Пример парадокса: если береговая линия Великобритании измеряется отрезками по 100 км, то её длина составляет примерно 2 800 км. Если используются отрезки по 50 км, то длина равна приблизительно 3 400 км, что на 600 км больше.
Длина береговой линии зависит от способа её измерения. Поскольку для участка суши можно выделить изгибы любого размера, от сотен километров до долей миллиметра и меньше, нельзя очевидным образом подобрать размер наименьшего элемента, который должен быть взят для измерения. Следовательно, нельзя однозначно определить и периметр данного участка. Существуют различные математические приближения при решении данной задачи.
Основным методом оценки длины границы или береговой линии было наложение N равных отрезков длиной l на карту или аэрофотоснимок с помощью циркуля. Каждый конец отрезка должен принадлежать измеряемой границе. Исследуя расхождения в оценке границ, Ричардсон обнаружил то, что сейчас называется эффектом Ричардсона : масштаб измерений обратно пропорционален общей длине всех отрезков. То есть чем короче используемая линейка, тем длиннее измеряемая граница. Таким образом, испанские и португальские географы попросту руководствовались измерениями разных масштабов.
Наиболее поразительным для Ричардсона оказалось то, что когда величина l стремится к нулю, длина побережья стремится к бесконечности. Изначально Ричардсон полагал, опираясь на Евклидову геометрию, что эта длина достигнет фиксированной величины, как это происходит в случае с правильными геометрическими фигурами. Например, периметр правильного многоугольника, вписанного в окружность, приближается к длине самой окружности с увеличением числа сторон (и уменьшением длины каждой стороны). В теории геометрических измерений такая гладкая кривая, как окружность, которая может быть приближённо представлена в виде небольших отрезков с заданным пределом, называется спрямляемой кривой.
Спустя более десяти лет после завершения Ричардсоном своей работы Мандельброт разработал новую ветвь математики - фрактальную геометрию - для описания таких неспрямляемых комплексов, существующих в природе, как бесконечная береговая линия . Его собственное определение фрактала как основы его исследования таково :
Я придумал слово фрактал , взяв за основу латинское прилагательное fractus . Соответствующий латинский глагол frangere означает ломать : создавать нерегулярные фрагменты. Поэтому разумно, что, помимо «фрагментный», fractus также должно означать и «нерегулярный».
Ключевым свойством фракталов является самоподобие , заключающееся в проявлении одной и той же общей фигуры на любом масштабе. Береговая линия воспринимается как чередование заливов и мысов. Гипотетически, если данная береговая линия имеет свойство самоподобия, то независимо от того, насколько сильно масштабируется та или иная часть, всё равно проявляется аналогичная картина меньших заливов и мысов, наложенная на бо́льшие заливы и мысы, вплоть до песчинок. На таких масштабах береговая линия оказывается мгновенно изменяющейся, потенциально бесконечной нитью со стохастическим расположением заливов и мысов. В таких условиях (в отличие от гладких кривых) Мандельброт утверждает: «Длина береговой линии оказывается недостижимым понятием, скользящим между пальцами тех, кто пытается его понять» .
где длина береговой линии L является функцией от единицы измерения ε и аппроксимируется выражением из правой части. F - константа, D - параметр Ричардсона, зависящий от самой береговой линии (Ричардсон не дал теоретического объяснения этой величины, однако Мандельброт определил D как нецелочисленную форму размерности Хаусдорфа , позже - фрактальной размерности. Иными словами, D - это практически измеренное значение «неровности»). Перегруппировав правую часть выражения, получаем:
где Fε -D должно быть количеством единиц ε, необходимых для получения L. Фрактальная размерность - это число измерений объекта, используемое для аппроксимации фрактала: 0 - для точки, 1 - для линии, 2 - для площадных фигур. Поскольку ломаная линия, измеряющая длину берега, не распространяется в одном направлении и вместе с тем не представляет собой площадь, значение D в выражении занимает промежуточное положение между 1 и 2 (для побережья обычно менее 1,5). Оно может быть интерпретировано как толстая линия или полоса шириной 2ε. Более «разбитые» побережья имеют большее значение D и тем самым L оказывается длиннее при одинаковых ε. Мандельброт показал, что D не зависит от ε.
