Анатомическое строение корня. Зоны корня. Корень на своем протяжении имеет неодинаковое строение. Он состоит из четырех участков, или зон, которые отличаются анатомическими особенностями и выполняют различные физиологические функции: 1) зона делящихся клеток; 2) зона роста, или растяжения; 3) зона специализации, или всасывания;, 4) зона проведения, или боковых корней (рис.).
Зона делящихся клеток. Эта зона находится на кончике корня и состоит из клеток первичной меристемы, образующих конус нарастания. В отличие от конуса нарастания стебля верхушечная меристема корня образует новые клетки в двух направлениях- с наружи от кончика корня и внутрь от него. Из наружных клеток, формируется корневой чехлик, защищающий нежную образовательную ткань от повреждений при внедрении в почву. Клетки чехлика часто содержат крахмальные зерна и обладают высоким тургором, а также способны ослизняться, благодаря чему они раздвигают частицы почвы и этим способствуют продвижению корня.
Рис. Зоны корня:
/ - зона долящихся клеток; //- зона роста; /// - зона специализации; IV - зона проведении; 1 - корневой чехлик; 2 - калиптроген; 3 – корневые волоски; 4 – заложение бокового корня
Клетки корневого чехлика легко отстают одна от другой вследствие разрушения межклеточного вещества и шелушатся под воздействием механических факторов. Чехлик постоянно нарастает за счет верхушечной меристемы корня. У однодольных растений имеется специальный калиптрогенный слой, образующий чехлик. У водных растений корневой чехлик обычно отсутствует. В результате деления и первоначальной дифференциации клеток первичной меристемы в этой зоне обособляются дермат o г e н, периблема и плером а, которые дают начало всем постоянным тканям корня. Зона делящихся клеток имеет длину 2-3 мм и хорошо видна невооруженным глазом, так как отличается от следующей зоны желтоватым оттенком и большей плотностью. Клетки ее заполнены густой зернистой цитоплазмой и почти не имеют вакуолей.
Зона роста, или растяж е и и я. Здесь деление клеток первичной меристемы прекращается, они вытягиваются по длине корня и в них появляются вакуоли. В этой зоне осуществляется удлинение корня. Протяженность ее составляет несколько миллиметров.
3 о н а специализации,или всасывания.В этой зоне клетки первичной меристемы специализируются и дают начало различным тканям -
покровной, проводящей, основной, характерным для первичного строении корня. Эпиблема образует здесь корневые волоски, всасывающие из почвы воду с минеральными веществами. Корневые волоски функционируют недолго(10...20 дней) и, вскоре отмирают. Вместо них формируются новые
корневые волоски на молодом участке корня, выросшем за это время
из первичной меристемы конуса нарастания. Таким образом, зона
специализации все время занимает одинаковый по длине участок,
почти на одном и том же расстоянии от копчика корня. Она обычно
имеет длину в несколько сантиметров.
 |
Рис. Первичное строение корня (поперечный разрез в зоне всасывания):
/ - первичная кора; // - центральный цилиндр; / - эпиблема; 2 - экзодерма; 3 - мезодерма; 4 - эндодерма; 5 - перицикл; 6 - флоэма; 7 - ксилема; 8 - пропускная клетка
Зона проведения, или боковых корней. Эта зона занимает всю остальную часть корня - от зоны специализации до корневой шейки - и имеет наибольшую протяженность, достигая у некоторых растений нескольких метров длины. По ней вода с минеральными веществами поступает ко всем органам растения. В зоне проведения у двудольных растений формируются ткани, характерные для вторичного строения корня, образуются боковые корни; здесь в основном корень укрепляется в почве.
Первичное строение корня. В первичном строении, которое формируется в зоне специализации (всасывания) корня, выделяют эпиблему, первичную кору и центральный цилиндр.
Эпиблема. Начало эпиблеме дает наружный слой клеток конуса нарастания, т. е. дерматоген. Строение клеток эпиблемы тесно связано с выполняемой корнем в этой зоне функцией всасывания. Оболочки их тонкие, легко проницаемые для воды, не имеют кутикулы. В эпиблеме отсутствуют устьица. Клетки ее обладают способностью образовывать корневые волоски; исключение составляет эпиблема водных растений, у которых корневые волоски или полностью отсутствуют, или образуются в небольшом количестве.
Корневой волосок представляет собой вырост клетки эпиблемы и имеет форму замкнутой на конце трубочки длиной от 0,15 до 1 см и несколько микрометров в поперечнике. В конец корневого волоска переходит клеточное ядро и большая часть цитоплазмы.
Обычно у травянистых растений корневые волоски длиннее, чем у древесных. У некоторых злаков длина их достигает 2 мм. Количество корневых волосков на 1 мм 2 у разных растений различно и в среднем составляет у кукурузы 425, у яблони - около 300, у гороха - 230. Общая длина корневых волосков у сеянца яблони достигает 3000 м. Количество и длина корневых волосков зависят от условий внешней среды: чем суше почва, тем более интенсивно идет их развитие, в воде корневые волоски, как правило, не образуются.
Оболочка корневых волосков у некоторых растений может утолщаться и древеснеть, сохраняя при этом способность всасывать
 |
Рис. Образование корневых волосков: / - волосок; 2 -ядро; 3 - клетки эпиблемы
воду. Такие волоски функционируют значительно дольше (иногда до двух лет).
Поверхность корневых волосков покрыта слоем слизистого вещества, склеивающего их с частицами почвы, поэтому на вынутых из почвы корнях всегда остаются ее частицы.
Первичная кора. Эта часть корня формируется из периблемы- среднего слоя меристематических клеток конуса нарастания и представляет собой комплекс нескольких специализированных тканей: экзодермы, мезодермы и эндодермы.
Экзодерма - самый наружный участок первичной коры, расположенный непосредственно за эпидермисом. Она может состоять из одного или нескольких слоев плотно сомкнутых клеток, оболочки которых несколько утолщены и при отмирании эпиблемы обычно подвергаются опробковению. Экзодерма является временным (до образования пробки) защитным слоем корня.
Мезодерма состоит из рыхло расположенных, тонкостенных клеток поглощающей паренхимы и представляет собой основную массу первмчной коры корня.
По клеткам поглощающей паренхимы вода с минеральными веществами, извлеченными из почвы корневыми полосками, подается в сосуды центрального цилиндра корня, в клетках мезодермы могут накапливаться большие запасы питательных веществ.
Эндодерма является внутренним слоем первичной коры корня и окружает центральный цилиндр. Обычно эндодерма состоит из одного слоя плотно сомкнутых клеток. Оболочки клеток эндодермы, за исключением участка, обращенного к эпиблеме, утолщаются и пробковеют, содержимое клеток отмирает. В кольце эндодермы против лучей ксилемы находятся специальные пропускные клетки с топкими целлюлозными оболочками и живым содержимым, через которые иногда проникает и центральный цилиндр. Обмен веществ между первичной корон и центральным цилиндром совершается только через пропускные клетки эндодермы.
Центральный цилиндр. Эта часть корня формируется из плеромы - внутреннего слоя клеток конуса нарастания. Наружный слой центрального цилиндра перицикл. У большинства растений он состоит из одного слоя живых тонкостенных клеток и представляет собой образовательную ткань с периодической деятельностью. Перицикл является корнеродным слоем, так как в нем закладываются боковые корни. Перицикл дает также начало камбию при переходе ко вторичному строению корня, а иногда пробковому камбию и придаточным почкам, которые могут развиться в корневую поросль.
