В предыдущих главах были рассмотрены приемы построения чертежей в плоскости XY. Положение любой точки в этой системе координат характеризуются двумя значениями – абсциссой и ординатой. Для выполнения построений в трехмерном пространстве к этим координатам добавляется третья величина, определяющая объем того или иного изделия. Речь идет о координате Z, придающей плоским объектам объем. Умение правильно задавать координаты трехмерных объектов способствует корректному моделированию пространственных деталей. Для этих целей AutoCAD располагает тремя типами систем отсчета: трехмерные декартовые, цилиндрические и сферические координаты.
ДЕКАРТОВЫЕ КООРДИНАТЫ
Для обозначения положения точки в трехмерном пространстве при помощи декартовых координат необходимо к значениям ее координат на плоскости XY добавить третье значение – координату Z. Так, например, на рис. 10.4 изображена точка, у которой координаты в плоскости XY равны 13.19, а по оси Z – 11 единиц.
При вводе координат в этой системе в первую очередь задается координата X, затем через запятую Y и только потом Z. Например: 13,19,11. Если числовое значение координаты дробное, то разделять целую и дробную части необходимо точкой. Кроме того, пробелы между числами и запятыми не допускаются.
Примечание. Если при вводе координат в трехмерном пространстве пропущено значение Z, AutoCAD автоматически присвоит ему значение по умолчанию, записанное в системной переменной ELEVATION и называемое возвышением.
При создании трехмерных объектов используются понятия возвышения (уровня плоскости XY) и высоты. Возвышение определяется Z-координатой плоскости XY, на которой объект построен. Понятно, что если возвышение равно нулю (значение по умолчанию), то уровень объекта (его плоскость) совпадает с плоскостью XY. При положительном возвышении объект находится выше плоскости XY, а при отрицательном – ниже. Что касается высоты трехмерных объектов, то она определяет расстояние, на которое объект смещен относительно возвышения.
Обычно к редактированию параметров возвышения и высоты прибегают в случае, когда необходимо построить несколько точек, у которых координата Z имеет одно и то же значение. Упрощение построений вызвано тем, что при этом достаточно будет вводить для каждой такой точки только два значения, определяющих ее положение в плоскости XY.
Как уже было отмечено, текущее значение возвышения хранится под именем системной переменной ELEVATION, а высоты – переменной THICKNEES. Для того чтобы изменить значение обоих параметров, присваиваемое вновь созданным объектам, нужно выполнить команду Elev и ответить на следующие вопросы:
Command: Elev
Specify new default elevation <0.0000>: <Ввод нового значения возвышения>
Specify new default thickness <0.0000>: <Ввод нового значения высоты>
Также следует отметить, что значение высоты объекта можно менять из палитры Properties (Свойства).
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
Положение точки в цилиндрических координатах также определяется тремя величинами, однако одно из них – угловое.
Как известно, круговой цилиндр образуется путем вращения образующей 2-3 (рис. 10.5а) по окружности, описывая угол 360°. Именно этот принцип положен в концепцию цилиндрических координат. Определяя положение точки, необходимо задать вначале радиус цилиндра (0-1), затем угол вращения образующей (1-2) и, наконец, высоту цилиндра (2-3). Так, например, точка, изображенная на рис. 10.36, была построена относительно текущей ПСК после ввода в командную строку 23<55,12. Значок «<» указывает на то, что после него вводится числовое значение угла поворота образующей, запятая перед этим значком не ставится, а после величины угла – должна вводиться обязательно. Таким образом, в цилиндрической системе координат положение точки определяется в следующем порядке: радиус – угол – образующая.
Следует обратить внимание на правило знаков. Что касается линейных координат, то тут все просто – направление осей определяет положительные значения отсчета. При этом положительное направление оси Z можно контролировать правилом правой руки. Это правило заключается в следующем. Если большой палец правой руки совместить с осью X, а указательный – с осью Y, то остальные пальцы в изогнутом положении укажут положительное направление оси Z (рис. 10.56).
Для определения положительного направления вращения относительно любой оси нужно следовать следующему правилу. Если установить наблюдателя со стороны положительного направления оси, то положительное направление отсчета углов будет совпадать с движением против часовой стрелки (рис. 10.4). Таким образом, чтобы ввести направление угла по часовой стрелке, значение угла следует вводить со знаком минус.
СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
Положение точки в сферических координатах определяется также тремя величинами, из которых одно линейное, а два остальных – угловые.
Как известно, сферическая поверхность представляет собой геометрическое место точек пространства, равноудаленных от одной точки – центра шара. Поэтому, чтобы определить положение точки, расположенной на поверхности сферы (рис. 10.7а), достаточно указать радиус окружности, вращением которой образуется шар (0-1), затем угол, образованный вращением окружности вокруг оси Z (1-2), и наконец, угол, образованный вращением окружности относительно оси X (2-3). Так, например, точка, изображенная на рис. 10.76, была построена относительно текущей ПСК после ввода в командную строку 25<55<27. Значок «<» указывает на то, что после него вводится числовое значение угла поворота образующей. Таким образом, в сферической системе координат положение точки определяется в следующем порядке:
ФИЛЬТРЫ ТОЧЕК
Координатные фильтры точек – это еще один способ ввода координат в трехмерном пространстве, отличительной чертой которого является зависимость от координат ранее введенных объектов. Другими словами, чтобы назначить координаты этим способом, нужно привязаться к узлам уже существующих объектов для автоматического извлечения из них заказанной вами координаты.
Примечание. Задание координат в трехмерном пространстве способом фильтрации точек может быть эффективно только при использовании режимов объектной привязки.
), с помощью которых определяют положение светил и вспомогательных точек на небесной сфере. В астрономии употребляют различные системы небесных координат. Каждая из них по существу представляет собой сферическую систему координат (без радиальной координаты) с соответствующим образом выбранной фундаментальной плоскостью и началом отсчёта. В зависимости от выбора фундаментальной плоскости система небесных координат называется горизонтальной (плоскость горизонта), экваториальной (плоскость экватора), эклиптической (плоскость эклиптики) или галактической (галактическая плоскость).
Координаты на плоскости и в пространстве можно вводить бесконечным числом разных способов. Решая ту или иную математическую или физическую задачу методом координат, можно использовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в которой задача решается проще или удобнее в данном конкретном случае. Известным обобщением системы координат являются системы отсчёта и системы референции .
Энциклопедичный YouTube
1 / 5
Модель декартовой системы координат.
Геометрия 11 класс - Прямоугольная система координат в пространстве
Координатная плоскость ➽ Алгебра 7 класс ➽ Видеоурок
Видеоурок "Полярная система координат"
Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты вектора. Видеоурок по геометрии 11 класс
Субтитры
Основные системы
В этом разделе даются разъяснения к наиболее употребляемым системам координат в элементарной математике.
Декартовы координаты
Расположение точки P на плоскости определяется декартовыми координатами с помощью пары чисел (x , y) : {\displaystyle (x,y):}
В пространстве необходимо уже 3 координаты (x , y , z) : {\displaystyle (x,y,z):}
Полярные координаты
В полярной системе координат , применяемой на плоскости, положение точки P определяется её расстоянием до начала координат r = |OP| и углом φ её радиус-вектора к оси Ox .
В пространстве применяются обобщения полярных координат - цилиндрические и сферические системы координат.
Цилиндрические координаты
Цилиндрические координаты - трёхмерный аналог полярных, в котором точка P представляется упорядоченной тройкой (r , φ , z) . {\displaystyle (r,\varphi ,z).}
Примечание: в литературе для первой (радиальной) координаты иногда используется обозначение ρ , для второй (угловой, или азимутальной) - обозначение θ , для третьей координаты - обозначение h .Полярные координаты имеют один недостаток: значение φ не определено при r = 0 .
Цилиндрические координаты полезны для изучения систем, симметричных относительно некоторой оси. Например, длинный цилиндр с радиусом R в декартовых координатах (с осью z , совпадающей с осью цилиндра) имеет уравнение x 2 + y 2 = R 2 , {\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2},} тогда как в цилиндрических координатах оно выглядит гораздо проще, как r = R .
Сферические координаты
Сферические координаты - трёхмерный аналог полярных.