В целом береговые линии отличаются от математических фракталов, поскольку они формируются с использованием многочисленных мелких деталей, создающих модели только статистически .
В реальности на береговых линиях отсутствуют детали меньше 1 см [ ] . Это связано с эрозией и другими морскими явлениями. В большинстве мест минимальный размер гораздо больше. Поэтому модель бесконечного фрактала не подходит для береговых линий.
Из практических соображений выбирают минимальный размер деталей равным порядку единиц измерения. Так, если береговая линия измеряется в километрах, то небольшие изменения линий, гораздо меньшие одного километра, просто не принимаются во внимание. Для измерения береговой линии в сантиметрах должны быть рассмотрены все небольшие вариации размером около одного сантиметра. Однако на масштабах порядка сантиметров должны быть сделаны различные произвольные нефрактальные допущения, например, там, где устье присоединяется к морю, или в тех местах, где должны быть проведены измерения на широких ваттах . Кроме того, использование различных методов измерения для разных единиц измерения не позволяет сделать преобразование этих единиц с помощью простого умножения.
Для определения государственных территориальных вод строят так называемые изгибы побережья канадской провинции Британская Колумбия составляют более 10 % длины канадской береговой линии (с учётом всех островов Канадского Арктического архипелага) - 25 725 км из 243 042 км на линейном расстоянии, равном всего 965 км
Общеизвестный факт:
Пример парадокса: если береговая линия Великобритании измеряется отрезками по 100 км, то её длина составляет примерно 2 800 км. Если используются отрезки по 50 км, то длина равна приблизительно 3 400 км, что на 600 км больше.Длина береговой линии зависит от способа её измерения. Поскольку для участка суши можно выделить изгибы любого размера, от сотен километров до долей миллиметра и меньше, нельзя очевидным образом подобрать размер наименьшего элемента, который должен быть взят для измерения. Следовательно, нельзя однозначно определить и периметр данного участка. Существуют различные математические приближения при решении данной задачи.
Аналогичный эффект существует для рынков, покольку ему присущи свойства самоподобия или фрактальности и изменение масштаба рассмотрения процесса изменения цен влияет на длину графика.
Причем тут Татарин30? В общем-то ни причем.Этот факт общеизвестен и не склоняется только ленивым. Но именно Татарин30 в конце концов заставил меня использовать этот факт в моих действиях на рынке. Точнее, не сам Татарин30, а его интервью Тимофею Мартынову. Сорри, ссылку не даю, потому что не помню.
В чем суть моих выводов...
Длину береговой линии можно мерить в разных масштабах. И длину рыночных движений тоже
Можно торговать большие движения, они есть, но их немного. По ним можно получить большую прибыль, но по ним можно получить и достаточно большой убыток, если рынок откажется следовать в направлении сделанной ставки.
Но можно мерить длину графика в малых масштабах. Не заморачиваясь стратегическими перспективами движения рыночных цен и глобальными целями и фиксируя свой профит по малым делениям измерительной линейки/
В чем плюсы такой стратегии - жесткий контроль убытка, если рынок пошел не туда.
В чем минусы - недобор профита, если рынок пошел туда...
С учетом того факта, что большие тренды бывают гораздо реже, чем малые движения, и того свойства, что большое движение в каком-либо направлении будет реализовано в виде множества импульсов и откатов против стратегического направления движения рынка, данный подход в долгосрочной перспективе должен дать больше плюсов, чем минусов.