Рис. Развитие корня у двудольных и однодольных растений:
а - первичное строение; б - вторичное строение; / - зона делящихся клеток; // - зона роста; /// - зона специализации; IV - зона проведения; /-дерматоген; 2 - периблема; 3 - плерома; 4 - первичная меристема; 5 - первичная ксилема; 6 - первичная флоэма; 7 - первичная кора; 8 - камбий; 9 - вторичная ксилема; 10 - вторичная флоэма; 11 -вторичная кора
Проводящая система в корне первичного строения представлена радиальным пучком. В зависимости от числа лучей ксилемы
Рис. 62. Переход ко вторичному строения корня (наложение камбиального кольца):
1 - внутренние слои первичной коры; 2 - эндодерма; 3 - перицикл; 4 - камбий; 5 - первичная флоэма; 6 - первичная ксилема
и числа чередующихся с ними участков флоэмы различают пучки однолучевые, двухлучевые, трехлучевые и т. д. Если число лучей ксилемы более 4, то пучок называется многолучевым. Радиальный пучок всегда закрытый, следовательно, особенностью первичного строения корня является отсутствие камбия. В центре корня может находиться крупный сосуд или клетки древесинной паренхимы, в которых иногда накапливаются питательные вещества.
Первичное строение корня у однодольных растений наблюдается не только в зоне специализации (всасывания), но и в зоне проведения, вследствие чего корни их неспособны к вторичному утолщению.
Вторичное строение.
Для двудольных растений в зоне проведения
характерно вторичное строение корня, обеспечивающее рост его в толщину.
Переход ко вторичному строению начинается с образования вторичной меристемы - камбия. Начало камбию дают перицикл и клетки основной ткани корня, в результате чего образуется сплошной камбиальный слой, имеющий вначале неправильную форму. Камбий закладывается таким образом, что первичная ксилема оказывается от него к центру, а первичная флоэма - к поверхности корня. В промежутках между лучами первичной ксилемы (под первичной флоэмой) камбий снаружи образует вторичную флоэму и внутрь - вторичную ксилему, расположенные коллатерально. Над лучами первичной ксилемы камбий формирует паренхимные клетки радиальных лучей. Ввиду того, что элементов вторичной ксилемы образуется гораздо больше, чем элементов вторичной флоэмы, камбий постепенно приобретает форму правильной окружности. При этом первичная флоэма под давлением вторичных элементов сплющивается и постепенно рассасывается. Первичная ксилема сохраняется в центре корня, непосредственно соединяясь со вторичной ксилемой.
В процессе развития вторичного строения корня из перицикла возникает пробковый камбий, который образует пробковую ткань, примыкающую к эндодерме. Состоящая из отмерших клеток пробка
Рис. 63. Вторичное строение корня тыквы:
/ - первичная ксилема; 2 - вторичная ксилема; 3 - камбий; 4 - вторичная флоэма; 5 - радиальный луч; 6 - паренхима вторичной коры; 7 - пробка
изолирует первичную кору от внутренних тканей корня, что вызывает ее отмирание и сбрасывание. Этот процесс в практике часто называют линькой корня. Первичная кора заменяется вторичной, которая образуется благодаря деятельности камбия.
Строение корнеплодов. Корнеплоды выполняют функцию накопления питательных веществ ив связи с этим отличаются некоторыми анатомическими особенностями. Различают 3 типа строения корнеплодов: редьки, моркови и свеклы.
Тип редьки. У корнеплодов типа редьки (репа, редька, брюква, турнепс) накопление питательных веществ происходит в ксилемной паренхиме, в результате чего большую часть корнеплода занимает ксилема. Флоэма развита слабо и представлена узким периферическим слоем. Между флоэмой и ксилемой расположено кольцо камбия.
Тип моркови. У корнеплодов типа моркови (петрушка, морковь, пастернак) накопление питательных веществ происходит во флоэмной паренхиме. Поэтому флоэма развита очень сильно и значительно преобладает над ксилемой. Камбий находится гораздо ближе к центру, чем у корнеплодов типа редьки.
Тип свеклы. Особенностью строения корнеплода свеклы является наличие нескольких одновременно функционирующих камбиальных колец, возникающих из перицикла и клеток основной ткани. В результате их деятельности образуются изолированные проводящие пучки, окруженные запасающей паренхимой, и которой происходит накопление питательных веществ. На поперечном разрезе корнеплода столовой свеклы хорошо видно чередование более светлых колец (камбий и образованные им проводящие пучки) с более темными (запасающая паренхима). Число камбиальных колец у некоторых сортов свеклы может достигать 8... 10 и даже более. Благодаря наличию нескольких слоев камбия такое строение получило название третичног о в отличие от в т о р и ч н о г о, для которого характерно только одно камбиальное кольцо. Третичное строение корня встречается довольно редко, поэтому его часто называют аномальным. Кроме свеклы, оно наблюдается у шпината и других растений семейства маревые.
Корнеплоды всех типов строения характеризуются двухлучевым пучком первичной ксилемы и с поверхности покрыты пробковой тканью.
Использование корней. Человек широко использует корни для удовлетворения своих потребностей. В пищу он употребляет различные корнеплоды - морковь, репу, свеклу, брюкву, редьку
и др. Используются корнеплоды и на корм. Корнеплоды сахарной свеклы перерабатывают для получения сахара. Корни многих растений (валериана, женьшень, ревень и др.) широко применяются для приготовления различных лекарств. Корни некоторых растений (сельдерей, петрушка и др.) используются в пищу как приправа.
Пришло время разобрать способы извлечения корней . Они базируются на свойствах корней , в частности, на равенстве , которое справедливо для любого неотрицательного числа b.
Ниже мы по очереди рассмотрим основные способы извлечения корней.
Начнем с самого простого случая – с извлечения корней из натуральных чисел с использованием таблицы квадратов, таблицы кубов и т.п.
Если же таблицы квадратов, кубов и т.п. нет под руками, то логично воспользоваться способом извлечения корня, который подразумевает разложение подкоренного числа на простые множители.
Отдельно стоит остановиться на , что возможно для корней с нечетными показателями.
Наконец, рассмотрим способ, позволяющий последовательно находить разряды значения корня.
Приступим.
Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т.д.
В самых простых случаях извлекать корни позволяют таблицы квадратов, кубов и т.д. Что же представляют собой эти таблицы?
Таблица квадратов целых чисел от 0 до 99 включительно (она показана ниже) состоит из двух зон. Первая зона таблицы располагается на сером фоне, она с помощью выбора определенной строки и определенного столбца позволяет составить число от 0 до 99 . Для примера выберем строку 8 десятков и столбец 3 единицы, этим мы зафиксировали число 83 . Вторая зона занимает оставшуюся часть таблицы. Каждая ее ячейка находится на пересечении определенной строки и определенного столбца, и содержит квадрат соответствующего числа от 0 до 99 . На пересечении выбранной нами строки 8 десятков и столбца 3 единицы находится ячейка с числом 6 889 , которое является квадратом числа 83 .
Таблицы кубов, таблицы четвертых степеней чисел от 0 до 99 и так далее аналогичны таблице квадратов, только они во второй зоне содержат кубы, четвертые степени и т.д. соответствующих чисел.
Таблицы квадратов, кубов, четвертых степеней и т.д. позволяют извлекать квадратные корни, кубические корни, корни четвертой степени и т.д. соответственно из чисел, находящихся в этих таблицах. Объясним принцип их применения при извлечении корней.
Допустим, нам нужно извлечь корень n
-ой степени из числа a
, при этом число a
содержится в таблице n
-ых степеней. По этой таблице находим число b
такое, что a=b n
. Тогда 
, следовательно, число b
будет искомым корнем n
-ой степени.
В качестве примера покажем, как с помощью таблицы кубов извлекается кубический корень из 19 683
. Находим число 19 683
в таблице кубов, из нее находим, что это число является кубом числа 27
, следовательно, 
.
Понятно, что таблицы n -ых степеней очень удобны при извлечении корней. Однако их частенько не оказывается под руками, а их составление требует определенного времени. Более того, часто приходится извлекать корни из чисел, которые не содержатся в соответствующих таблицах. В этих случаях приходится прибегать к другим методам извлечения корней.