В сферической системе координат расположение точки P определяется тремя компонентами: (ρ , φ , θ) . {\displaystyle (\rho ,\varphi ,\theta).} В терминах декартовой системы координат,
Примечание: в литературе иногда азимут обозначается θ , а полярный угол - φ . Иногда для радиальной координаты используется r вместо ρ . Кроме того, диапазон углов для азимута может выбираться как (−180°, +180°] вместо диапазона , а не в диапазоне . Иногда порядок координат в тройке выбирается отличным от описанного; например, полярный и азимутальный углы могут быть переставлены.Сферическая система координат также имеет недостаток: φ и θ не определены, если ρ = 0; угол φ не определён также и для граничных значений θ = 0 и θ = 180° (или для θ = ±90°, в случае принятия соответствующего диапазона для этого угла).
Для построения точки P по её сферическим координатам нужно от полюса вдоль положительной полуоси z отложить отрезок, равный ρ , повернуть его на угол θ вокруг оси y x , и затем повернуть на угол θ вокруг оси z в направлении положительной полуоси y .
Сферические координаты полезны при изучении систем, симметричных относительно точки. Так, уравнение сферы с радиусом R в декартовых координатах с началом отсчёта в центре сферы выглядит как x 2 + y 2 + z 2 = R 2 , {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},} тогда как в сферических координатах оно становится намного проще: ρ = R . {\displaystyle \rho =R.}
Другие распространённые системы координат
- Аффинная (косоугольная) система координат - прямолинейная система координат в аффинном пространстве . На плоскости задается точкой начала координат О и двумя упорядоченными неколлинеарными векторами , которые представляют собой аффинный базис. Осями координат в данном случае называются прямые , проходящие через точку начала координат параллельно векторам базиса, которые, в свою очередь, задают положительное направление осей. В трехмерном пространстве , соответственно, аффинная система координат задается тройкой линейно независимых векторов и точкой начала координат. Для определения координат некоторой точки М вычисляются коэффициенты разложения вектора ОМ по векторам базиса .
- Барицентрические координаты были впервые введены в 1827 году А. Мебиусом , решавшим вопрос о центре тяжести масс, расположенных на вершинах треугольника . Они аффинно инвариантны, представляют собой частный случай общих однородных координат . Точка с барицентрическими координатами расположена в n -мерном векторном пространстве E n , а собственно координаты при этом относятся к фиксированной системе точек, которые не лежат в (n −1)-мерном подпространстве. Барицентрические координаты используются также и в алгебраической топологии применительно к точкам симплекса .
- Биангулярные координаты - частный случай бицентрических координат, система координат на плоскости, задаваемая двумя фиксированными точками С 1 и С 2 , через которые проводится прямая, выступающая в качестве оси абсцисс. Позиция некоторой точки P , которая не лежит на этой прямой, определяется углами PC 1 C 2 и PC 2 C 1 .
- Биполярные координаты характеризуются тем, что в качестве координатных линий на плоскости в этом случае выступают два семейства окружностей с полюсами A и B , а также семейство окружностей, ортогональных к ним. Преобразование биполярных координат в декартовы прямоугольные осуществляется посредством специальных формул. Биполярные координаты в пространстве называются бисферическими; в этом случае координатными поверхностями являются сферы , поверхности, образуемые вращением дуг окружностей, а также полуплоскости , проходящие через ось O z .
- Бицентрические координаты - всякая система координат, которая основана на двух фиксированных точках и в рамках которой положение некоторой другой точки определяется, как правило, степенью её удаления или вообще позицией относительно этих двух основных точек. Системы подобного рода могут быть довольно полезны в определённых сферах научных исследований .
- Бицилиндрические координаты - система координат, которая образуется в том случае, если система биполярных координат на плоскости O xy параллельно переносится вдоль оси O z . В качестве координатных поверхностей в этом случае выступают семейство пар круговых цилиндров , оси которых параллельны, семейство ортогональных к ним круговых цилиндров, а также плоскость. Для перевода бицилиндрических координат в декартовы прямоугольные для трехмерного пространства также применяются специальные формулы .
- Конические координаты - трехмерная ортогональная система координат, состоящая из концентрических сфер, которые описываются посредством их радиуса , и двух семейств перпендикулярных конусов , расположенных вдоль осей x и z .
- Координаты Риндлера используются преимущественно в рамках теории относительности и описывают ту часть плоского пространства-времени , которая обыкновенно называется пространством Минковского . В специальной теории относительности равномерно ускоряющаяся частица находится в гиперболическом движении , и для каждой такой частицы в координатах Риндлера может быть выбрана такая точка отсчёта , относительно которой она покоится.