Да, верно оценить направление и получить профит приятно. Но и цена ошибки при долгосрочной торговле тоже велика. А путь в 1000 ли начинается с одного шага. Поэтому лучше среагировать на этот один шаг и зафиксировать прибыль, чем ждать поворота в прежнем направлении пересиживая убыток.
И о фракталах. Билли Вильямс с его фракталами тут совершенно ни причем.
С суши имеет особенности на всех уровнях, от сотни километров в размере до крошечных долей миллиметра и ниже, нет никаких очевидных ограничений на размер наименьших особенностей, и, следовательно, ни один четко определенный периметр суши не зафиксирован. Различные аппроксимации существуют при определенных допущениях минимального размера.
Примером парадокса служит всем известное побережье Великобритании . Если береговая линия Великобритании измеряется с использованием фрактальной единиц в 100 км (62 мили) в длину, то длина береговой линии составляет около 2800 км (1700 миль). С единицей в 50 км (31 миль), общая протяженность составляет около 3400 км (2100 миль), примерно на 600 км (370 миль) длиннее.
Математические аспекты
Основная концепция длины происходит от Евклидова расстояния . В знакомой евклидовой геометрии , прямая линия представляет кратчайшее расстояние между двумя точками; эта линия имеет только одну конечную длину. Геодезическая длина на поверхности сферы, называемая большой длиной круга, измеряется по поверхности кривой, которая существует в плоскости, в содержащей конечные точки пути и центр сферы. Длина основной кривой является более сложной, но также может быть рассчитана. Измеряя с помощью линейки, человек может аппроксимировать длины кривой добавлением суммы прямых линий, соединяющих точки:
Используя несколько прямых приближенных к длине кривой будет произведена низкая оценка. Использование все более и более коротких линий будет производить сумму длин, которая приближается к истинной длине кривой. Точное значение этой длины можно установить с помощью исчисления, - раздела математики, позволяющим рассчитывать бесконечно малые расстояниях. Следующая анимация иллюстрирует данный пример:
Однако, не все кривые могут быть измерены таким образом. Фрактальной по определению считается кривая , со сложными изменениями шкалы измерения. Принимая во внимание приближение гладкой кривой ближе и ближе к одному значению по мере увеличения точности измерений, измеренное значение фракталов может существенно измениться.
Длина "истинного фрактала " всегда стремится к бесконечности. Однако, эта цифра основана на идее, что пространство может быть подразделено до неопределенности, т.е. быть неограниченным. Это фантастика, которая лежит в основе евклидовой геометрии и служит в качестве полезной модели в повседневных измерениях, почти наверняка не отражает изменяющиеся реалии «пространства» и «расстояния» на атомном уровне. Береговые линии отличаются от математических фракталов, они образуются из многочисленных мелких деталей, которые создают модели только статистически.
Из практических соображений , можно использовать измерение при соответствующем выборе минимального размера порядковой единицы. Если береговая линия измеряется в километрах, то небольшие вариации намного меньше, чем в одном километре и их легко игнорировать. Для измерения береговой линии в сантиметрах, малюсенькие изменения размера должны быть рассмотрены. Использование различных методик измерения для различных единиц также разрушает обычную уверенность, что блоки могут быть преобразованы с помощью простого умножения. Крайние случаи береговой линии включают парадокс фьордов тяжелых побережья Норвегии, Чили и Тихоокеанского побережья Северной Америки.