Разложение подкоренного числа на простые множители
Достаточно удобным способом, позволяющим провести извлечение корня из натурального числа (если конечно корень извлекается), является разложение подкоренного числа на простые множители. Его суть заключается в следующем : после его достаточно легко представить в виде степени с нужным показателем, что позволяет получить значение корня. Поясним этот момент.
Пусть из натурального числа a извлекается корень n -ой степени, и его значение равно b . В этом случае верно равенство a=b n . Число b как любое натуральное число можно представить в виде произведения всех своих простых множителей p 1 , p 2 , …, p m в виде p 1 ·p 2 ·…·p m , а подкоренное число a в этом случае представляется как (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Так как разложение числа на простые множители единственно, то разложение подкоренного числа a на простые множители будет иметь вид (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , что дает возможность вычислить значение корня как .
Заметим, что если разложение на простые множители подкоренного числа a не может быть представлено в виде (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , то корень n -ой степени из такого числа a нацело не извлекается.
Разберемся с этим при решении примеров.
Пример.
Извлеките квадратный корень из 144 .
Решение.
Если обратиться к таблице квадратов, данной в предыдущем пункте, то хорошо видно, что 144=12 2 , откуда понятно, что квадратный корень из 144 равен 12 .
Но в свете данного пункта нас интересует, как извлекается корень с помощью разложения подкоренного числа 144 на простые множители. Разберем этот способ решения.
Разложим 144
на простые множители:
То есть, 144=2·2·2·2·3·3
. На основании с полученным разложением можно провести такие преобразования: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2 ·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2
. Следовательно, 
.
Используя свойства степени и свойства корней , решение можно было оформить и немного иначе: .
Ответ:
Для закрепления материала рассмотрим решения еще двух примеров.
Пример.
Вычислите значение корня .
Решение.
Разложение на простые множители подкоренного числа 243
имеет вид 243=3 5
. Таким образом, 
.
Ответ:
Пример.
Является ли значение корня целым числом?
Решение.
Чтобы ответить на этот вопрос, разложим подкоренное число на простые множители и посмотрим, представимо ли оно в виде куба целого числа.
Имеем 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2 . Полученное разложение не представляется в виде куба целого числа, так как степень простого множителя 7 не кратна трем. Следовательно, кубический корень из числа 285 768 не извлекается нацело.
Ответ:
Нет.
Извлечение корней из дробных чисел
Пришло время разобраться, как извлекается корень из дробного числа. Пусть дробное подкоренное число записано в виде как p/q . Согласно свойству корня из частного справедливо следующее равенство . Из этого равенства следует правило извлечения корня из дроби : корень из дроби равен частному от деления корня из числителя на корень из знаменателя.
Разберем пример извлечения корня из дроби.
Пример.
Чему равен квадратный корень из обыкновенной дроби 25/169 .
Решение.
По таблице квадратов находим, что квадратный корень из числителя исходной дроби равен 5
, а квадратный корень из знаменателя равен 13
. Тогда 
. На этом извлечение корня из обыкновенной дроби 25/169
завершено.
Ответ:
Корень из десятичной дроби или смешанного числа извлекается после замены подкоренных чисел обыкновенными дробями.
Пример.
Извлеките кубический корень из десятичной дроби 474,552 .
Решение.
Представим исходную десятичную дробь в виде обыкновенной дроби: 474,552=474552/1000
. Тогда 
. Осталось извлечь кубические корни, находящиеся в числителе и знаменателе полученной дроби. Так как 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=
(2·3·13) 3 =78 3
и 1 000=10 3
, то 
и 
. Осталось лишь завершить вычисления 
.
Ответ:
.
Извлечение корня из отрицательного числа
Отдельно стоит остановиться на извлечении корней из отрицательных чисел. При изучении корней мы сказали, что когда показатель корня является нечетным числом, то под знаком корня может находиться отрицательное число. Таким записям мы придали следующий смысл: для отрицательного числа −a
и нечетного показателя корня 2·n−1
справедливо 
. Это равенство дает правило извлечения корней нечетной степени из отрицательных чисел
: чтобы извлечь корень из отрицательного числа нужно извлечь корень из противоположного ему положительного числа, и перед полученным результатом поставить знак минус.
Рассмотрим решение примера.
Пример.
Найдите значение корня .
Решение.
Преобразуем исходное выражение, чтобы под знаком корня оказалось положительное число: 
. Теперь смешанное число заменим обыкновенной дробью: 
. Применяем правило извлечения корня из обыкновенной дроби: 
. Осталось вычислить корни в числителе и знаменателе полученной дроби: 
.
Приведем краткую запись решения: 
.
Ответ:
.
Порязрядное нахождение значения корня
В общем случае под корнем находится число, которое при помощи разобранных выше приемов не удается представить в виде n -ой степени какого-либо числа. Но при этом бывает необходимость знать значение данного корня, хотя бы с точностью до некоторого знака. В этом случае для извлечения корня можно воспользоваться алгоритмом, который позволяет последовательно получить достаточное количество значений разрядов искомого числа.
На первом шаге данного алгоритма нужно выяснить, каков старший разряд значения корня. Для этого последовательно возводятся в степень n числа 0, 10, 100, … до того момента, когда будет получено число, превосходящее подкоренное число. Тогда число, которое мы возводили в степень n на предыдущем этапе, укажет соответствующий старший разряд.
Для примера рассмотрим этот шаг алгоритма при извлечении квадратного корня из пяти. Берем числа 0, 10, 100, … и возводим их в квадрат, пока не получим число, превосходящее 5 . Имеем 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5 , значит, старшим разрядом будет разряд единиц. Значение этого разряда, а также более младших, будет найдено на следующих шагах алгоритма извлечения корня.
Все следующие шаги алгоритма имеют целью последовательное уточнение значения корня за счет того, что находятся значения следующих разрядов искомого значения корня, начиная со старшего и продвигаясь к младшим. К примеру, значение корня на первом шаге получается 2 , на втором – 2,2 , на третьем – 2,23 , и так далее 2,236067977… . Опишем, как происходит нахождение значений разрядов.
Нахождение разрядов проводится за счет перебора их возможных значений 0, 1, 2, …, 9 . При этом параллельно вычисляются n -ые степени соответствующих чисел, и они сравниваются с подкоренным числом. Если на каком-то этапе значение степени превзойдет подкоренное число, то значение разряда, соответствующее предыдущему значению, считается найденным, и производится переход к следующему шагу алгоритма извлечения корня, если же этого не происходит, то значение этого разряда равно 9 .
Поясним эти моменты все на том же примере извлечения квадратного корня из пяти.
Сначала находим значение разряда единиц. Будем перебирать значения 0, 1, 2, …, 9
, вычисляя соответственно 0 2 , 1 2 , …, 9 2
до того момента, пока не получим значение, большее подкоренного числа 5
. Все эти вычисления удобно представлять в виде таблицы:
Так значение разряда единиц равно 2
(так как 2 2 <5
, а 2 3 >5
). Переходим к нахождению значения разряда десятых. При этом будем возводить в квадрат числа 2,0, 2,1, 2,2, …, 2,9
, сравнивая полученные значения с подкоренным числом 5
:
Так как 2,2 2 <5
, а 2,3 2 >5
, то значение разряда десятых равно 2
. Можно переходить к нахождению значения разряда сотых:
Так найдено следующее значение корня из пяти, оно равно 2,23 . И так можно продолжать дальше находить значения : 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .
Для закрепления материала разберем извлечение корня с точностью до сотых при помощи рассмотренного алгоритма.
Сначала определяем старший разряд. Для этого возводим в куб числа 0, 10, 100 и т.д. пока не получим число, превосходящее 2 151,186 . Имеем 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , таким образом, старшим разрядом является разряд десятков.
