Формулы по статистике
Тема 1: Группировка статистических данных
Определение числа групп (если группи-ка по непрер. приз-ку или дискрет. со многими знач-ями)
Определение величины равного интервала :
Тема 2: Абсолютные и относительные величины
Относительные величины :
1) относит. вел-на структуры :
2) относит. вел-на планового задания :
3) относит. вел-на выполнения плана :
4) относит. вел-на динамики или темп роста :
5) относит. вел-на сравнения
6) относит. вел-на интенсивности (пример: фондоотдача = объем/стоимость (один год))
Тема 3: Средние величины и показатели вариации
Средняя арифметическая
простая :
взвешенная :
Средняя гармоническая
простая :
взвешенная : , сумма значений признака по группе
Свойства средн. арифметической:
если каждую вари-ту х умен-ть или увел-ть на одно и то же число, то ср. вел-на умен-ется или увел-ется на это же число;
если каждую вари-ту х умен-ть или увел-ть в одно и то же число раз, то ср. вел-на умен-ется или увел-ется в одно и то же число раз;
если каждую частоту f умен-ть или увел-ть в одно и то же число раз, то ср. вел-на не изменится.
Ср. вел-на зависит от вар-ты х и структуры совок-сти , кот. харак-ется долями d .
Ряд распределения имеет 3 центра :
1) ср. аримет-кое ;
2) мода – наиболее часто встречающаяся вар-та ;
3) медиана – вар-та, стоящая в середине ряда распре-ния. Сначала находят N медианы, кот. равен n/2, если число еди-ц совок-сти n – чётное, или , если число еди-ц совок-сти нечетное .
Осн. пока-ли вариации :
1)
размах
вариации
:
2) ср. линейное отклонение (ср. арифм-кая из абсолют. откл-ний отдел. значений)
Для несгруппир. данных:
Для
сгруппир. данных:
3) ср. квадратическое отклонение (хар-ет ср. абсол. откл-ние вар-ты от ср. вел-ны)
Для
несгруппир. данных
:
Для
сгруппир. данных
:
4) Дисперсия – квадрат среднеквадр-ного откл-ния
Для
несгруппир. данных
:
Для
сгруппир. данных
:
Общая
дисперсия:
(для сгрупп.) 
(для несгрупп.)
– ср. вел-на резул. приз-ка в сово-сти, - частота (в совокупности!)
Внутригрупповая
дисперсия:
- кол-во вариант в группе i
Междугрупповая
дисперсия:
- кол-во вариант в группе i
Правило
сложения дисперсий:
Не имеет еди-ц измерения.
5) Коэффициент вариации хар-ет ср. относит. откл-ние вар-ты от ср. вел-ны.
Способ моментов
Часто мы сталкиваемся с расчетом средней арифметической упрощенным способом.
В этом случае используются свойства средней величины. Метод упрощенного расчета называется способом моментов, либо способом отсчета от условного нуля.
Способ моментов предполагает следующие действия :
1) Выбирается начало отсчета (из х ) – условный нуль (A ). Обычно как можно ближе к середине распре-ния.
2) Находятся отклонения вариантов от условного нуля ().
4) Если эти отклонения содержат общий множитель (k ), то рассчитанные
отклонения делятся на этот множитель.
Способ моментов :
Средняя:
Дисперсия:
Тема 4: Выборочное наблюдение
Обозначения в теории выборки:
|
N – числи-ль генер. выборки |
n – числи-ль генер. выборки |
|
Генер. средняя (оценивают) |
– выбор. средняя (рассчитывают) |
|
p – генер. доля (оценивают) |
w – выбор. доля (рассчитывают) |
|
P (t ) – задаваемый уровень веро-сти |
|
Генер. средняя: с задан. уровнем вероя-сти P(t)
– ошибка выборки для ср. вел-ны
, t – критерий надеж-сти, его вел-на зав-т от уровня задан. вероя-сти P(t)
Если 1) P (t ) = 0,683, то t =1 ; 2) P (t ) = 0,954, то t =2 ; 3) P (t ) = 0,997, то t =3
– среднеквадр. ошибка выборки
– верна для повторного отбора в выборке.