Незадолго до 1951 года, Льюис Фрай Ричардсон , в исследовании возможного влиянии длины границы на вероятность войны, заметил, что португальцы представили свои измеренные границе с Испанией , длину в 987 км, но Испания сообщила ее как 1214 км. Это было началом проблемы береговой линии, которую математически сложно измерить ввиду нерегулярности самой линии. Преобладающим методом оценки длины границы (или береговой линии) было наложение N количества равных отрезков с длиной ℓ с разделителями на карте или аэрофотоснимков. Каждый конец сегмента должен быть на границе. Исследовав расхождения в оценке границ, Ричардсон обнаружил то, что сейчас называется эффектом Ричардсона: сумма сегментов обратно пропорциональна общей длине сегментов. По сути, тем короче линейка, тем больше измеренной границы; испанскими и португальскими географами граница была просто измерена с помощью разной длины линеек. В результате поразило Ричардсона то, что, при определенных обстоятельствах, когда длина линейки ℓ стремится к нулю, длина береговой линии также стремится к бесконечности. Ричардсон считает, что на основании геометрии Евклида , береговая линия будет подходить к фиксированной длине, как делать подобные оценки правильных геометрических фигур. Например, периметр правильного многоугольника, вписанного в окружность, приближается к окружности с увеличением числа сторон (и уменьшение длины одной стороны). В геометрической теории меры такая гладкая кривая, как круг, к которому могут быть приближены небольшие прямые сегменты с определенным пределом, называется спрямляемой кривой.
Более десяти лет после того, как Ричардсон завершил свою работу, Бенуа Мандельброт разработал новую область математики, - фрактальную геометрию для описания именно таких неспрямляемых комплексов в природе в виде бесконечной береговой линии. Собственное определение новой фигуры, выступающей в качестве основания для его исследования: Я придумал фрактал от латинского прилагательного «фрагментированный » чтобы создать нерегулярные фрагменты. Поэтому целесообразно... что, в дополнение к "фрагментированным" ... разорванные должно также означать "нерегулярные".
Ключевым свойством фрактала есть самоподобие, то есть, в любом масштабе проявляется та же общая конфигурация. Береговая линия воспринимается как заливы, чередующиеся с мысами. В гипотетической ситуации, данное побережье обладает этим свойством самоподобия, независимо от того, как сильно любой небольшого участка побережья проявляется в увеличенном виде, аналогичная картина меньших заливов и мысов накладывается на большие заливы и мысы, вплоть до песчинки. При этом масштабы береговой линии мгновенно меняется в потенциально бесконечно длинную нить со случайным расположением бухт и мысов формируемых из небольших объектов. В таких условиях (в отличие от гладких кривых) Мандельброт утверждает, "длина береговой линии оказывается неуловимым понятием, которая скользит между пальцами тех, кто хочет понять его. "Существуют различные виды фракталов. Береговая линия с указанными параметрами находится в "первой категории фракталов, а именно кривые с фрактальной размерностью больше 1." Это последнее утверждение представляет собой расширение Мандельбротом мысли Ричардсона.
Заявление Мандельброта Эффекта Ричардсона:
где L, длина береговой линии, функция единицы измерения, ε, аппроксимируется выражением. F является постоянной и D это параметр Ричардсона. Он не дал теоретическое объяснение, но Мандельброт определил D с нецелой формой размерности Хаусдорфа , позже - фрактальной размерности. Перегруппировав правую сторону выражения получаем:
где Fε-D должно быть количеством единиц ε, необходимых для получения L. Фрактальная размерность - число размеров фрактала используемых для аппроксимации фрактала: 0 для точки, 1 для линии, 2 для площади. D в выражении находится между 1 и 2, для побережья обычно меньше, чем 1,5. Ломаное измерение побережья не распространяется в одном направлении и не представляют собой область, но является промежуточным. Это можно интерпретировать как толстые линии или полосы шириной 2ε. Более ломаные береговые линии имеют большую D и, следовательно, L больше, за тот же ε. Мандельброт показал, что D не зависит от ε.