Определим его значение.
Так как 10 3 <2 151,186
, а 20 3 >2 151,186
, то значение разряда десятков равно 1
. Переходим к единицам.
Таким образом, значение разряда единиц равно 2
. Переходим к десятым.
Так как даже 12,9 3
меньше подкоренного числа 2 151,186
, то значение разряда десятых равно 9
. Осталось выполнить последний шаг алгоритма, он нам даст значение корня с требуемой точностью.
На этом этапе найдено значение корня с точностью до сотых: 
.
В заключение этой статьи хочется сказать, что существует масса других способов извлечения корней. Но для большинства задач достаточно тех, которые мы изучили выше.
Список литературы.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).
Больная часть целебных составляющих лекарственных растений сосредоточена именно в корнях растений .
Например, окопник лекарственный (виз-трава, жирный корень, огуречная трава, костолом), в котором применяемой частью являются именно корни, содержащие немало крахмала, сахара, слизистых и дубильных ингредиентов, аспарагина, алкалоидов, дигалловой кислоты. Несмотря на то, что растение считается ядовитым, окопник широко известен в народной медицине многих стран и применяется как внутреннее, так и наружное средство. Из свежих корней готовят слизистый отвар и настой, с помощью которых тормозят и останавливают воспалительные процессы, снижают и снимают боли, уничтожают микробов, останавливают кровотечения и эффективно заживляют гнойные раны. Настой корней окопника известен вяжущим и мягчительным действием. Настой и отвар этих корней прекрасно способствуют восстановлению тканей, заглушают боль и благоприятствуют ускоренному срастанию костей при переломах.
Не только у нас, но и за границей, например, в немецкой народной медицине водный настой корней окопника применяется при желудочно-кишечных заболеваниях. Это поносы, дизентерии, хронический катар кишечника, язвы желудка и двенадцатиперстной кишки, катар дыхательных органов с затрудненным и обильным выделением мокроты, кровохарканье и кровотечение, параличи. Как наружное, препараты корня окопника эффективны при воспалении вен, надкостницы, переломах костей и вывихах, болях в ампутационных культях и ишиасе. Окопник принимают внутрь с параллельным наружным применением при заболеваниях кожи, язвах и ранах.
Корни растейний для Ванн
Настой корней растений применяют для ванн, обмываний и компрессов. Спиртовая настойка корней хороша для противовоспалительных и болеутоляющих компрессов. Кроме того, из корней готовят и мази против ревматических и подагрических болей, ран и язв. Для приготовления мази две столовых ложки свежих корней растирают с двумя ложками свиного несоленого сала.
Корни различных растений в народной медицине
Не меньшей известностью в нашей народной медицине пользуется и корень лопуха. Препараты на его основе эффективны при почечнокаменной болезни, подагре и ревматизме, диабете, геморрое, водянке, рахите и золотухе, хронической экземе, фурункулезе, запоре. Они показали свою эффективность при лечении отравлений ртутными препаратами и спасении от укусов ядовитых животных. И еще отвар корня лопуха применим при венерических заболеваниях и ломоте в суставах.
В Болгарии народные целители применяют корень лопуха как средство, улучшающее , при камнях в почках и мочевом пузыре, при гастрите и язве желудка. При дерматитах и сильном зуде корень лопуха применяется наружно для приготовления компресса.
При опухолевых заболеваниях корень лопуха применяют в виде настоя, отвара, порошка или настойки. Готовят ее, смешав в равных долях корень лопуха, мед и медицинский спирт, и настояв с полмесяца. Употребляют по столовой ложке трижды в день.
Из лопуха измельчают двадцать пять граммов корней лопуха и листьев, кипятят в 100 мл воды в течение двадцати минут, затем этот отвар растирают со ста граммами сливочного масла. Применяется мазь для профилактики и лечения облысения, врачевания ожогов и обморожений.
У Бедренец-камнеломки лечебными частями также являются корневища и корни. Настойки и отвары из этого сырья применяются при лечении болезни почек, мочекаменной болезни и болезни мочевого пузыря.
Для приготовления отвара корней бедренца берут десять граммов измельченного сырья и кипятят в полулитре воды с четверть часа. Настаивают час, цедят и принимают по полстакана ежедневно до пяти раз в день. Применяется при подагре, гастрите или почечнокаменной болезни. Как полоскание хорошо при ангине и язве на деснах.
Корень растения одуванчика, это лучший стимулятор печени, он тонизирует и активизирует . как тонизирующее для печени средство, используют настойку из свежего корня одуванчика.
Кроме того в народных методах лечения издревле применяют корневища и корни девясила, как кровоочистительное и улучшающее обмен веществ лекарство, а также при заболеваниях суставов, радикулите, бруцеллезе, цинге, тромбофлебите и множестве иных болезней.
И ни в коем случае нельзя забывать о золотого корне и препарат из него, родозин, улучшающий умственную активность, способствующий активному протеканию окислительных процессов и содержанию на высоком уровне энергетического потенциала головного мозга.
Подсолнух – не только источник семян для получения масла. Это съедобное лекарственное растение. Нежные листовые черешки, семена и цветы являются съедобными и используются для лечения различных заболеваний.
Он активно применяется в народной медицине. Листья как мочегонное, отхаркивающее и вяжущее средство. Они помогают уменьшить лихорадку. Припарка из них наносится на язвы, укусы, отечности.
Мало кто знает, что его корни отличное средство от солей в суставах и выведения камней из почек. Активные вещества, содержащиеся в них, помогают эффективно очистить организм, восстановить подвижность суставов.
Подсолнечник относится к семейству растений «Астровые» рода «Подсолнечник». Эту масличную культуру выращивают по всему миру. Он идет не только на масло, но служит кормом для скота.
Его латинское название Heliánthus ánnuus, где первое слово означает в переводе с греческого солнце, второе – цветок. Да, он все время поворачивается к солнцу.
Родиной подсолнуха считается север Южной Америки (территория современной Мексики и Перу) и юг Северной Америки. В Европу его семена завезли первые колонисты в начале 16 столетия, где выращивались вначале как декоративные цветы.
Это высокое растение, некоторые сорта могут достигать 2,5 метра и более, с крепким стеблем, полым внутри, большими шершавыми листьями и стеблями.
Лепестки цветков длинные, в несколько рядов от светло-желтого до темно-желтого цвета.
Чем полезны корни подсолнуха
Немногие знают, что весь подсолнух обладает лечебными свойствами. И все это благодаря химическому составу. Он отличается в разных частях.
Характерный аромат подсолнечному маслу придают активные вещества семечек, среди которых есть каротиноиды, фосфолипиды, стерины и другие.
Цветки и листья содержат:
Кумарины;
Флавоноиды;
Гликозиды;
Сапонины;
Каротиноиды;
Антоцианы;
Фенолкарбоновые кислоты.
В корнях растения присутствуют:
Органические кислоты;
Алкалоиды;
Стероиды;
Сапонины.
Содержится в них калий, кальций, фосфор, железо.
Лечебные свойства корней подсолнуха
Понимание и знание его лекарственных свойств поможет правильно использовать эту траву для лечебных целей. Он обладает следующими свойствами:
Противовоспалительными;
Вяжущими;
Мочегонными;
Смягчающими;
Отхаркивающими;
Стимулирующими;
Очищающими.
Препараты на основе корней могут:
Уменьшить головную боль;
Очистить организм от шлаков, солей и токсинов;
Способствовать снижению высокого артериального давления.
Показания к применению
Целительные свойства корня подсолнуха хорошо известны в народной медицине. Помимо выведения солей из суставов он лечит:
Ревматизм;
Остеохондроз;
Боли в мышцах;
Применяют его при:
Сердечно-сосудистых заболеваниях;
Высоком давлении;
Болезнях желудка;
Сахарном диабете;
Головной боли;
Камнях в почках и поджелудочной железе.