- Параболические координаты - это двумерная ортогональная система координат, в которой координатными линиями является совокупность конфокальных парабол . Трехмерная модификация параболических координат строится путём вращения двумерной системы вокруг оси симметрии этих парабол. У параболических координат также имеется определенный спектр потенциальных практических приложений: в частности, они могут использоваться применительно к эффекту Штарка . Параболические координаты связаны определенным отношением с прямоугольными декартовыми .
- Проективные координаты существуют, согласно наименованию, в проективном пространстве П n (К ) и представляют собой взаимно однозначное соответствие между его элементами и классами конечных подмножеств элементов тела К , характеризующихся свойствами эквивалентности и упорядоченности. Для определения проективных координат проективных подпространств достаточно определить соответствующие координаты точек проективного пространства. В общем случае относительно некоторого базиса проективные координаты вводятся чисто проективными средствами .
- Тороидальная система координат - трехмерная ортогональная система координат, получаемая в результате вращения двумерной биполярной системы координат вокруг оси, разделяющей два её фокуса. Фокусы биполярной системы, соответственно, превращаются в кольцо с радиусом а , лежащее на плоскости xy тороидальной системы координат, в то время как ось z становится осью вращения системы. Фокальное кольцо также называют иногда базовой окружностью .
- Трилинейные координаты являются одним из образцов однородных координат и имеют своей основой заданный треугольник, так что положение некоторой точки определяется относительно сторон этого треугольника - главным образом степенью удаленности от них, хотя возможны и другие вариации. Трилинейные координаты могут быть относительно просто преобразованы в барицентрические; кроме того, они также конвертируемы в двумерные прямоугольные координаты, для чего используются соответствующие формулы .
- Цилиндрические параболические координаты - трехмерная ортогональная система координат, получаемая в результате пространственного преобразования двумерной параболической системы координат. Координатными поверхностями, соответственно, служат конфокальные параболические цилиндры. Цилиндрические параболические координаты связаны определенным отношением с прямоугольными, могут быть применены в ряде сфер научных исследований .
- Эллипсоидальные координаты - эллиптические координаты в пространстве. Координатными поверхностями в данном случае являются эллипсоиды , однополостные гиперболоиды , а также двуполостные гиперболоиды, центры которых расположены в начале координат. Система ортогональна. Каждой тройке чисел, являющихся эллипсоидальными координатами, соответствуют восемь точек, которые относительно плоскостей системы O xyz симметричны друг другу .
Переход из одной системы координат в другую
Декартовы и полярные
где u 0 - функция Хевисайда с u 0 (0) = 0 , {\displaystyle u_{0}(0)=0,} а sgn - функция signum . Здесь функции u 0 и sgn используются как «логические» переключатели, аналогичные по значению операторам «если.. то» (if…else) в языках программирования. Некоторые языки программирования имеют специальную функцию atan2 (y , x ), которая возвращает правильный φ в необходимом квадранте , определённом координатами x и y .
