяются частные производные высших порядков. Частные производные ∂ 2 f/∂х 2 и ∂ 2 f/∂у 2 , у которых оба дифференцирования ведутся по одной переменной, называют чистыми, а частные производные ∂ 2 f/∂х∂у и ∂ 2 f/∂у∂х - смешанными. В каждой точке, в которой обе смешанные частные производные непрерывны, они равны друг другу. Эти определения и обозначения переносятся на случай большего числа переменных.

Исторический очерк . Отдельные задачи об определении касательных к кривым и о нахождении максимальных и минимальных значений переменных величин были решены математиками Древней Греции. Например, были найдены способы построения касательных к коническим сечениям и некоторым другим кривым. Однако разработанные античными математиками методы были далеки от идей дифференциального исчисления и могли применяться лишь в весьма частных случаях. К середине 17 века стало ясно, что многие из упомянутых задач вместе с другими (например, задача определения мгновенной скорости) могут быть решены при помощи одного и того же математического аппарата, при использовании производных и дифференциалов. Около 1666 года И. Ньютон разработал метод флюксий (смотри Флюксий исчисление). Ньютон рассматривал, в частности, две задачи механики: задачу об определении мгновенной скорости движения по известной зависимости пути от времени и задачу об определении пройденного за данное время пути по известной мгновенной скорости. Непрерывные функции времени Ньютон называл флюентами, а скорости их изменения - флюксиями. Таким образом, у Ньютона главными понятиями были производная (флюксия) и неопределённый интеграл (флюента). Он пытался обосновать метод флюксий с помощью теории пределов, которая в то время была развита недостаточно.

В середине 1670-х годов Г. В. Лейбниц разработал удобные алгоритмы дифференциального исчисления. Основными понятиями у Лейбница являлись дифференциал как бесконечно малое приращение функции и определённый интеграл как сумма бесконечно большого числа дифференциалов. Он ввёл обозначения дифференциала и интеграла, термин «дифференциальное исчисление», получил ряд правил дифференцирования, предложил удобную символику. Дальнейшее развитие дифференциального исчисление в 17 веке шло в основном по пути, намеченному Лейбницем; большую роль на этом этапе сыграли работы Я. и И. Бернулли, Б. Тейлора и др.

Следующий этап в развитии дифференциального исчисления связан с работами Л. Эйлера и Ж. Лагранжа (18 век). Эйлер впервые стал излагать дифференциальное исчисление как аналитическую дисциплину, независимо от геометрии и механики. Он вновь использовал в качестве основного понятия дифференциального исчисления производную. Лагранж пытался строить дифференциальное исчисление алгебраически, пользуясь разложениями функций в степенные ряды; он ввёл термин «производная» и обозначения у’ и f’(х). В начале 19 века была в основном решена задача обоснования дифференциального исчисления на основе теории пределов, главным образом благодаря работам О. Коши, Б. Больцано и К. Гаусса. Глубокий анализ исходных понятий дифференциального исчисления был связан с развитием теории множеств и теории функций действительных переменных в конце 19 - начале 20 века.

Лит.: История математики: В 3 т. М., 1970-1972; Рыбников К. А. История математики. 2-е изд. М., 1974; Никольский С. М. Курс математического анализа. 6-е изд. М., 2001: Зорич В. А. Математический анализ: В 2 часть 4-е изд. М., 2002; Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа: В 3 т. 5-е изд. М., 2003-2006; Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3 т. 8-е изд. М., 2003-2006; Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. 7-е изд. М., 2004. Ч. 1. 5-е изд. М., 2004. Ч. 2; Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. 3-е изд. М., 2004. Ч. 1. 2-е изд. М., 2004. Ч. 2; Ильин В. А., Куркина Л. В. Высшая математика. 2-е изд. М., 2005.

дифференциальное исчисление

раздел математики, в котором изучаются производные, дифференциалы и их применения к исследованию свойств функций. Производной функции y = f(х) называется предел отношения приращения?y = y1 - y0 функции к приращению?x = x1 - x0 аргумента при?x, стремящемся к нулю (если этот предел существует). Производная обозначается f?(x) или y?; таким образом, Дифференциалом функции y = f(x) называется выражение dy = y?dx, где dx = ?x - приращение аргумента x. Очевидно, что y? = dy/dx. Отношение dy/dx часто употребляют как знак производной. Вычисление производных и дифференциалов называют дифференцированием. Если производная f?(x) имеет, в свою очередь, производную, то ее называют 2-й производной функции f(x) и обозначают f??(x), и т.д. Основные понятия дифференциального исчисления могут быть распространены на случай функций нескольких переменных. Если z = f(x,y) функция двух переменных x и y, то, зафиксировав для y какое-либо значение, можно дифференцировать z по x; полученная производная dz/dx = f?x называется частной производной z по x. Аналогично определяются частная производная dz/dy = f?y, частные производные высших порядков, частные и полные дифференциалы. Для приложений дифференциального исчисления к геометрии важно, что т.н. угловой коэффициент касательной, т.е. тангенс угла? (см. рис .) между осью Ox и касательной к кривой y = f(x) в точке M(x0, y0), равен значению производной при x = x0, т.е. f?(x0). В механике скорость прямолинейно движущейся точки можно истолковать как производную пути по времени. Дифференциальное исчисление (как и интегральное исчисление) имеет многочисленные применения.