Корень подсолнечника от камней в почках и поджелудочной железе
Известно, что камни бывают разными по своему происхождению. Выделяют:
Оксалаты;
Карбонаты.
Могут быть камни смешанного характера.
В большинстве случаев для образования камней служит щелочная среда. Поэтому оксалаты, ураты, фосфаты очень плохо растворяются и выводятся из организма.
Из химии многим известно, что подобное растворяется подобным. Как, например, керосин может растворить все продукты, полученные из нефти.
Применение корней подсолнуха основано именно на этом свойстве. Алкалоиды, которые в них присутствуют, по своей природе являются азотосодержащими щелочными веществами.
Поэтому их можно применять для растворения оксалатных, карбонатных и фосфатных камней. В некоторых случаях они могут помочь при уратах. Причиной образования этих камней являются проблемы пищеварительной системы и накопление солей мочевой кислоты.
Это верно и при наличии камней в желчном пузыре.
Корень подсолнуха для суставов
Во многом причиной заболеваний суставов служит отложение солей в них. В свою очередь – это результат малоподвижного образа жизни и неправильного питания.
Настоем и отваром корня можно почистить их от шлаков, предотвратить накопление солей и развитие воспалений, которые в свою очередь могут привести к более серьезным заболеваниям, включая артроз и артрит.
Вылечить уже деформированные суставы он не поможет. Поэтому позаботьтесь о своем здоровье заранее.
Лечение корнем подсолнечника
Выведение камней и солей не единственное использование корней для лечения. Их применяют при многих других патологиях.
Желчегонный настой
Чайную ложку измельченных корней нужно заварить стаканом (200 грамм) кипятка. Накрыть полотенцем и дать настояться около 20 минут. Употребляют трижды в день за полчаса до еды по 50 мл.
При заболеваниях желудка
Используют настой с семенами фенхеля. Для него берут 1 часть семян и 3 части измельченных корней. Тщательно перемешивают и берут столовую ложку сбора. Заливают 200 мл кипятка и, укутав, дают настояться 2 часа.
Пьют по одной трети стакана за несколько минут до еды трижды в день.
При запорах
При запорах готовят настой из 1 чайной ложки корней и 200 мл кипятка. Настаивают 15-20 минут и выпивают по 50 мл 3-4 раза.
При простуде
Как отхаркивающее и болеутоляющее средство при воспалении горла помогает отвар, приготовленный 3-х столовых ложек корней и 500 мл воды. Заливают горячей водой и проваривают на слабом огне 2 минуты. Остудить до комнатной температуры.
Принимают при кашле и в виде полосканий для горла.
Припарки при болях в суставах
Такие компрессы помогут при болях в локтевом, плечевом, коленном суставе. Для приготовления отвара взять стакан измельченных корней и 500 мл воды.
Сырье залить водой и проварить при слабом кипении около одного часа. Остудить до комфортной температуры и процедить.
Затем смочить салфетку и приложить к больному месту. Сверху накрыть пленкой и укутать. Желательно делать такие компрессы на ночь.
Корни подсолнечника для очищения от солей и камней в почках
Этот рецепт выведения солей из суставов с помощью коренй подсолнечника описан во многих книгах по народной медицине. Есть он в энциклопедии народной медицины, изданной под руководством Н Мазнева. Вот этот рецепт.
1 стакан корней заваривают 3 литрами кипятка. Укутывают и настаивают. После процеживания корни оставляют для последующего заваривания. Хранят в холодильнике.
Выпивают настой в течение 2-3 дней, разделив на равные порции. Чай пьют стаканами, т.е. за один прием выпить сразу стакан.
Для следующей порции эти же корни заваривают вновь 3 литрами воды и кипятят 5 минут. Процедив, корни оставляют для третьего раза.
Затем кипятят вновь, но уже 10-15 минут. Процедив, выбросить использованное сырье.
Затем для приготовления следующей порции берут новое сырье. Пьют его на протяжении 1-2 месяцев. Первые результаты появляются только спустя не менее 2-х недель.
Длительность курса зависит сколько будут идти соли. Когда моча станет светлой, лечение нужно прекратить. На весь курс в среднем требуется 5-7 стаканов корней. Готовый отвар хранят в холодильнике.
На период чистки нужно придерживаться диетического питания, избегать жирной, копченной очень соленой пищи.
Корни подсолнечника при диабете
Эти волоски отрывают от основного корневища, промывают и высушивают. Измельченные корни заваривают как чай. Пить нужно по половине стакана каждые 2 часа.
Такой чай стабилизирует состояние и снижает уровень сахара в крови.
Как заготовить сырье
Для выведения солей и камней нужно заготовить толстые корневища. Выкопанные корни тщательно очистить от земли и обрезать все тонкие.
Затем их промывают несколько раз в прохладной воде.
Промытые корни нарезают небольшими кусочками и высушивают в хорошо проветриваемом помещении вдали от солнечных лучей.
Очень толстые корни перед сушкой нужно разрезать на вдоль на несколько частей, чтобы их толщина была примерно с карандаш.
Хранят в картонных коробках или бумажных пакетах. Можно пересыпать в банку с крышкой.
Противопоказания и побочные эффекты
Так как их в основном используют для очищения суставов и организма от шлаков и солей, то с осторожностью к такому лечению нужно относится женщинам при беременности или кормлении грудью.
Противопоказано лечение при индивидуальной непереносимости.
Нельзя пить препараты на их основе тем людям, которые не выяснили природу камней. Но в любом случае сначала нужно проконсультироваться с врачом. Они провоцируют движение камней, которые могут перекрыть мочеточники или желчевыводящие протоки.
Побочным явлением такой терапии может быть повышение артериального давления. Если вы склонны к гипертонии, начинайте пить отвар с небольшой дозировки и постепенно увеличивая.
Во время растворения камней и солей в суставах может ощущаться боль, ломота. Это пройдет через некоторое время.
Подсолнечник не только красивое цветущее растение, которое у многих растет в палисаднике как декоративное растение. Он мощный лекарь, способный помочь избавиться от многих недугов. Не поленитесь заготовить его корни, и вы сможете забыть про боли в ногах, пальцах, в спине.
В данной статье мы рассмотрим часть материала на тему преобразования иррациональных выражений, подробно разобрав тонкости и нюансы преобразований, которые выполняются на основе свойств корней.
Свойства корней
Вспомним основные свойства корней. Это поможет нам последовательно разбирать тему, не возвращаясь к предыдущим разделам.
a · b = a · b , где a ≥ 0 , b ≥ 0 . Оно распространяется на произведение k неотрицательных множителей a 1 , a 2 , … , a k как a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · . . . · a k ;
a: b = a: b или в другой записи a b = a b , где a ≥ 0 , b > 0 ;
a 2 = a и его обобщение a 2 m = a m , где a – любое действительное число, а m – натуральное (при этом число 2 · m – четное).
Введем определение корня n -ой степени. Тут уже a , b , a 1 , a 2 , … , a k - действительные числа, m , n , n 1 , n 2 , . . . , n k - натуральные числа.
a · b n = a n · b n , где a ≥ 0 , b ≥ 0 , его обобщение a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · . . . · a k n , где a 1 ≥ 0 , a 2 ≥ 0 , … , a k ≥ 0 .
a b n = a n b n , где a ≥ 0 , b > 0 .
a 2 · m 2 · m = a , a 2 m - 1 2 m - 1 = a , где a – любое действительное число.
a m n = a n · m , . . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 · . . . · n k , где a ≥ 0 .
a m n · m = a n , где a ≥ 0 .
a m n = a n m , где a ≥ 0 .
Преобразование выражений с числами под знаками корней
Обычно начинают изучение алгоритмов работы с числовыми выражениями. И уже только после этого переходят к работе с выражениями, содержащими переменные. Также построим наш материал и мы.