Декартовы и цилиндрические
x = r cos φ , {\displaystyle x=r\,\cos \varphi ,} y = r sin φ , {\displaystyle y=r\,\sin \varphi ,} r = x 2 + y 2 , {\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},} φ = arctg y x + π u 0 (− x) sgn y , {\displaystyle \varphi =\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}+\pi u_{0}(-x)\,\operatorname {sgn} y,} z = z . {\displaystyle z=z.\quad } (d x d y d z) = (r cos θ − r sin φ 0 r sin θ r cos φ 0 0 0 1) ⋅ (d r d φ d z) , {\displaystyle {\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\cos \theta &-r\sin \varphi &0\\r\sin \theta &r\cos \varphi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dz\end{pmatrix}},} (d r d φ d z) = (x x 2 + y 2 y x 2 + y 2 0 − y x 2 + y 2 x x 2 + y 2 0 0 0 1) ⋅ (d x d y d z) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&0\\{\frac {-y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}.}Декартовы и сферические
x = ρ sin θ cos φ , {\displaystyle {x}=\rho \,\sin \theta \,\cos \varphi ,\quad } y = ρ sin θ sin φ , {\displaystyle {y}=\rho \,\sin \theta \,\sin \varphi ,\quad } z = ρ cos θ ; {\displaystyle {z}=\rho \,\cos \theta ;\quad } ρ = x 2 + y 2 + z 2 , {\displaystyle {\rho }={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},} θ = arccos z ρ = arctg x 2 + y 2 z , {\displaystyle {\theta }=\arccos {\frac {z}{\rho }}=\operatorname {arctg} {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}},} φ = arctg y x + π u 0 (− x) sgn y . {\displaystyle {\varphi }=\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}+\pi \,u_{0}(-x)\,\operatorname {sgn} y.} (d x d y d z) = (sin θ cos φ ρ cos θ cos φ − ρ sin θ sin φ sin θ sin φ ρ cos θ sin φ ρ sin θ cos φ cos θ − ρ sin θ 0) ⋅ (d ρ d θ d φ) , {\displaystyle {\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi &-\rho \sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-\rho \sin \theta &0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix}},} (d ρ d θ d φ) = (x / ρ y / ρ z / ρ x z ρ 2 x 2 + y 2 y z ρ 2 x 2 + y 2 − (x 2 + y 2) ρ 2 x 2 + y 2 − y x 2 + y 2 x x 2 + y 2 0) ⋅ (d x d y d z) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x/\rho &y/\rho &z/\rho \\{\frac {xz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {yz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {-(x^{2}+y^{2})}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}.}Цилиндрические и сферические
r = ρ sin θ , {\displaystyle {r}=\rho \,\sin \theta ,} φ = φ , {\displaystyle {\varphi }=\varphi ,\quad } z = ρ cos θ ; {\displaystyle {z}=\rho \,\cos \theta ;} ρ = r 2 + z 2 , {\displaystyle {\rho }={\sqrt {r^{2}+z^{2}}},} θ = arctg z r + π u 0 (− r) sgn z , {\displaystyle {\theta }=\operatorname {arctg} {\frac {z}{r}}+\pi \,u_{0}(-r)\,\operatorname {sgn} z,} φ = φ . {\displaystyle {\varphi }=\varphi .\quad } (d r d φ d h) = (sin θ ρ cos θ 0 0 0 1 cos θ − ρ sin θ 0) ⋅ (d ρ d θ d φ) , {\displaystyle {\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dh\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sin \theta &\rho \cos \theta &0\\0&0&1\\\cos \theta &-\rho \sin \theta &0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix}},} (d ρ d θ d φ) = (r r 2 + z 2 0 z r 2 + z 2 − z r 2 + z 2 0 r r 2 + z 2 0 1 0) ⋅ (d r d φ d z) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {r}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}&0&{\frac {z}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}\\{\frac {-z}{r^{2}+z^{2}}}&0&{\frac {r}{r^{2}+z^{2}}}\\0&1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dz\end{pmatrix}}.}Двумерная система координат
Точка P имеет координаты (5,2).
Современная Декартова система координат в двух измерениях (также известная под названиемпрямоугольная система координат) задается двумя осями, расположенными под прямым углом друг к другу. Плоскость, в которой находятся оси, называют иногда xy-плоскости. Горизонтальная ось обозначается как x (ось абсцисс), вертикальная как y (ось ординат). В трехмерном пространстве до двух добавляется третья ось, перпендикулярная xy-плоскости - ось z. Все точки в системе декартовых координат, составляют так называемый Декартов пространство.
Точка пересечения, где оси встречаются, называется началом координат и обозначается как O. Соответственно, ось x может быть обозначена как Ox, а ось y - как Oy. Прямые, проведенные параллельно каждой оси на расстоянии единичного отрезка (единицы измерения длины) начиная с начала координат, формируют координатную сетку.
Точка в двумерной системе координат задается двумя числами, которые определяют расстояние от оси Oy (абсцисса или х-координата) и от оси Ох (ордината или y-координата) соответственно. Таким образом, координаты формируют упорядоченную пару (кортеж) чисел (x, y). В трехмерном пространстве добавляется еще z-координата (расстояние точки от ху-плоскости), и формируется упорядоченная тройка координат (x, y, z).
Выбор букв x, y, z происходит от общего правила наименования неизвестных величин второй половиной латинского алфавита. Буквы первой его половины используются для именования известных величин.
Стрелки на осях отражают то, что они простираются до бесконечности в этом направлении.