Источник : http://en.wikipedia.org/wiki/Coast#Coastline_problem
http://en.wikipedia.org/wiki/Coastline_paradox
Перевод: Дмитрий Шахов
При изучении географии вы, конечно, помните, что каждая из стран имеет свою площадь территории и длину границы, в частности, если страна омывается каким-либо морем или океаном, то она имеет морскую границу определенной длины. Задумывались ли вы когда-либо, как эту длину границы определяют? В 1977 г. американский математик Бенуа Мандельброт поставил перед собой следующий вопрос: чему равна длина береговой линии Великобритании? Оказалось, что корректно ответить на этот "детский вопрос" не удается. В 1988 г. норвежский ученый Енс Федер решил выяснить, чему равна длина береговой линии Норвегии. Обратите внимание на то, что побережье Норвегии сильно изрезано фиордами. Другие ученые задавали себе аналогичные вопросы о длинах береговых линий побережий Австралии, Южной Африки, Германии, Португалии и других стран.
Мы можем измерить длину береговой линии только приблизительно. По мере того как мы уменьшаем масштаб, нам приходится измерять все больше маленьких мысов и бухт - длина береговой линии увеличивается, и объективного предела уменьшению масштаба (и, тем самым, увеличению длины береговой линии) просто не существует; мы вынуждены признать, что эта линия имеет бесконечную длину. Мы знаем, что размерность прямой линии равна одному, размерность квадрата - двум, а размерность куба - трем. Мандельброт предложил использовать для измерения "чудовищных" кривых дробные размерности - размерности Хаусдорфа - Безиковича . Бесконечно изломанные кривые, подобные береговой линии - не вполне линии. Они как бы "заметают" часть плоскости, подобно поверхности. Но они и не поверхности. Значит, резонно предположить, что их размерность больше одного, но и меньше двух, то есть это дробно-размерные объекты.
Норвежский ученый Е. Федер , предложили другой способ измерения длины береговой линии. Карту покрыли квадратной сеткой, ячейки которой имеют размеры е ? е. Видно, что число N(e) таких ячеек, которые покрывают береговую линию на карте, приближенно равно числу шагов, за которое можно обойти по карте береговую линию циркулем с раствором e. Если е уменьшать, то число N(e) будет возрастать. Если бы длина береговой линии Великобритании имела определенную длину L, то число шагов циркуля с раствором (или число квадратных ячеек N(e), покрывающих береговую линию на карте) было бы обратно пропорционально e, а величина Ln (e)=N(e) ? e при уменьшении к стремилась бы к постоянной L. К сожалению, расчеты, проведенные многими учеными, показали, что это не совсем так. При уменьшении шага измеренная длина возрастает. Оказалось, что взаимосвязь измеренной длины L(e) и шага e может быть описана приближенным соотношением
Коэффициент D называется фрактальной размерностью. Слово фрактал происходит от латинского слова fractal - дробный, нецелый. Множество называется фрактальным, если оно имеет нецелую размерность. Для Норвегии D=1,52, а для Великобритании D=1,3. Таким образом, береговая линия Норвегии и Великобритании - фрактал с фрактальной размерностью D. Расчеты были также проведены и для окружности, и фрактальная размерность окружности D=1, что и следовало ожидать. Таким образом, фрактальная размерность - обобщение обычной размерности.
Как это понимать и что бы это могло означать? Математики стали вспоминать, было ли что-либо подобное раньше в математике или нет? И вспомнили! Рассмотрим часть некоторой линии АВ на плоскости (рис. 3). Возьмем квадрат с ребром e и спросим себя: сколько нужно квадратиков N(е) с ребром длиной е, чтобы покрыть линию АВ такими квадратиками? Видно, что N(e) пропорционально
Аналогично, если замкнутую ограниченную область на плоскости (рис. 4) покрыть квадратной сеткой со стороной e, то минимальное число квадратиков со стороной е, покрывающих область, будет равно
Если мы рассмотрим замкнутую ограниченную область в трехмерном пространстве и возьмем кубик с ребром e, то количество кубиков, заполняющих эту область,
Определим фрактальную размерность исходя из выше изложенного в общем случае следующим образом:
Возьмем логарифм от левой и правой частей
Переходя к пределу при e, стремящемся к нулю (N, стремящемся к бесконечности), получим
Это равенство является определением размерности которая обозначается d.