При указанных ограничениях на числа a , b и проч. все перечисленные свойства корней представляют собой верные числовые равенства. Это значит, что если числа a , b и т.д. соответствуют перечисленным условиям, то значение выражения, которое записано в левой части равенства, равно значению выражения, размещенного в правой части.
Рассмотрим приведенный выше тезис на примере.
Пример 1
Выражение 4 · 9 , в котором числа 4 и 9 - положительные, можно заменить произведением корней 4 · 9 согласно свойству корня, по которому произведение корня можно заменить произведением корней.
Проведем несложные расчеты для того, чтобы подтвердить истинность наших выводов:
4 · 9 = 36 = 6 2 = 6 и 4 · 9 = 2 2 · 3 2 = 2 · 3 = 6 .
Мы можем заменить иррациональное выражение 1 + 4 · 9 выражением 1 + 4 · 9 и наоборот.
Это значит, что при наличии в составе исходного выражения выражения, которое по виду совпадает с выражением из левой или правой частей любого из перечисленных свойств корней, то мы можем заменить его соответствующим выражением из левой или правой части. В этом и заключается смысл преобразования выражений с использованием свойств корней.
Рассмотрим еще несколько примеров.
Пример 2
Предположим, что нам нужно упростить выражение 3 · 5 · 7 - 3 · 5 · 7 .
Решение
Здесь числа 3 , 5 и 7 положительные, что позволяет нам применять свойства корней без ограничений. Правильными будет несколько вариантов решений.
Корень 5 · 7 на базе свойства a · b = a · b можно представить как 5 · 7 , а корень 3 · 5 · 7 с использованием свойства a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · . . . · a k при k = 3
- как 3 · 5 · 7 . В этом случае решение будет иметь такой вид:
3 · 5 · 7 - 3 · 5 · 7 = = 3 · 5 · 7 - 3 · 5 · 7 = 0
Еще один вариант решения выглядит следующим образом:
3 · 5 · 7 - 3 · 5 · 7 = = 3 · 5 · 7 - 3 · 5 · 7 = = 3 · 5 · 7 - 3 · 5 · 7 = 0
Ответ: 3 · 5 · 7 - 3 · 5 · 7 = 0
Рассмотрим еще один пример.
Пример 3
Нам необходимо преобразовать выражение 5 2 + (- 2) 2 - 4 2 · 2 + (- 3) 2 · 3 .
Решение
Выберем из всего многообразия свойств корней нужные для решения. Их будет два: a 2 = a и a 2 m = a m , которые справедливы для любых значений a .
Решение будет иметь вид:
5 2 + (- 2) 2 - 4 2 · 2 + (- 3) 2 · 3 = = 5 + - 2 - 4 2 + (- 3) 3 = = 5 + - 2 - 16 + - 27 = = 5 + 2 - 16 + 27 = 18
Мы могли бы использовать здесь и свойства степеней для проведения преобразования выражения под знаками корней:
5 2 + (- 2) 2 - 4 2 · 2 + (- 3) 2 · 3 = = 5 2 + (- 1) 2 · 2 2 - 4 2 · 2 + (- 1) 2 · 3 · 3 2 · 3 = = 5 2 + 2 2 - 4 2 · 2 + 3 2 · 3
А уже дальше применять свойства корней:
5 2 + 2 2 - 4 2 · 2 + 3 2 · 3 = = 5 + 2 - 4 2 + 3 3 = 5 + 2 - 16 + 27 = = 5 + 2 - 16 + 27 = 18
Ответ: 5 2 + (- 2) 2 - 4 2 · 2 + (- 3) 2 · 3 = 18
С преобразованием выражений, которые содержат только квадратные корни, разобрались. Теперь разберемся с корнями, имеющими другие показатели.
Пример 4
Преобразуйте иррациональное выражение (- 2) 3 3 · 81 3 · 3 64 6 · 3 6 12 .
Решение
Для решения используем свойство a 2 m - 1 2 m - 1 = a . Заменим первый множитель произведения - 2 3 3 числом − 2 :
(- 2) 3 3 · 81 3 · 3 64 6 · 3 6 12 = = (- 2) · 81 3 · 3 64 6 · 3 6 12
Используя свойство. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 · . . . · n k второй множитель 81 3 представим как 81 12 . Заменим 81 четвертой степенью тройки, так как это же число фигурирует под знаками корней в остальных множителях:
(- 2) · 81 3 · 3 64 6 · 3 6 12 = = (- 2) · 81 12 · 3 64 6 · 3 6 12 = = (- 2) · 3 4 12 · 3 64 6 · 3 6 12
Заменим корень из дроби 3 64 6 на отношение корней вида 3 6 64 6 . Преобразуем полученное выражение 3 6 64 6 = 3 6 2 6 6 = 2 6 2 .
(- 2) · 3 4 12 · 3 64 6 · 3 6 12 = = (- 2) · 3 4 12 · 2 6 2 · 3 6 12
Произведем действия с двойками и в результате получим: - 3 4 12 · 3 6 · 3 6 12 . Осталось лишь преобразовать произведение корней.
Используем наименьшее общее кратное (НОК) для того, чтобы привести произведения корней к одному показателю. В нашем случае это 12 , так как два корня имеют такой показатель, а корень 3 6 придется привести к этому показателю.
Используем равенство a m n · m = a n справа налево: 3 6 = 3 2 6 · 2 = 3 2 12 . С учетом полученного результата:
3 4 12 · 3 6 · 3 6 12 = = - 3 4 12 · 3 2 12 · 3 6 12
Заменим произведение корней на корень произведения и продолжим преобразования:
3 4 12 · 3 2 12 · 3 6 12 = = - 3 4 · 3 2 · 3 6 12 = - 3 12 12 = - 3
Запишем краткий вариант решения:
(- 2) 3 3 · 81 3 · 3 64 6 · 3 6 12 = = (- 2) · 3 4 12 · 3 6 2 · 3 6 12 = = - 3 4 12 · 3 6 · 3 6 12 = = - 3 4 12 · 3 2 12 · 3 6 12 = = - 3 4 · 3 2 · 3 6 12 = - 3 12 12 = - 3
Ответ: (- 2) 3 3 · 81 3 · 3 64 6 · 3 6 12 = - 3
Обращаем ваше внимание на то, что применение свойств корней требует учета ограничений, которые накладываются на числа под знаками корней ( a ≥ 0 и т.п.). Невнимание к ним может привести к ошибкам в вычислениях. Например, свойство a m n · m = a n справедливо для неотрицательных a . Используя его, мы можем осуществить переход от 8 3 к 8 6 18 , так как 8 – положительное число. Если же взять имеющий смысл корень из отрицательного числа, к примеру, - 8 3 , то, применив свойство, мы заменим его на - 8 6 18 . Это будет такой же ошибкой, как если бы мы заменили − 2 на 2 .
Действительно, - 8 3 = - 2 , а (- 8) 6 18 = (- 1) 6 · 8 6 18 = 8 6 18 = 8 3 = 2 . Получается, что при отрицательных a равенство a m n · m = a n может быть неверным.
Другие свойства корней точно также могут стать неверными, если применять их без учета оговоренных условий. Это вовсе не значит, что наличие отрицательного числа под знаком корня полностью исключает возможность проведения преобразований с использованием свойств корней. Это значит, что необходимо провести ряд предварительных действий с числами или воспользоваться правилом определения корня нечетной степени из отрицательного числа, которому соответствует равенство - a 2 · m + 1 = - a 2 · m + 1 , в котором − a – отрицательное число (при этом a – положительное).
Например, не получится заменить (- 2) · - 3 на - 2 · - 3 , так как − 2 и − 3 – это два отрицательных числа. Мы можем провести предварительные действия: использовать правило умножения отрицательных чисел и перейти от корня (- 2) · - 3 к 2 · 3 .