Пересечение двух осей создает четыре квадранта на координатной плоскости, которые обозначаются римскими цифрами I, II, III, и IV. Обычно порядок нумерации квадрантов - против часовой стрелки, начиная с правого верхнего (т.е. там, где абсциссы и ординату - положительные числа). Значение, которых приобретают абсциссы и ординаты в каждом квадранте, можно свести в следующую таблицу:
| Квадрант | x | y |
| I | > 0 | > 0 |
| II | <0 | > 0 |
| III | <0 | <0 |
| IV | > 0 | <0 |
Трехмерная и n-мерная система координат
На этом рисунке точка P имеет координаты (5,0,2), а точка Q - координаты (-5, -5,10)
Координаты в трехмерном пространстве формируют тройку (x, y, z).
Координаты x, y, z для трехмерной декартовой системы можно понимать как расстояния от точки до соответствующих плоскостей: yz, xz, и xy.
Трехмерная Декартова система координат является очень популярной, так как соответствует привычным представлениям о пространственных измерения - высоту, ширину и длину (то есть три измерения). Но в зависимости от области применения и особенностей матиматичного аппарата, смысл этих трех осей может быть совсем другим.
Системы координат высших размерностей также применяются (например, 4-мерная система для изображения пространства-времени в специальной теории относительности).
Система декартовых координат в абстрактном n-мерном пространстве является обобщением изложенных выше положений и имеет n осей (по каждой на измерение), что является взаимоперпендикулярных. Соответственно, положение точки в таком пространстве будет определяться кортежем из n координат, илиn-кой.
Уравнение прямой в (планиметрия) в каноническом
виде, параметрическом и общем виде.
Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.
могут быть равны нулю, это означает, что числитель соответствующей дроби тоже равен нулю.
Если в (1) ввести параметр t
|
то уравнения прямой можно записать в виде
Построение Декартовой прямоугольной системы координат
на плоскости
Декартова прямоугольная система координатна плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат OX 1 и OX 2 , которые пересекаются в точке O , называемой началом координат (рис.1). На каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно одинаковы для всех осей (что не является обязательным). В правосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси OX 2 вверх, ось OX 1 смотрела направо. OX 1 -- ось абсцисс, OX 2 -- ось ординат. Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат OX 1 и OX 2 , называются координатными углами или квадрантами .
Точка B A на координатную ось OX 1 ;
Точка C - ортогональная проекция точки A на координатную ось OX 2 ;
Построение Декартовой прямоугольной системы координат в пространстве
Декартова прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX , OY и OZ . Оси координат пересекаются в точке O , которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно одинаковы для всех осей (что не является обязательным). OX -- ось абсцисс, OY -- ось ординат,OZ -- ось аппликат.
Если большой палец правой руки принять за направление X , указательный - за направление Y а средний - за направление Z , то образуется правая система координат. Аналогичными пальцами левой руки образуется левая система координат. Иначе говоря, положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY , если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси OZ . Правую и левую системы координат невозможно совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (рис.2). Точка F - ортогональная проекция точки A на координатную плоскость OXY; Точка E - ортогональная проекция точки A на координатную плоскость OYZ; Точка G - ортогональная проекция точки A на координатную плоскость OX Z ;
Макетное представление Декартовой прямоугольной системы координат в пространстве показано на рисунках 3, 4 и 5.
Определение координат точки в Декартовой прямоугольной системе координат
Главным вопросом любой системы координат является вопрос определения координат точки, находящейся в ее плоскости или пространстве.
Определение координат точки на плоскости Декартовой системы координат
Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами - x и y (рис.5). Координата x равна длине отрезка OB , координата y -- длине отрезка OC в выбранных единицах измерения. Отрезки OB и OC определяются линиями, проведёнными из точки A параллельно осям OY и OX соответственно. Координата x называется абсциссой (лат. abscissa - отрезок), координата y -- ординатой (лат. ordinates - расположенный в порядке) точки A . Записывают так:
Если точка A лежит в координатном углу I, то она имеет положительные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном углу II, то - отрицательную абсциссу и положительную ординату. Если точка A лежит в координатном углу III, то она имеет отрицательные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном углу IV, то - положительную абсциссу и отрицательную ординату.
Так определяются координаты в Декартовой системе координат на плоскости.