- для бесповторного отбора
Доказано: с задан. уровнем вероя-сти P(t)
– ошибка выборки для доли
, – среднеквадр. ошибка выборки для доли
–для повторного отбора
- для бесповторного отбора
Тема 5: Ряды динамики
Аналит. пока-ли:
1) Абсолют. прирост (разница уровней)
(цепной) ; (базисный)
2) Темп роста (отношение уровней)
(цепной) ; (базисный)
3) Темп прироста
(цепной) ; 
(базисный)
4) Абсолютное значение 1% прироста
(цепной) ; 
(базисный)
Средние показатели:
1) ср. уровни динам. ряда ;
2) ср. аналитич. показ-ли динам. ряда .
Расчет ср. уровня зав-т от вида РД:
а) для интерв. РД с равн. периодами вре-ни – ср. арифмет. простая
б) для интерв. РД с неравн. периодами вре-ни – ср. арифмет. взвешенная
в) для моментных РД с равноотстоящими датами – ср. хронологическая
г) для моментных РД с неравноотстоящими датами – ср. арифмет. взвешенная
Расчет ср. аналит. показ-лей:
а)
ср.
абсолют. прирост
б) ср. темп роста
в)
ср.
темп прироста
Смыкание РД
Для проведения смыкания РД в смыкаемых рядах находится временной момент (дата, период), когда им-ся сведения об изучаемом признаке как в прежних, так и в новых условиях. Рассчитывается коэфф-т, дальнейш. расчеты – по сомкнутом. ряду.
В ходе обработки РД важн. задачей яв-ся выявление основ. тенденции раз-тия явления (тренда) и сглаживание случ. колебаний. Для решения этой задачи сущ-ют особые способы, кот. наз-ют методами выравнивания.
3 основн. способа обработки динамического ряда:
а) укрупнение интервалов РД и расчет средних для кажд. укрупненного интервала;
(переход от менее продолжит.инт-лов к более продолжит. Средняя, рассчитанная по укрупненным инт-лам, позволяет выявить направление и характер (ускорение или замедление) основ. тенденции развития. Средняя рассчитывается по формулам простой средней арифметической.
б) метод скользящей средней;
(вычисл-ся ср. уровень из опред. числа, обычно нечетного, первых по счету уровней ряда. Затем - из такого же числа уровней, но начиная со второго по счету, далее - начиная с третьего и т. д. Т/о, средняя как бы «скользит» по временному ряду от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень в начале и добавляя один следующий.
в) аналитическое выравнивание.
Сезонные колебания и волны
Индексами сезонности яв-ся процентные отношения фактических внутригодовых уровней к постоянной или переменной средней. Совокупность этих показателей отражает сезонную волну.
Для выявления сезон. колебаний обычно испо-ют данные за несколько лет, распределенные по месяцам. Для каждого месяца рассчитывается средняя величина уровня, например за 3 года ( ), затем из них вычисляется средний уровень для всего ряда ( ), далее определяется процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда:
где - средний уровень для каждого месяца;
Среднемесячный уровень для всего ряда.
Для наглядного представления сезонной волны индексы сезонности изображают в виде графиков.
Индивидуальные индексы:
|
себестоимости |
стоимости |
денежных затрат |
затрат труда |
||
|
i q |
i p |
i z |
i pq |
i qz |
i qt |
Общие индексы:
|
Общий индекс физического объема (как в среднем изм-лось кол-во товаров на рынке) | |
|
Абсолютное изм-ние стои-сти за счет изм-ния кол-ва товаров |
|
|
Общий индекс цен (агрегатный) (как в среднем изм-лись цены на рынке) | |
|
Абсолютное изм-ние стои-сти за счет изм-ния цен |
|
|
Общий индекс товарооборота (стоимости) общ. относит. изме-ния стои-сти товаров на рынке |
|
|
Общ. абсолют. изм-ние стои-сти товаров на рынке |
|
|
Взаимосвязь индексов |
I pq = I p I q |
|
Общий индекс себестоимости | |
|
Общий индекс физич. объема (по себестоимости) | |
|
Взаимосвязь между индексами | |
|
Общий индекс затрат на производство |
Вариационные ряды
3. Методы вычисления средней арифметической (средней арифметической простой и взвешенной, по способу моментов)
Определяем средние величины:
Мода (Мо) =11, т.к. данная варианта встречается в вариационном ряду наиболее часто (р=6).