Переходить от корня - 8 3 к корню восемнадцатой степени, который мы проводили в одном из предыдущих примеров, неправильно делать так: - 8 3 = (- 8) 6 18 . Лучше провести вычисления следующим образом: - 8 3 = - 8 3 = - 8 6 18 .
Подведем промежуточные итоги:
Определение 1
Преобразование выражений с использованием свойств корней предполагает:
- выбор подходящего свойства из списка;
- учет имеющихся у подходящего свойства ограничений, уход от этих ограничений путем проведения промежуточных преобразований;
- проведение преобразований, требующихся по условию задачи.
Преобразование выражений с переменными под знаками корней
Иррациональные выражения, которые содержат под знаком корня числа и переменные, также можно преобразовывать, используя свойства корней. Однако делать это надо аккуратно, соблюдая все оговоренные условия для того, чтобы не допустить ошибок в вычислениях.
Например, используя формулу a · b = a · b , выражение x · x + 1 можно записать как x · x + 1 лишь в том случае, если значения x удовлетворяют условиям x ≥ 0 и x + 1 ≥ 0 , так как указанная формула задана для a ≥ 0 и b ≥ 0 .
Что будет, если не уделять условиям должного внимания? Продемонстрируем на примере: нам нужно вычислить значение выражения x · (x + 1) при x = − 2 . Подставив в выражение значение переменной, получим (- 2) · - 2 + 1 = 2 . Это правильная последовательность действий. А теперь представим, что мы поторопились применить свойства корней и привели выражение к виду x · x + 1 . Подставив значение переменной, получаем выражение, которое не имеет смысла - 2 · - 2 + 1 .
Переход от выражения x · (x + 1) к выражению x · x + 1 приводит к изменениям области допустимых значений переменной x (ОДЗ). ОДЗ можно использовать как инструмент контроля допустимости проведенных преобразований. Если ОДЗ после проделанных переходов изменилась, то это должно настораживать.
Найти ОДЗ просто. Для выражения x · (x + 1) определить ОДЗ можно из неравенства x · (x + 1) ≥ 0 . Решение неравенства дает нам числовое множество (− ∞ , − 1 ] ∪ [ 0 , + ∞) . Определить ОДЗ для выражения x · (x + 1) можно через систему неравенств x ≥ 0 , x + 1 ≥ 0 . Получаем [ 0 , + ∞) . Сравнив полученные ОДЗ мы можем сделать вывод о том, что произошло сужение ОДЗ.
Отсутствие изменения ОДЗ не является гарантом правильности полученного решения. Так, например, мы можем применить свойство a m n · m = a n для проведения замены x - 7 2 6 на x - 7 3 . ОДЗ после преобразований остается неизменной, но сама замена не может проводиться при x − 7 < 0 (x < 7) . Если взять х = 6 , то значение выражения x - 7 2 6 будет равно 1 , а значение выражения x - 7 2 6 будет равно - 1 . Причиной появления ошибки стало невнимательное отношение к условиям, при которых свойства корня могут применяться. Для формулы a m n · m = a n обязательным условием является a ≥ 0 .
Почему мы фокусируем ваше внимание на условиях, при которых допустимо применять свойства корней? В основном потому, что большинство школьных примеров область допустиых значений переменных для приведенных выражений такова, что можно пользоваться свойствами корней без ограничений. Эти облегчает усвоение материала, однако одновременно приучает применять свойства корней бездумно, без учета ограничений. Это может подвести на ЕГЭ и прочих серьезных экзаменах, где всегда есть задачи «с подвохом».
Пример 5
Упростите выражения 1) x 2 6 · x 5 3 · x - 1 · x - 1 5 , 2) (x + 2) 2 6 · (x + 2) 5 3 .
Решение
Определим ОДЗ для переменной x , решив систему x 2 ≥ 0 x - 1 ≥ 0 . Получаем множество [ 1 , + ∞) . Это позволяет нам сделать вывод, что при любом значении переменной x из [ 1 , + ∞) значения выражений x и x − 1 положительные. Мы можем использовать свойства корней без ограничений.
x 2 6 · x 5 3 · x - 1 · x - 1 5 = = x 2 6 · x 10 6 · x - 1 · x - 1 5 = x 2 · x 10 6 · (x - 1) · (x - 1) 5 = = x 12 6 · (x - 1) 6 = x 2 · (x - 1) 3
x 2 6 · x 5 3 · x - 1 · x - 1 5 = = x 3 · x 5 3 · x - 1 · x - 1 5 = = x · x 5 3 · (x - 1) · (x - 1) 5 = = x 6 3 · (x - 1) 6 = x 2 · x - 1 3
ОДЗ переменной x для выражения (x + 2) 2 6 · (x + 2) 5 3 есть множество всех действительных чисел. Для проведения преобразований оптимальным решением могло бы стать использование свойства a m n · m = a n , но оно дано для a ≥ 0 , а не для любого a .
Можем ли мы на базе указанного свойства провести преобразования?
(x + 2) 2 6 · (x +) 5 3 = (x + 2) 2 6 · (x + 2) 10 6 = = (x + 2) 2 · (x + 2) 10 6 = (x + 2) 12 6 = (x + 2) 2
(x + 2) 2 6 · (x + 2) 5 3 = (x + 2) 2 6 · (x + 2) 10 6 = = (x + 2) · x + 2 5 3 = (x + 2) 6 3 = x + 2 2
При условии x + 2 ≥ 0 , что то же самое x ≥ − 2 , можем. А для остальных x из ОДЗ, то есть, для x < − 2 это может привести к получению неверных результатов.
При x < − 2
, используя определение модуля числа, выражение x + 2
запишем как − | x + 2 |
:
(x + 2) 2 6 · (x + 2) 5 3 = - x + 2 2 6 · (- x + 2) 5 3 = = (- 1) 2 · x + 2 2 6 · (- 1) 5 · x + 2 5 3 = = x + 2 2 6 · x + 2 5 3 = - x + 2 2 6 · x + 2 5 3
Теперь мы можем преобразовать полученное выражение, воспользовавшись свойствами корней, так как значение выражения | x + 2 | неотрицательно при любых x . Получаем:
X + 2 2 6 · x + 2 5 3 = - x + 2 2 6 · x + 2 10 6 = = - x + 2 2 · x + 2 10 6 = - x + 2 12 6 - x + 2 2
или
- x + 2 2 6 · x + 2 5 3 = - x + 2 3 · x + 2 5 3 = = - x + 2 · x + 2 5 3 = - x + 2 6 3 = - x + 2 2
Раскрываем модуль с учетом того, что преобразования мыв проводили для x < − 2 : - x + 2 2 = - (- (x + 2) 2 = - (- x - 2) 2 .
Ответ:
1) x 2 6 · x 5 3 · x - 1 · x - 1 5 = x 2 · (x - 1) 3 , 2) (x + 2) 2 6 · (x + 2) 5 3 = (x + 2) 2 , x ≥ - 2 - (- x - 2) 2 , x < - 2
Пример 6
Упростите иррациональное выражение (x 2 - x - 2) 6 8 , представив его в виде корня четвертой степени.
Решение
ОДЗ переменной x состоит из всех действительных чисел. Используем свойство степени a m · n = (a m) n для того, чтобы записать выражение в виде ((x 2 - x - 2) 3) 2 4 · 2 . Теперь мы можем продолжить преобразования, используя свойство корня a m n · m = a n , которое задано для неотрицательных a . Это значит, что преобразование ((x 2 - x - 2) 3) 2 4 · 2 = (x 2 - x - 2) 3 4 имеет место для всех значений переменной x , которые будут удовлетворять условию (x 2 − x − 2) 3 ≥ 0 .