Дифференциальное исчисление

раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций. Оформление Д. и. в самостоятельную математическую дисциплину связано с именами И. Ньютона и Г. Лейбница (вторая половина 17 в.). Они сформулировали основные положения Д. и. и чётко указали на взаимно обратный характер операций дифференцирования и интегрирования. С этого времени Д. и. развивается в тесной связи с интегральным исчислением, вместе с которым оно составляет основную часть математического анализа (или анализа бесконечно малых). Создание дифференциального и интегрального исчислений открыло новую эпоху в развитии математики. Оно повлекло за собой появление ряда математических дисциплин: теории рядов, теории дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и вариационного исчисления. Методы математического анализа нашли применение во всех разделах математики. Неизмеримо расширилась область приложений математики к вопросам естествознания и техники. «Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение» (Энгельс Ф., см. Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 587). Д. и. зиждется на следующих важнейших понятиях математики, определение и исследование которых составляют предмет введения в математический анализ: действительные числа (числовая прямая), функция , предел , непрерывность . Все эти понятия выкристаллизовались и получили современное содержание в ходе развития и обоснования дифференциального и интегрального исчислений. Основная идея Д. и. состоит в изучении функций в малом. Точнее: Д. и. даёт аппарат для исследования функций, поведение которых в достаточно малой окрестности каждой точки близко к поведению линейной функции или многочлена. Таким аппаратом служат центральные понятия Д. и.: производная и дифференциал. Понятие производной возникло из большого числа задач естествознания и математики, приводящихся к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие из них ≈ определение скорости прямолинейного движения точки и построение касательной к кривой. Понятие дифференциала является математическим выражением близости функции к линейной в малой окрестности исследуемой точки. В отличие от производной, оно легко переносится на отображения одного евклидова пространства в другое и на отображения произвольных линейных нормированных пространств и является одним из основных понятий современного нелинейного функционального анализа. Производная. Пусть требуется определить скорость прямолинейно движущейся материальной точки. Если движение равномерно, то пройденный точкой путь пропорционален времени движения; скорость такого движения можно определить как путь, пройденный за единицу времени, или как отношение пути, пройденного за некоторый промежуток времени, к длительности этого промежутка. Если же движение неравномерно, то пути, пройденные точкой в одинаковые по длительности промежутки времени, будут, вообще говоря, различными. Пример неравномерного движения даёт тело, свободно падающее в пустоте. Закон движения такого тела выражается формулой s = gt2/2, где s ≈ пройденный путь с начала падения (в метрах), t ≈ время падения (в секундах), g ≈ постоянная величина, ускорение свободного падения, g » 9,81 м/сек2. За первую секунду падения тело пройдёт около 4,9 м, за вторую ≈ около 14,7 м, а за десятую ≈ около 93,2 м, т. е. падение происходит неравномерно. Поэтому приведённое выше определение скорости здесь неприемлемо. В этом случае рассматривается средняя скорость движения за некоторый промежуток времени после (или до) фиксированного момента t; она определяется как отношение длины пути, пройденного за этот промежуток времени, к его длительности. Эта средняя скорость зависит не только от момента t, но и от выбора промежутка времени. В нашем примере средняя скорость падения за промежуток времени от t до t + Dt равна Это выражение при неограниченном уменьшении промежутка времени Dt приближается к величине gt, которую называют скоростью движения в момент времени t. Таким образом, скорость движения в какой-либо момент времени определяется как предел средней скорости, когда промежуток времени неограниченно уменьшается. В общем случае эти вычисления надо проводить для любого момента времени t, промежутка времени от t до t + Dt и закона движения, выражаемого формулой s = f (t). Тогда средняя скорость движения за промежуток времени от t до t + Dt даётся формулой Ds/Dt, где Ds = f (t + Dt) ≈ f (t), а скорость движения в момент времени t равна Основное преимущество скорости в данный момент времени, или мгновенной скорости, перед средней скоростью состоит в том, что она, как и закон движения, является функцией времени t, а не функцией интервала (t, t + Dt). С другой стороны, мгновенная скорость представляет собой некоторую абстракцию, поскольку непосредственному измерению поддаётся средняя, а не мгновенная скорость. К выражению типа (*) приводит и задача (см. рис. ) построения касательной к плоской кривой в некоторой её точке М. Пусть кривая Г есть график функции у = f (x). Положение касательной будет определено, если будет найден её угловой коэффициент, т. е. тангенс угла a, образованного касательной с осью Ox. Обозначим через x0 абсциссу точки М, а через x1 = x0 + Dх ≈ абсциссу точки M

Угловой коэффициент секущей MM1 равен

где Dy = M1N = f (x0 + Dx) ≈ f (x0) ≈ приращение функции на отрезке . Определяя касательную в точке М как предельное положение секущей MM1, когда x1 стремится к x0, получаем

Отвлекаясь от механического или геометрического содержания приведённых задач и выделяя общий для них приём решения, приходят к понятию производной. Производной функции у = f (x) в точке х называется предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, так что

С помощью производной определяется, кроме уже рассмотренных, ряд важных понятий естествознания. Например, сила тока определяется как предел

где Dq ≈ положительный электрический заряд, переносимый через сечение цепи за время Dt; скорость химической реакции определяется как предел

где DQ ≈ изменение количества вещества за время Dt; вообще, производная по времени есть мера скорости процесса, применимая к самым разнообразным физическим величинам.

Производную функции y = f (x) обозначают f" (x), у", dy/dx, df/dx или Df (х). Если функция y = f (x) имеет в точке х0 производную, то она определена как в самой точке x0, так и в некоторой окрестности этой точки и непрерывна в точке x0. Обратное заключение было бы, однако, неверным. Например, непрерывная в каждой точке функция

графиком которой служат биссектрисы первого и второго координатных углов, при х = 0 не имеет производной, т.к. отношение Dу/Dх не имеет предела при Dx ╝ 0: если Dх > 0, это отношение равно +1, а если Dx < 0, то оно равно -1. Более того, существуют непрерывные функции, не имеющие производной ни в одной точке (см. Непрерывная функция).

Операцию нахождения производной называют дифференцированием. На классе функций, имеющих производную, эта операция линейна.

Таблица формул и правил дифференцирования

(C)` = 0; (xn)` = nxn-1;

(aх)` = ax ln a и (ex)` = ex;

(logax)` = 1/x ln a и (ln x)` = 1/x;

(sin x)` = cos x; (cos x)` = √ sin x;

(tg x)` = 1/cos2x; (ctg x)` = √ 1/sin2x;

(arc tg x)` = 1/(1 + x2).

` = f `(x) ╠ g`(x);

` = Cf `(x);

` = f``(x) g (x) + f (x) g `(x);

если y = f (u) и u = j(x), т. е. y = f , то dy/dx = (dy/du)×(du/dx) = f¢ (u)j¢(x).

Здесь С, n и a ≈ постоянные, a > 0. Эта таблица, в частности, показывает, что производная от всякой элементарной функции есть снова элементарная функция.

Если производная f" (x), в свою очередь, имеет производную, то её называют второй производной функции у = f (x) и обозначают

у", f" (x), d2y/dx2, d2f/dx2 или D2f (x).

Для прямолинейно движущейся точки вторая производная характеризует её ускорение.

Аналогично определяются и производные более высокого (целого) порядка. Производная порядка n обозначается

yn, fn (x), dny/dxn, dnf/dxn или Dnf (x).

Дифференциал. Функция у = f (x), область определения которой содержит некоторую окрестность точки х0, называется дифференцируемой в точке x0, если её приращение

Dy = f (x0 + Dx) - f (x0)

можно записать в форме

Dу = АDх + aDх,

где А = А (x0), a = a(х, x0) ╝ 0 при х ╝ x0. В этом и только в этом случае выражение ADx называется дифференциалом функции f (x) в точке x0 и обозначается dy или df (x0). Геометрически дифференциал (при фиксированном значении x0 и меняющемся приращении Dx) изображает приращение ординаты касательной, т. е. отрезок NT (см. рис. ). Дифференциал dy представляет собой функцию как от точки х0, так и от приращения Dх. Говорят, что дифференциал есть главная линейная часть приращения функции, понимая под этим, что, при фиксированном х0, dy есть линейная функция от Dх и разность Dy - dy есть бесконечно малая относительно Dx. Для функции f (x) º х имеем dx = Dх, т. е. дифференциал независимого переменного совпадает с его приращением. Поэтому обычно пишут dy = Adx. Имеется тесная связь между дифференциалом функции и её производной. Для того чтобы функция от одного переменного y = f (x) имела в точке x0 дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке (конечную) производную f" (x0), и справедливо равенство dy = f" (x0) dx. Наглядный смысл этого предложения состоит в том, что касательная к кривой y = f (x) в точке с абсциссой x0 как предельное положение секущей является также такой прямой, которая в бесконечно малой окрестности точки x0 примыкает к кривой более тесно, чем любая другая прямая. Таким образом, всегда А (х0) = f" (x0); запись dy/dx можно понимать не только как обозначение для производной f" (x0), но и как отношение дифференциалов зависимого и независимого переменных. В силу равенства dy = f" (x0) dx правила нахождения дифференциалов непосредственно вытекают из соответствующих правил нахождения производных.

Рассматриваются также дифференциалы высших порядков. На практике с помощью дифференциалов часто производят приближённые вычисления значений функции, а также оценивают погрешности вычислений. Пусть, например, надо вычислить значение функции f (x) в точке х, если известны f (x0) и f" (x0). Заменяя приращение функции её дифференциалом, получают приближённое равенство

f (x1) » f (x0) + df (x0) = f (x0) + f" (x0) (x1 - x0).

Погрешность этого равенства приближённо равна половине второго дифференциала функции, т. е.

1/2 d2f = 1/2 f" (x0)(x1 √ x0)

Приложения. В Д. и. устанавливаются связи между свойствами функции и её производных (или дифференциалов), выражаемые основными теоремами Д. и. К их числу относятся Ролля теорема, формула Лагранжа f (a) ≈ f (b) = f" (c)(b ≈ а), где a < с < b (подробнее см. Конечных приращений формула), и Тейлора формула.

Эти предложения позволяют методами Д. и. провести подробное исследование поведения функций, обладающих достаточной гладкостью (т. е. имеющих производные достаточно высокого порядка). Таким путём удаётся исследовать степень гладкости, выпуклость и вогнутость , возрастание и убывание функций, их экстремумы, найти их асимптоты, точки перегиба (см. Перегиба точка), вычислить кривизну кривой, выяснить характер её особых точек и т.д. Например, условие f" (x) > 0 влечёт за собой (строгое) возрастание функции у = f (x), а условие f" (x) > 0 ≈ её (строгую) выпуклость. Все точки экстремума дифференцируемой функции, принадлежащие внутренности её области определения, находятся среди корней уравнения f" (x) = 0.

Исследование функций при помощи производных составляет основное приложение Д. и. Кроме того, Д. и. позволяет вычислять различного рода пределы функций, в частности пределы вида 0/0 и ¥/¥ (см. Неопределённое выражение, Лопиталя правило). Д. и. особенно удобно для исследования элементарных функций, т.к. в этом случае их производные выписываются в явной форме.

Д. и. функций многих переменных. Методы Д. и. применяются для изучения функций нескольких переменных. Для функции двух независимых переменных z = f (х, у) частной производной по х называется производная этой функции по х при постоянном у. Эта частная производная обозначается z"x, f"x (x, y), ╤z/╤х или ╤f (x, y)/╤x, так что

Аналогично определяется и обозначается частная производная z по у. Величина

Dz = f (x + Dx, y + Dy) - f (x, y)

называется полным приращением функции z = f (x, y). Если его можно представить в виде

Dz = ADx + ВDу + a,

где a ≈ бесконечно малая более высокого порядка, чем расстояние между точками (х, у) и (х + Dх, у + Dу), то говорят, что функция z = f (x, y) дифференцируема. Слагаемые АDх + ВDу образуют полный дифференциал dz функции z = f (x, y), причём А = z"x, B = z"y. Вместо Dx и Dy обычно пишут dx и dy, так что

Геометрически дифференцируемость функции двух переменных означает существование у её графика касательной плоскости, а дифференциал представляет собой приращение аппликаты касательной плоскости, когда независимые переменные получают приращения dx и dy. Для функции двух переменных понятие дифференциала является значительно более важным и естественным, чем понятие частных производных. В отличие от функций одного переменного, для функций двух переменных существование обеих частных производных первого порядка ещё не гарантирует дифференцируемости функции. Однако, если частные производные кроме того ещё непрерывны, то функция дифференцируема.

Аналогично определяются частные производные высших порядков. Частные производные ╤2f/╤х2 и ╤2f/╤у2, в которых дифференцирование ведётся по одному переменному, называют чистыми, а частные производные ╤2f/╤x╤y и ╤2f/╤у╤х≈ смешанными. Если смешанные частные производные непрерывны, то они между собой равны. Все эти определения и обозначения переносятся на случай большего числа переменных.

Историческая справка. Отдельные задачи об определении касательных к кривым и о нахождении максимальных и минимальных значений переменных величин были решены ещё математиками Древней Греции. Например, были найдены способы построения касательных к коническим сечениям и некоторым другим кривым. Однако разработанные античными математиками методы были применимы лишь в весьма частных случаях и далеки от идей Д. и.

Эпохой создания Д. и. как самостоятельного раздела математики следует считать то время, когда было понято, что указанные специальные задачи вместе с рядом других (в особенности с задачей определения мгновенной скорости) решаются при помощи одного и того же математического аппарата ≈ при помощи производных и дифференциалов. Это понимание было достигнуто И. Ньютоном и Г. Лейбницем.

Около 1666 И. Ньютон разработал метод флюксий (см. Флюксий исчисление). Основные задачи Ньютон формулировал в терминах механики: 1) определение скорости движения по известной зависимости пути от времени; 2) определение пройденного за данное время пути по известной скорости. Непрерывную переменную Ньютон называл флюентой (текущей), её скорость ≈ флюксией. Т. о., у Ньютона главными понятиями были производная (флюксия) и неопределённый интеграл как первообразная (флюента). Он стремился обосновать метод флюксий с помощью теории пределов, хотя последняя была им лишь намечена.

В середине 70-х гг. 17 в. Г. Лейбниц разработал очень удобный алгоритм Д. и. Основными понятиями у Лейбница явились дифференциал как бесконечно малое приращение переменного и определённый интеграл как сумма бесконечно большого числа дифференциалов. Лейбницу принадлежат обозначения дифференциала dx и интеграла òydx, ряд правил дифференцирования, удобная и гибкая символика и, наконец, сам термин «дифференциальное исчисление». Дальнейшее развитие Д. и. шло сначала по пути, намеченному Лейбницем; большую роль на этом этапе сыграли работы братьев Я. и И. Бернулли, Б. Тейлора и др.

Следующим этапом в развитии Д. и. были работы Л. Эйлера и Ж. Лагранжа (18 в.). Эйлер впервые стал излагать его как аналитическую дисциплину, независимо от геометрии и механики. Он вновь выдвинул к качестве основного понятия Д. и. производную. Лагранж пытался строить Д. и. алгебраически, пользуясь разложением функций в степенные ряды; ему, в частности, принадлежит введение термина «производная» и обозначения у" или f" (x). В начале 19 в. была удовлетворительно решена задача обоснования Д. и. на основе теории пределов. Это было выполнено главным образом благодаря работам О. Коши, Б. Больцано и К. Гаусса. Более глубокий анализ исходных понятий Д. и. был связан с развитием теории множеств и теории функций действительного переменного в конце 19 ≈ начале 20 вв.

Лит.: История. Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины 19 столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966; Стройк Д. Я., Краткий очерк истории математики, пер. с нем., 2 изд., М., 1969; Cantor М., Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, 2 Aufl., Bd 3≈4, Lpz. ≈ В., 1901≈24.

Работы основоположников и классиков Д. и. Ньютон И., Математические работы, пер. с латин., М. ≈ Л., 1937; Лейбниц Г., Избранные отрывки из математических сочинений, пер. с латин., «Успехи математических наук», 1948, т. 3, в. 1; Л"Опиталь Г. Ф. де, Анализ бесконечно малых, пер. с франц., М. ≈ Л., 1935; Эйлер Л., Введение в анализ бесконечных, пер. с латин., 2 изд., т. 1, М., 1961; его же, Дифференциальное исчисление, пер. с латин., М. ≈ Л., 1949; Коши О. Л., Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном исчислении, пер. с франц., СПБ, 1831; его же, Алгебраический анализ, пер. с франц., Лейпциг, 1864.

Учебники и учебные пособия по Д. и. Хинчин А. Я., Краткий курс математического анализа, 3 изд., М., 1957; его же, Восемь лекций по математическому анализу, 3 изд., М. ≈ Л., 1948; Смирнов В. И., Курс высшей математики, 22 изд., т. 1, М., 1967; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 1, М., 1969; Ла Валле-Пуссен Ш. Ж. де, Курс анализа бесконечно малых, пер. с франц., т. 1, Л. ≈ М., 1933; Курант Р., Курс дифференциального и интегрального исчисления, пер. с нем. и англ., 4 изд., т. 1, М., 1967; Банах С., Дифференциальное и интегральное исчисление, пер. с польск., 2 изд., М., 1966; Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966.

Под редакцией С. Б. Стечкина.

Википедия

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление - раздел математического анализа, в котором изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций.

– определение производной функции f (x ) в точке x 0 ;

– дифференциал функции f (x ) в точке x 0 .

Производные простейших элементарных функций:

– правило дифференцирования сложной функции в точке x 0 , здесь ;

– правило дифференцирования обратной функции в точке ;

– формула Лагранжа, ;

– формула Коши, ;

– формула Тейлора, .

1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1975.

2. Бермант А.Ф., Арамонович И.И. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 1967.

3. Болгов В.А., Демидович Б.П., Ефимов А.В. и др. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1, М.: Наука, 1986.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в примерах и задачах. М.: Высшая школа, 1986.

5. Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов. Под ред. Демидовича Б.П., М.: Наука, 1968.

6. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1964.

7. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 1985.

8. Математика в техническом университете. Выпуск II. Дифференциальное исчисление функций одного переменного. Под ред. Зарубина В.С. и Крищенко А.П., М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.

9. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. М.: Наука, 1987.

10. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, Т. 1,2, 1976.

11. Сборник задач по математике для ВТУЗов. Под ред. Ефимова А.В., М.: Наука, Ч. 1-4, 1993-1994.

12. Щипачев В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 1996.

13. Щипачев В.С. Задачи по высшей математике. М.: Высшая школа, 1997.

Утверждено редакционно-издательским советом

Тюменского государственного нефтегазового университета.

Составители: Мусакаев Н.Г., доцент, к.ф.-м.н.

Сметанина И.А., ст. преподаватель

Мусакаева М.Ф., ассистент

Алтунин Е.А., ассистент

«Тюменский государственный нефтегазовый университет»

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГОРОДА

МОСКВЫ

"КОЛЛЕДЖ ПОЛИЦИИ"

Реферат по дисциплине Математика

на тему: " История дифференциального исчисления "

Выполнил

Курсант 11 взвода

Пастухова А.В.

Преподаватель

Зайцева О.Н.

Ø Понятие дифференциальное исчисление стр. 3

Ø Возникновение дифференциального исчисления как начало науки нового времени стр. 3

Ø Исаак Ньютон стр. 8

Ø Готфрид Вильгельм Лейбниц стр. 10

Ø История применения дифференцированного исчисления стр. 12

Ø Лейбниц и дифференциальное исчисление стр. 14

Возникновение дифференциального исчисления как начало науки нового времени.

В современном научном сообществе принято однозначно разделять науку на античный период и период нового времени. Но в чём же состоит отличие этих периодов? Чем принципиально отличался научный подход Платона, Аристотеля и прочих известных учёных античности от подхода крупных деятелей науки нового времени? В реальности, у разделения на два периода существует множество оснований. В рамках данной статьи мы рассмотрим одно, наиболее фундаментальное и показательное основание – возникновение дифференциального исчисления. Через предпосылки к появлению этого известнейшего метода в современной науке в трудах философов и математиков мы сможем проследить чёткую границу между античным и современным взглядом на науку, однозначно ответив на поставленные в начале статьи вопросы.

Рубеж XVI-XVII вв. в истории науки действительно был переломным моментом, когда европейская наука совершила качественный скачок. В это время был совершен переход от античной науки к науке нового времени. Ни для кого не секрет, что «локомотивами» прогресса в рассматриваемый период были такие великие учёные как Рене Декарт, Галилео Галилей, Иоганн Кеплер, Бонавентура Кавальери, Исаак Ньютон. Каждый из них сказал свое новое слово в механике, математике, астрономии и прочих дисциплинах. Но не столько важны их заслуги в отдельных науках, сколько важен вклад в формирование методологии науки нового времени. Плоды трудов этих известных ученых в области методологии науки имели широкое распространение, и многие из них по сей день остаются основополагающими принципами современной науки. Но что связывает изыскания названных ранее великих умов между собой? Легче всего связь методологических достижений самых крупных деятелей науки XVI-XVII вв. можно проследить именно через историю возникновения дифференциального исчисления и «принцип непрерывности», так или иначе встречающийся в трудах Кеплера, Кавальери, Декарта, а позднее Ньютона и Лейбница. Формировавшееся изначально как прикладной метод, не имеющий отношения к науке, дифференциальное исчисление присутствовало во многих фундаментальных научных трудах в виде частных положений, базовых принципов и позднее сформировалось в полноценный научный метод. П.П. Гайденко в монографии «История новоевропейской философии в её связи с наукой» берет за точку отсчета обособленного формирования дифференциального исчисления труд Иоганна Кеплера «Новая стереометрия винных бочек» относимый к 1615 году. Как отмечалось, Кеплер не рассматривал дифференциальное исчисление как новый метод в математике; скорее как метод так называемой логистики, отвечавшей за решение прикладных задач. Кеплер не считал дифференциальное исчисление относящимся к строгой науке по причине своей неточности и малой теоретической обоснованности, что противоречило его пониманию о строгой науке. Позднее, отмечает П.П. Гайденко, Бонавентурой Кавальери была сделана попытка преобразовать технический метод, предложенный Кеплером, в полноценный научный метод в своем труде «Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного» 1635-го года. Однако, как отмечается в рассматриваемой монографии, нельзя считать труд Кеплера как однозначное начало дифференциального исчисления.

Формированию дифференциального исчисления как прикладного, а позднее и научного метода, предшествовало появление стройной философской теории, созданной Николаем Кузанским. П.П. Гайденко пишет: «Изучая работы Кузанца с этой точки зрения, можно прийти к выводу, что создание дифференциального исчисления не только стимулировалось практическими потребностями техники расчета, но и подготавливалось философско-теоретическими размышлениями, стремлением по-новому решить проблемы континуума и числа, непрерывного и неделимого, пространства и движения». Действительно, работы Николая Кузанского можно считать эволюционным развитием суждений античной науки. Принимая во внимание тот факт, что Николай Кузанский не был математиком, нельзя переоценить его вклад в развитие математического метода. Он впервые ушел от рассмотрения арифметики как наиболее точной науки, тем самым поставив античную математику под сомнение. Античные математики считали универсальным критерием «единое», «единицу». Кузанский же в свою очередь предлагает иную точку зрения, приводя в качестве меры бесконечность, а не конкретное число. Таким образом, он инвертирует понимание точности в математике. Разделяя научное знание на «рассудочное» (к которому относит античную арифметику) и «интеллектуальное», наиболее точным Николай Кузанский называет второе, когда как первое, по его мнению, является лишь приблизительным. В своем труде «О предположениях» он пишет: «Если обратишься к единству рассудка, интеллекту, где число пять не больше числа три или числа два и нет различения четных, нечетных, больших и малых чисел, потому что всякое рассудочное число разрешается там, в простейшее единство, то окажется, что равенство двух и трех пяти истинно только в сфере рассудка» . Эти суждения являются основными идеями «принципа непрерывности», упомянутого ранее, который в дальнейшем стал идейной основой для формирования дифференциального исчисления как научного метода.

Нетрудно проследить влияние суждений, выдвинутых Николаем Кузанским в трудах Кавальери и Галилея, также сопрягавших понятие бесконечности и единицы. Однако труд «О предположениях» является не единственной работой Николая Кузанского, имеющей отсылки к дифференциальному исчислению. В качестве примера можно привести труд под названием «О возможности-бытии», в котором философ рассматривает мир не как совокупность вещей, а как процесс. Здесь он выводит важный термин – «возможность-бытие». В.Ф. Шаповалов в статье «Философия науки и техники: о смысле науки и техники и о глобальных угрозах научно-технической эпохи» определяет этот термин как «дифференциал мирового бытия» и раскрывает его следующим образом: «Это сжатый (или стянутый) максимум, и как таковой он представляет собой подобие высшего, божественного максимума» . Действительно, при прочтении работы Николая Кузанского мы можем встретить следующее утверждение: «В самом деле, если кто обратится к линии и применит возможность бытия, с тем чтобы увидеть возможность-бытие линии, то есть чтобы увидеть, что линия в действительности есть то, чем она может быть, и что она есть все то, чем, по его пониманию, она может сделаться, то во всяком случае из одного того соображения, что она есть возможность-бытие, он усматривает, что она есть равным образом линия наибольшая и наименьшая. Ведь поскольку она есть то, чем она может быть, она не в состоянии быть больше – так она оказывается наибольшей; и она не может быть меньше – так она оказывается наименьшей. И так как она есть то, чем может сделаться линия, она есть граница всех поверхностей». Данная цитата подтверждает верность трактовки термина «возможность-бытие» как некоего подобия дифференциала, применяемого в общемировом понимании.

Принципы, изложенные Николаем Кузанским, нашли себе более широкое применение, нежели как один из математических методов. Рене Декарт, в труде «О методе», берет принцип непрерывности за основу понимания методологии науки, таким образом, обозначая связь между своими фундаментальными суждениями и идеями, лежащими в основе дифференциального исчисления. Однако, связь учения Декарта о методе с принципами дифференциального исчисления куда глубже. В основе его понимания метода лежит математика. По Декарту природа понимается через величину, фигуру и движение. Каждое из этих определений является предметом математического знания, следовательно, математика способна описать саму природу через сравнение этих элементов. Однако для сравнения требуется единица измерения. Декарт определяет единицу измерения как «то всеобщее свойство, к которому должны быть приобщены все вещи, сравниваемые между собой». Данное высказывание, очевидно, является отсылкой к пониманию бесконечности как меры. Декарт, также, внёс существенный вклад в развитие дифференциального исчисления как научного метода. Ведь именно он ввёл понятие движения в математику, таким образом, пусть не напрямую, но введя понятие математической функции, и, в дальнейшем, успешно оперируя этим понятием. Таким образом, как пишет Гайденко, «Математика в руках Декарта становится формально-рациональным методом, с помощью которого можно «считать» любую реальность, устанавливая в ней меру и порядок с помощью нашего интеллекта» . То есть мы видим, что в трудах Декарта однозначно завершился переход от античной науки к науке нового времени, начатый Николаем Кузанским. И в очередной раз мы убеждаемся, что этот переход в значительной степени определялся увеличением значения принципов, лежащих в основе дифференциального исчисления.

Говоря о развитии дифференциального исчисления нельзя обойти стороной две персоналии, внесшие, возможно, наиболее важный вклад в процесс становления этого метода: Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница. Математический инструментарий, созданный этими великими учеными, является основой современной математики. Ярким примером является так называемая формула Ньютона-Лейбница или основная теорема анализа, фактически являющаяся связующим звеном дифференциального и интегрального исчисления. Особенно интересным фактом в данной связи является то, что Ньютон и Лейбниц создавали аппарат дифференциального исчисления параллельно и независимо примерно в одно и то же время. Д.А. Граве в своей статье «Дифференциальное исчисление» из Энциклопедического словаря Брокгауза и Ефрона пишет: «Идеи нового исчисления уже настолько созрели и, так сказать, носились в умах, что вполне естественно, что Ньютон и Лейбниц могли сделать открытие совершенно независимо, не переговариваясь и не заимствуя друг у друга». Действительно, как уже ранее отмечалось в этой статье, плоды трудом многих ученых в течение долгого времени складывались в большую теорию, формализованную, систематизированную и развитую в итоге двумя наиболее выдающимися математиками конца XVII века. Таким образом, данный пример в истории математики является веским доказательством того, что крупные открытия в науке совершаются на основе целого ряда предшествующий изысканий.

Рассмотрим философские принципы, заложенные в теории Ньютона и Лейбница, и попробуем проследить в них наследие ученых предшественников, которое уже обсуждалось в данной статье. Готфрид Лейбниц, как и Исаак Ньютон, в своей теории проецирует выведенные им законоположения и математический аппарат на вопрос об устройстве мира, формируя, таким образом, свой философский взгляд через методологию дифференциального исчисления. Интересное суждение Б. Эрдмана, исследователя трудов Лейбница, приводится в упомянутой ранее монографии «История новоевропейской философии в её связи с наукой» П.П. Гайденко: «Согласно Эрдману, математические работы Лейбница были «пунктом кристаллизации его философии». С одной стороны, они были «решающими для всего здания его метафизики», где монады суть «гипостазированные дифференциалы», а Вселенная – «гипостазированный интеграл». С другой стороны, на почве этих работ выросли «общая наука» и «универсальная характеристика», оказавшие сильное влияние в XVIII и XIX вв. . Действительно, здесь мы как важно было дифференциальное исчисление для философской модели мира, предложенной Лейбницем.

Более конкретно роль дифференциального исчисления прослеживается в так называемой теории «малых восприятий», развивающейся параллельно с его теорией «бесконечных восприятий». П.П. Гайденко приводит достаточно ёмкий пример Лейбница, который он использовал для объяснения упомянутых теорий: «Чтобы пояснить мою мысль о малых восприятиях, которых мы не можем различить в массе, я обычно пользуюсь примером шума моря... Шум этот можно услышать, лишь услышав составляющие это целое части, т.е. услышав шум каждой волны, хотя каждый из этих малых шумов воспринимается лишь неотчетливо в совокупности всех прочих шумов, хотя каждый из них небыл бы замечен, если бы издающая его волна была одна. В самом деле, если бы на нас не действовало слабое движение этой волны и если бы мы не имели какого-то восприятия каждого из этих шумов, как бы малы они ни были, то мы не имели бы восприятия шума ста тысяч волн, так как сто тысяч ничто не могут составить нечто». Это суждение, сейчас понятное каждому, однозначно показывает, всю глубину влияния метода дифференциального исчисления на понимание мира и, соответственно, на формирование новой науки как таковой, то есть полный и окончательный уход от античных постулатов.

Однако, нельзя умалять роли Исаака Ньютона в процессе математизации науки и ее переходе в новое время. Морис Клайн в своем труде «Утрата определенности» отзывался о роли работ Ньютона следующим образом: «Если убеждение в том, что математические законы естествознания представляют собой истины, органически включенные господом богом в созданный им план Вселенной, и подвергалось каким-то сомнениям, то они были окончательно развеяны Исааком Ньютоном» . Помимо переломного для естествознания закона о всемирном тяготении, выведенного не без влияния со стороны законов движения Галилея, Ньютон также предложил множество других законов механики, опираясь именно на математику, созданный им для этих целей математический аппарат. Таким образом, математический подход Ньютона к физическим явлениям, ядром которого является дифференциальное исчисление как наиболее перспективный метод, дал начало целой плеяде фундаментальных работ не менее известных последователей великого учёного: Тейлора, Маклорена, Лапласа, Лагранжа, Даламбера.

Подводя итоги приведенных рассуждений, можно утверждать, что дифференциальное исчисление и его основные принципы – это граница между античной наукой и наукой нового времени. Ведь именно в рамках развития данного метода была совершена переоценка взглядов на математику, преобразившая не только отдельно взятую научную дисциплину, но и методологию науки в целом. Одной из самых значимых особенностей истории развития дифференциального исчисления как важнейшего научного метода было его изначальное возникновение как прикладного метода у многих известных ученых XVI-XVII вв., большинство из которых тем или иным образом продолжали идеи Николая Кузанского, изложенные еще в XV веке. Такое начало позволило сформировать огромный пласт знаний и суждений, что привело к оформлению дифференциального исчисления как полноценного, а впоследствии и важнейшего, научного математического метода познания мира.

ИСААК НЬЮТОН
(1643-1727)

ГОТФРИД ВИЛЬГЕЛЬМ ЛЕЙБНИЦ
(1646-1716)

Смысл своей жизни Лейбниц видел в познании природы, в создании идей, помогающих раскрыть ее законы.

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-11