Медиана (Ме) - порядковый номер варианты занимающей срединное положение = 23, это место в вариационном ряду занимает варианта равная 11. Средняя арифметическая (М) позволяет наиболее полно охарактеризовать средний уровень изучаемого признака. Для вычисления средней арифметической используется два способа: среднеарифметический способ и способ моментов.
Если частота встречаемости каждой варианты в вариационном ряду равна 1, то рассчитывают среднюю арифметическую простую, используя среднеарифметический способ: М = .
Если частота встречаемости вариант в вариационном ряду отличается от 1, то рассчитывают среднюю арифметическую взвешенную, по среднеарифметическому способу:
По способу моментов: А - условная средняя,
М = A + =11 += 10.4 d=V-A, A=Mo=11
Если число вариант в вариационном ряду более 30, то строится сгруппированный ряд. Построение сгруппированного ряда:
1) определение Vmin и Vmax Vmin=3, Vmax=20;
2) определение количества групп (по таблице);
3) расчет интервала между группами i = 3;
4) определение начала и конца групп;
5) определение частоты вариант каждой группы (таблица 2).
Таблица 2
Методика построения сгруппированного ряда
|
Длительность лечения в днях |
||||||||
|
n=45 p=480 p=30 2 p=766 |
Преимущество сгруппированного вариационного ряда заключается в том, что исследователь работает не с каждой вариантой, а только с вариантами, являющимися средними для каждой группы. Это позволяет в значительной степени облегчить расчеты средней.
Величина того или иного признака неодинакова у всех членов совокупности, несмотря на ее относительную однородность. Данную особенность статистической совокупности характеризует одно из групповых свойств генеральной совокупности - разнообразие признака. Например, возьмем группу мальчиков 12 лет и измерим их рост. После проведенных расчетов средний уровень данного признака составит 153 см. Но средняя характеризует общую меру изучаемого признака. Среди мальчиков данного возраста есть мальчики, рост которых составляет 165 см или 141 см. Чем больше мальчиков будут иметь рост отличный от 153 см, тем больше будет разнообразие этого признака в статистической совокупности.
Статистика позволяет охарактеризовать данное свойство следующим критериями:
лимит (lim),
амплитуда (Amp),
среднеквадратическое отклонение (у),
коэффициент вариации (Сv).
Лимит (lim) определяется крайними значениями вариант в вариационном ряду:
lim=V min /V max
Амплитуда (Amp) - разность крайних вариант:
Amp=V max -V min
Данные величины учитывают только разнообразие крайних вариант и не позволяют получить информацию о разнообразии признака в совокупности с учетом ее внутренней структуры. Поэтому данными критериями можно пользоваться для приближенной характеристики разнообразия, особенно при малом числе наблюдений (n<30).
вариационный ряд медицинская статистика
Вариационные ряды
Наиболее полную характеристику разнообразию признака в совокупности дает среднеквадратическое отклонение (у). Существует два способа расчета среднеквадратического отклонения: среднеарифметический и способ моментов...
Вариационные ряды
Для сравнения разнообразия двух средних величин, выраженных в различных единицах измерения или имеющих различия в величине признаков, используется относительная величина, коэффициент вариации (CV), выпаженный в процентах: Cv = * 100%, Если CV>20%...
Вирус иммунодефицита
Мы видим стремительное распространение ВИЧ в России и других странах бывшего восточного блока. В Румынии, перед революцией 1990 года, каждый десятый ребенок в детских домах был ВИЧ инфицированным. После революции ситуация не изменилась...
Культивування Clostridium tetani для одержання правцевого анатоксину
По відношенню до кисню бактерія C. tetani є облігатним анаеробом, тому можливим методом культивування є глибинне культивування, відповідно, відпадає необхідність у підготовці аераційного повітря, проте необхідно подавати інертний газ...
Лекарственные растения и лекарственное растительное сырье, применяемое при лечении гастрита
Острый простой гастрит встречается особенно часто. Причинами развития острого простого (катарального) гастрита являются пренебрежительное отношение к питанию, употребление большого количества крепких алкогольных напитков, в том числе пива...
Методика подбора зубных паст для населения с учетом стоматологического статуса и общего состояния здоровья
Проблема здоров’я у валеології
Процес біосинтезу аміноглікозидного антибіотика тобраміцину
Вибір способу проведення біосинтезу відіграє важливу роль в процесі росту мікроорганізмів. Наявні різні види культивування: глибинне, поверхневе, періодичне, безперервне ...
Роль фельдшера в диагностике, лечении и профилактике столбняка. Противоэпидемические мероприятия в очаге инфекционных заболеваний. Динамика и сравнительный анализ заболеваний столбняка в Сальском районе за период 2013-2014 гг.
Лабораторная диагностика при сгущении крови из-за выраженного и постоянного чрезмерного потоотделения, а также при вторичных бактериальных осложнениях возможна нейтрофилия...
Сестринский процесс при остром гастрите
· Гастроскопия (эндоскопическое исследование, которое проводится с помощью специального оптического прибора, эндоскопа...
Создание прибора для исследования биомеханики дыхания в условиях космического полета
В разработанном приборе предусмотрено 2 режима измерений и вычислений: первый режим -- измерение импеданса всей системы дыхания Zrs во время спокойного- дыхания в - течение 75 с (по 15 с на каждую из пяти частот); второй режим--измерение импеданса...
Стабильная стенокардия
Прогноз Прогноз для выздоровления неблагоприятный, т.к. изменения, произошедшие в сердечно-сосудистой системе необратимы, а патологический процесс быстропрогрессирующий...
Тромбоз и облитерация мозговых сосудов
При ишемии мозга либо сам больной, либо лицо его сопровождающее расскажет, что уже за несколько дней до заболевания больной стал отмечать резкое головокружение, помутнение в глазах, головную боль и общую слабость...
Фармакогностический анализ сырья лекарственных растений, содержащих эфирные масла
1. Методы макро- и микроскопического анализа сырья Макроскопический анализ состоит в определении морфологических (внешних) признаков испытуемого сырья визуально -- невооруженным глазом или с помощью лупы (х 10)...
Челюстно-лицевые переломы
Поскольку такие переломы можно разделить на несколько категорий в зависимости от их анатомической локализации, каждый тип перелома будет рассматриваться отдельно. Очевидно...
Средняя арифметическая обладает рядом математических свойств, которые можно использовать, чтобы упростить ее расчеты. Основные свойства средней арифметической такие.
1. Средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной:
2. Сумма квадратов отклонений от средней арифметической всегда меньше, чем сумма квадратов отклонений от любой другой величины:
X (х X)2 / < (х-А)2 /.
3. Величина средней не изменится, если частоты ряда распределения заменить частостями.
4. Сумма отклонений отдельных значений признака от средней, перемножених на веса (частоты), равна нулю:
£ (х - х) = х - пх = 0 - для простой средней;
£ (х - х)/ = £ х/ - х£ / = 0 - для взвешенной средней.
5. Если все значения признаков увеличить или уменьшить в одинаковое число раз (к), то средняя (х) увеличится или уменьшится во столько же раз:
/ и у_/ ь-
то есть средняя уменьшилась в (к) раз.
6. Если из всех значений вариант (х) отнять или добавить к ним ту же постоянную величину (х0), то средняя (х) уменьшится или увеличится на такую же величину (хо):
В, (х-хо)/ = 2Х В, хо/ = -_ хо В, / = -_ И/ И/ И/ х И/ х°"
то есть средняя уменьшилась на постоянное число х0.
7. Если частоты (веса) разделить или умножить на какое-либо постоянное число (к ), то средняя не изменится:
Вхк/ кУх/ Ух/ -2Ж / £ /
то есть значение средней не изменилось.
8. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений вариант на частоты:
XI / = £X/.
Это равенство вытекает из определяющей свойства средней арифметической, согласно которой, сравнивая варианты, предоставляя им одинаковые значения путем замены их средним значением, неизменным остается общий объем признака.
9. Общая средняя равна средней из частных средних, взвешенных по численности соответствующих частей (групп) совокупности:
Изложенные выше свойства средней арифметической позволяют упростить ее расчеты: можно из всех значений признака вычесть произвольную постоянную величину, полученную разницу разделить на величину интервала, а затем вычисленную среднюю умножить на величину интервала и добавить произвольную постоянную величину, которая принята за начало отсчета.
Формула вычисления средней арифметической упрощенным способом имеет такой вид:
где х = --уменьшена средняя арифметическая;
ф
х= х к° - отклонения в интервалах; х0 - начало отсчета;
к - величина интервала.
Средняя х с значение - называется моментом первого порядка, а к способ вычисления средней способом моментов или способом отсчета от условного начала.
За условное начало отсчета (х0) обычно принимают одно из значений варіючої признаки, которое, как правило, находится в центре ряда распределения или такое, которое имеет наибольшую частоту.
Рассмотрим пример определения средней арифметической в интервальном ряду распределения способом моментов, используя данные о распределении 100 хозяйств по надою молока на корову (табл. 4.7).
За условное начало отсчета (х0) возьмем одно из значений интервала, расположенного в центре ряда распределения и которое имеет наибольшую частоту. В нашей задаче таким значением х0 = 33 ц. Величина интервала к = 2 ц.
По данным таблицы определим условную (уменьшенную) среднюю арифметическую:
Таблица 4.7. Данные для расчета средней арифметической в интервальном ряду распределения способом моментов
Чтобы получить действительную среднюю продуктивность коров, необходимо внести соответствующие поправки:
Таким образом получен такой же результат как и по данным табл. 4.2. Результаты расчетов средней арифметической двумя способами полностью совпали.
4. Четные и нечетные.
В чётных вариационных рядах сумма частот или общее число наблюдений выражено чётным числом, в нечётных ― нечётным.
5. Симметричные и асимметричные.
В симметричном вариационном ряду все виды средних величин совпадают или очень близки (мода, медиана, среднее арифметическое).
В зависимости от характера изучаемых явлений, от конкретных задач и целей статистического исследования, а также от содержания исходного материала, в санитарной статистике применяются следующие виды средних величин:
· структурные средние (мода, медиана);
· средняя арифметическая;
· средняя гармоническая;
· средняя геометрическая;
· средняя прогрессивная.
Мода (М о) - величина варьирующего признака, которая более часто встречается в изучаемой совокупности т.е. варианта, соответствующая наибольшей частоте. Находят ее непосредственно по структуре вариационного ряда, не прибегая к каким-либо вычислениям. Она обычно является величиной очень близкой к средней арифметической и весьма удобна в практической деятельности.
Медиана (М е) - делящая вариационный ряд (ранжированный, т.е. значения вариант располагаются в порядке возрастания или убывания) на две равные половины. Медиана вычисляется при помощи так называемого нечетного ряда, который получают путем последовательного суммирования частот. Если сумма частот соответствует четному числу, тогда за медиану условно принимают среднюю арифметическую из двух средних значений.
Мода и медиана применяются в случае незамкнутой совокупности, т.е. когда наибольшая или наименьшая варианты не имеют точной количественной характеристики (например, до 15 лет, 50 и старше и т.п.). В этом случае среднюю арифметическую (параметрические характеристики) рассчитать нельзя.
Средня я арифметическая - самая распространенная величина. Средняя арифметическая обозначается чаще через М .
Различают среднюю арифметическую простую и взвешенную.
Средняя арифметическая простая вычисляется:
― в тех случаях, когда совокупность представлена простым перечнем знаний признака у каждой единицы;
― если число повторений каждой варианты нет возможности определить;
― если числа повторений каждой варианты близки между собой.
Средняя арифметическая простая исчисляется по формуле:
где V - индивидуальные значения признака; n - число индивидуальных значений; - знак суммирования.
Таким образом, простая средняя представляет собой отношение суммы вариант к числу наблюдений.
Пример: определить среднюю длительность пребывания на койке 10 больных пневмонией:
16 дней - 1 больной; 17–1; 18–1; 19–1; 20–1; 21–1; 22–1; 23–1; 26–1; 31–1.
койко-дня.
Средняя арифметическая взвешенная исчисляется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака повторяются. Ее можно вычислять двояким способом:
1. Непосредственным (среднеарифметическим или прямым способом) по формуле:
где P - частота (число случаев) наблюдений каждой варианты.
Таким образом, средняя арифметическая взвешенная представляет собой отношение суммы произведений вариант на частоты к числу наблюдений.
2. С помощью вычисления отклонений от условной средней (по способу моментов).
Основой для вычисления взвешенной средней арифметической является:
― сгруппированный материал по вариантам количественного признака;
― все варианты должны располагаться в порядке возрастания или убывания величины признака (ранжированный ряд).
Для вычисления по способу моментов обязательным условием является одинаковый размер всех интервалов.
По способу моментов средняя арифметическая вычисляется по формуле:
,
где М о - условная средняя, за которую чаще принимают величину признака, соответствующую наибольшей частоте, т.е. которая чаще повторяется (Мода).
i - величина интервала.
a - условное отклонение от условий средней, представляющее собой последовательный ряд чисел (1, 2 и т.д.) со знаком + для вариант больших условной средней и со знаком–(–1, –2 и т.д.) для вариант, которые ниже условной средней. Условное же отклонение от варианты, принятой за условную среднюю равно 0.
P - частоты.
Общее число наблюдений или n.
Пример: определить средний рост мальчиков 8 лет непосредственным способом (таблица1).
Т а б л и ц а 1
|
Рост в см |
мальчиков P |
Центральная варианта V |
|
Центральная варианта ― середина интервала ― определяется как полу сумма начальных значений двух соседних групп:
; 
и т.д.
Произведение VP получают путем умножения центральных
вариант на частоты ; и
т.д. Затем полученные произведения складывают и получают 
, которую делят на число наблюдений
(100) и получают среднюю арифметическую взвешенную.
см.
Эту же задачу решим по способу моментов, для чего составляется следующая таблица 2:
Т а б л и ц а 2
|
Рост в см (V) |
мальчиков P |
||
В качестве М о принимаем 122, т.к. из 100 наблюдений у 33 человек рост был 122см. Находим условные отклонения (a) от условной средней в соответствии с вышесказанным. Затем получаем произведение условных отклонений на частоты (aP) и суммируем полученные величины (). В итоге получится 17. Наконец, данные подставляем в формулу.
Свойство 1. Средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной: при
Свойство 2.
Алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю: 
для несгруппированных данных и 
для рядов распределения.
Это свойство означает, что сумма положительных отклонений равна сумме отрицательных отклонений, т.е. все отклонения, обусловленные случайными причинами взаимно погашаются.
Свойство 3.
Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической есть число минимальное: 
для несгруппировочных данных и 
для рядов распределения. Это свойство означает, что сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической всегда меньше суммы отклонений вариантов признака от любого другого значения, даже мало отличающегося от средней.
Второе и третье свойство средней арифметической применяются для проверки правильности расчета средней величины; при изучении закономерностей изменения уровней ряда динамики; для нахождения параметров уравнения регрессии при изучении корреляционной связи между признаками.
Все три первых свойства выражают сущностные черты средней как статистической категории.
Следующие свойства средней рассматриваются как вычислительные, поскольку они имеют некоторое прикладное значение.
Свойство 4. Если все веса (частоты) разделить на какое-либо постоянное число d, то средняя арифметическая не изменится, поскольку это сокращение в равной степени коснется и числителя и знаменателя формулы расчета средней.
Из этого свойства вытекают два важных следствия.
Следствие 1. Если все веса равны между собой, то вычисление средней арифметической взвешенной можно заменить вычислением средней арифметической простой.
Следствие 2 . Абсолютные значения частот (весов) можно заменять их удельными весами.
Свойство 5. Если все варианты разделить или умножить на какое-либо постоянное число d, то средняя арифметическая уменьшиться или увеличиться в d раз.
Свойство 6. Если все варианты уменьшить или увеличить на постоянной число A, то и со средней произойдут аналогичные изменения.
Прикладные свойства средней арифметической можно проиллюстрировать, применив способ расчета средней от условного начала (способ моментов).
Средняя арифметическая способом моментов вычисляется по формуле:
где А – середина какого-либо интервала (предпочтение отдается центральному);
d – величина равновеликого интервала, или наибольший кратный делитель интервалов;
m 1 – момент первого порядка.
Момент первого порядка определяется следующим образом:
.
Технику применения этого способа расчета проиллюстрируем по данным предшествующего примера.
Таблица 5.6
| Стаж работы, лет | Число рабочих | Середина интервала x | |||
| до 5 | 2,5 | -10 | -2 | -28 | |
| 5-10 | 7,5 | -5 | -1 | -22 | |
| 10-15 | 12,5 | ||||
| 15-20 | 17,5 | +5 | +1 | +25 | |
| 20 и выше | 22,5 | +10 | +2 | +22 | |
| Итого | Х | Х | Х | -3 |
Как видно из расчетов, приведенных в табл. 5.6 из всех вариантов вычитается одно из их значений 12,5, которое приравнивается нулю и служит условным началом отсчета. В результате деления разностей на величину интервала – 5 получают новые варианты.
Согласно итогу табл. 5.6 имеем: 
.
Результат вычислений по способу моментов аналогичен результату, который был получен применением основного способа расчета по средней арифметической взвешенной.
Структурные средние
В отличие от степенных средних, которые рассчитываются на основе использования всех вариант значений признака, структурные средние выступают как конкретные величины, совпадающие с вполне определенными вариантами ряда распределения. Мода и медиана характеризуют величину варианта, занимающего определенное положение в ранжированном вариационном ряду.
Мода – это величина признака, которая чаще всего встречается в данной совокупности. В вариационном ряду это будет варианта, имеющая наибольшую частоту.
Нахождение моды в дискретном ряду распределения не требует вычислений. Путем просмотра столбца частот находят наибольшую частоту.
Например, распределение рабочих предприятия по квалификации характеризуются данными табл. 5.7.
Таблица 5.7
Наибольшая частота в этом ряду распределения 80, значит мода равна четвертому разряду. Следовательно, наиболее часто встречаются рабочие, имеющие четвертый разряд.
Если ряд распределения интервальный , то по наибольшей частоте устанавливают только модальный интервал, а затем уже вычисляют моду по формуле:
,
где – нижняя граница модального интервала;
– величина модального интервала;
– частота модального интервала;
– частота предмодального интервала;
– частота послемодального интервала.
Вычислим моду по данным, приведенным в табл. 5.8.
Таблица 5.8
Это значит, что чаще всего предприятия имеют прибыль 726 млн р.
Практическое применение моды ограниченно. На значение моды ориентируются, когда определяют наиболее ходовые размеры обуви и одежды при планировании их производства и реализации, при изучении цен на оптовых и розничных рынках (метод основного массива). Моду используют вместо средней величины при подсчете возможных резервов производства.
Медиана соответствует варианте, стоящей в центре ранжированного ряда распределения. Это значение признака, которое делит всю совокупность на две равные части.
Положение медианы определяется ее номером (N).
где – число единиц совокупности. Используем данные примера, приведенные в табл. 5.7 для определения медианы.
, т.е. медиана равна средней арифметической из 100-го и 110-го значений признака. По накопленным частотам определяем, что 100-я и 110-я единицы ряда имеют величину признака, равную четвертому разряду, т.е. медиана равна четвертому разряду.
Медиана в интервальном ряду распределения определяется в следующем порядке.
1. Подсчитываются накопленные частоты по данному ранжированному ряду распределения.
2. На основе накопленных частот устанавливается медианный интервал. Он находится там, где первая накопленная частота равна или больше половины совокупности (всех частот).
3. Вычисляется медиана по формуле:
,
где – нижняя граница медианного интервала;
– величина интервала;
– сумма всех частот;
– сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;
– частота медианного интервала.
Вычислим медиану по данным табл. 5.8.
Первая накопленная частота, которая равна половине совокупности 30, значит медиана находится в интервале 500-700.
Это означает, что половина предприятий получает прибыль до 676 млн р., а другая половина свыше 676 млн р.
Медиану часто используют вместо средней величины, когда совокупность неоднородна, т.к. она не находится под влиянием крайних значений признака. Практическое применение медианы также связано с ее свойством минимальности. Абсолютная сумма отклонений индивидуальных значений от медианы есть величина наименьшая. Поэтому медиану применяют в расчетах при проектировании места расположения объектов, которые будут использоваться различными организациями и лицами.