Решим записанное неравенство для того, чтобы найти множество значений переменной x , удовлетворяющих условию. Сначала перейдем к неравенству (x + 1) 3 · (x − 2) 3 ≥ 0 , затем применим метод интервалов и получим х ∈ (− ∞ , − 1 ] ∪ [ 2 , + ∞) .
При остальных x из ОДЗ, то есть, при x ∈ (− 1 , 2) значения выражения (x 2 − x − 2) 3 отрицательны, и само выражение можно представить как − | (x 2 − x − 2) 3 | . Тогда при x ∈ (− 1 , 2) имеем
((x 2 - x - 2) 3) 2 4 · 2 = (- x 2 - x - 2 3 2 4 · 2 = = (- 1) 2 · x 2 - x - 2 3 2 4 · 2 = (x 2 - x - 2) 3 2 4 · 2 = = x 2 - x - 2 3 4 = - (x 2 - x - 2) 3 4
Итак,
(x 2 - x - 2) 6 8 = = (x 2 - x - 2) 3 4 , x ∈ (- ∞ , 1 ] ∪ [ 2 , + ∞) - (x 2 - x - 2) 3 4 , x ∈ - 1 , 2
Можно записать полученные результаты, записав их при помощи модуля: (x 2 - x - 2) 6 8 = (x 2 - x - 2) 3 4 . Теперь, используя свойства модуля, можно переписать последнее выражение: (x 2 - x - 2) 3 4 .
Ответ: (x 2 - x - 2) 6 8 = (x 2 - x - 2) 3 4
Использование модуля делает процесс вычислений достаточно трудоемким. Упростить процесс преобразований можно следующим образом: взять за основу свойства корней, предположить, что числа a и b могут принимать любые значение, не обязательно те, что удовлетворяют условиям задачи и провести рассуждения по аналогии с теми, которые провели мы в решении последней задачи. Полученные результаты позволят нам проводить вычисления намного быстрее.
Вспомогательные результаты
Оформим вспомогательные результаты в виде таблицы, в которой будет две колонки. Слева будут расположены выражения, которые требуется заменить, справа выражения, которыми можно заменить соответствующие выражения, расположенные в левой колонке. Эти замены можно производить при любых значениях переменных из области допустимых значений. Буквами A и B мы обозначили произвольные числа или выражения корня.
| Выражения, которые заменяем | Выражения, на которые заменяем |
|
A · B n , n - нечетное A · B n , n - четное |
|
| A n · B n , n - любое натуральное | A · B n |
|
A B n , n - нечетное A B n , n - четное |
|
| A n B n , n -любое натуральное | A B n |
|
A n n , n - нечетное A n n , n -четное |
|
|
A , n - нечетное A , n - четное |
A n n A n n , A ≥ 0 * (с м. с н о с к у) - A n n < 0 * с м. с н о с к у |
| A m n , m и n - любые натуральные | A n · m |
| A n · m , m и n - любые натуральные | A m n |
|
A m n · m , m - нечетное n - натуральное A m n · m , m - четное n - натуральное |
|
|
A n , m - нечетное n - натуральное A n , m - четное n - нечетное |
A m n · m A m n · m , A ≥ 0 * (с м. с н о с к у) - A m n · m , A < 0 * (с м. с н о с к у) |
|
A m n , m - нечетное n - натуральное A m n , m - четное n - нечетное |
|
| A n m , m и n - любые натуральные | A m n |
| * A ≥ 0 и A < 0 следует понимать так: для всех значений переменных из ОДЗ для выражения из левой части, при которох значений вырожения A неотрицательны или отрицательны соответственно. | |
Первые результаты этой таблицы можно применить относительно произведений трех, четырех и т.д. множителей, которые находятся под знаком корня. Например, при нечетных n корень A 1 · A 2 · . . . · A k n можно заменить произведением A 1 n · A 2 n · . . . · A k n , а при четных n – произведением A 1 n · A 2 n · . . . · A k n .
Используя данные таблицы корень x · (x + 1) на ОДЗ переменной x сразу можно записать как произведение корней вида x · x + 1 .
Точно также, на ОДЗ переменной x выражение x - 3 x - 5 4 можно записать в виде дроби x - 2 4 x - 5 4 .
Вот еще несколько примеров: x - 2 = (x - 2) 4 4 , x ≥ 2 - (x - 2) 4 4 , x < 2 , 1 - (x 2 - 5) 6 12 = 1 - x 2 - 5 и 5 · x 2 4 = 5 · x 4 2 .
Используя результаты, размещенные в таблице, решим пример последней задачи еще раз:
(x 2 - x - 2) 6 8 = ((x 2 - x - 2) 3) 2 4 · 2 = = x 2 - x - 2 3 4 = x 2 - x - 2 3 4
Посмотрим, как мы получили результат так быстро. При нечетных n выражение A · B n на всей ОДЗ переменных можно записать как A n · B n , а при четных n – как A n · B n .
Доказательство 1
Приведем доказательства: при нечетных n для любого набора значений переменных из ОДЗ для исходного выражения A · B n значения выражений A и B таковы, что:
- либо они оба неотрицательны,
- либо первое неотрицательно, а второе отрицательно,
- либо первое отрицательно, а второе неотрицательно,
- либо они оба отрицательны.
Используя свойство корней a · b = a · b , которое верно при a ≥ 0 , b ≥ 0 , мы можем сделать вывод, что A · B n = A n · B n .
Во втором случае мы можем провести следующие преобразования:
A · B n = A · (- B) n = - A · B n = = - A n · B n = - A n · - B n = = - A n · - B n = A n · B n
В третьем случае, аналогично,
A · B n = - A · B n = - A · B n = = - A n · B n = - - A n · B n = = - - A n · B n = A n · B n
И в четвертом случае имеем:
A · B n = - A · - B n = A · B n = = A n · B n = - A n · - B n = = - A n · + B n = A n · B n
Так мы доказали, что при нечетных n на ОДЗ переменных для выражения A · B n это выражение можно заменить на A n · B n .
Докажем справедливость второй части утверждения.
Доказательство 2
При четных n при любом наборе значений переменных из ОДЗ переменных для выражения A · B n значение выражения A · B неотрицательно. Поэтому A · B n можно записать как A · B n , а так как модуль произведения равен произведению модулей, то последнее выражение можно переписать в виде A · B n , откуда в силу свойства корней имеем A n · B n . Что и требовалось доказать.
Для примера возьмем иррациональное выражение x · (x - 1) 3 . Область допустимых значений переменной x для этого выражения является множество всех действительных чисел. Используя утверждение, которое мы доказали выше, мы можем заменить выражение x · (x - 1) 3 выражением x 3 · x - 1 3 на множестве R . Корень (x + 3) · (x - 5) 6 запишем в виде произведения корней x + 3 6 · x - 5 6 на области допустимых значений переменной x для исходного выражения, т.е. на множестве (− ∞ , − 3 ] ∪ [ 5 , + ∞) .
Как еще мы можем удостовериться в правильности полученных результатов?
Доказательство 3
Можно доказать, что при четных m и любых натуральных n на ОДЗ переменных для выражения A m n · m его можно заменить на A n . Для тех значений переменных из ОДЗ, при которых значения выражения A неотрицательны, выражение A m n · m можно переписать в виде A m n · m и дальше в силу свойств модуля как A m n · m . А по свойству корней a m n · m = a n , где a ≥ 0 , имеет место равенство A m n · m = A n .
А для тех значений переменных, при которых значения выражения A отрицательны, выражение A m n · m можно переписать как - A m n · m . Дальше имеют место такие переходы: - A m n · m = - 1 m · A m n · m = A m n · m = A n . Первый из них возможен в силу свойств степени, второй – в силу того, что m – четное, а третий – в силу свойства корней a m n · m = a n , где a ≥ 0 . На этом доказательство завершено.
Аналогично обосновываются и остальные результаты из таблицы.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter