Температура.
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории для идеального газа устанавливает связь легко измеряемого макроскопического параметра - давления - с такими микроскопическими параметрами газа, как средняя кинетическая энергия и концентрация молекул.
Но, измерив только давление газа, мы не можем узнать ни среднее значение кинетической энергии молекул в отдельности, ни их концентрацию. Следовательно, для нахождения микроскопических параметров газа нужны измерения еще какой-то физической величины, связанной со
средней кинетической энергией молекул. Такой величиной в физике является температура.
Из повседневного опыта каждый знает, что бывают тела горячие и холодные. При контакте двух тел, из которых одно мы воспринимаем как горячее, а другое - как холодное, происходят изменения физических параметров как первого, так и второго тела. Например, твердые и жидкие тела обычно при нагревании расширяются. Через некоторое время после установления контакта между телами изменения макроскопических параметров тел прекращаются. Такое состояние тел называется тепловым равновесием. Физический параметр, одинаковый во всех частях системы тел, находящихся в состоянии теплового равновесия, называется температурой тела. Если при контакте двух тел никакие их физические параметры, например объем, давление, не изменяются, то между телами нет теплопередачи и температура тел одинакова.
Термометры.
В повседневной практике наиболее распространен способ измерения температуры с помощью жидкостного термометра.
В устройстве жидкостного термометра используется свойство расширения жидкостей при нагревании. В качестве рабочего тела обычно применяется ртуть, спирт, глицерин. Чтобы измерить температуру тела, термометр приводят в контакт с этим телом; между телом и термометром будет осуществляться теплопередача до установления теплового равновесия. Масса термометра должна быть значительно меньше массы тела, так как в противном случае процесс измерения может существенно изменить температуру тела.
Изменения объема жидкости в термометре прекращаются, когда между телом и термометром прекращается теплообмен. При этом температура жидкости в термометре равна температуре тела.
Отметив на трубке термометра положение конца столба жидкости при помещении термометра в тающий лед, а затем в кипящую воду при нормальном давлении и разделив отрезок между этими отметками на 100 равных частей, получают температурную шкалу по Цельсию. Температура тающего льда принимается равной (рис. 83), кипящей воды - (рис. 84). Изменение длины столба жидкости в термометре на одну сотую длины между отметками 0 и соответствует изменению температуры на
Существенным недостатком способа измерения температуры с помощью жидкостных термометров является то, что шкала температуры при этом оказывается связанной с конкретными физическими свойствами определенного вещества, используемого в качестве рабочего тела в термометре, - ртути, глицерина, спирта. Изменение объема различных жидкостей при одинаковом нагревании оказывается несколько различным. Поэтому ртутный и глицериновый термометры, показания которых совпадают при 0 и 100 °С, дают разные показания при других температурах.
Газы в состоянии теплового равновесия.
Для того чтобы найти более совершенный способ определения температуры, нужно найти такую величину, которая была бы одинаковой для любых тел, находящихся в состоянии теплового равновесия.
Экспериментальные исследования свойств газов показали, что для любых газов, находящихся в состоянии теплового равновесия, отношение произведения давления газа на его объем к числу молекул оказывается одинаковым:
Этот опытный факт позволяет принять величину 0 в качестве естественной меры температуры.
Так как то с учетом основного уравнения молекулярно-кинетической теории (24.2) получим
Следовательно, средняя кинетическая энергия молекул любых газов, находящихся в тепловом равновесии, одинакова. Величина 0 равна двум третям средней кинетической энергии беспорядочного теплового движения молекул газа и выражается в джоулях.
В физике обычно выражают температуру в градусах, принимая, что температура Т в градусах и величина 0 связаны уравнением
где - коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единицы температуры.
Отсюда получаем
Последнее уравнение показывает, что имеется возможность выбрать температурную шкалу, не зависящую от природы газа, используемого в качестве рабочего тела.
Практически измерение температуры на основании использования уравнения (25.4) осуществляется с помощью газового термометра (рис. 85). Устройство его таково: в сосуде постоянного объема находится газ, количество газа остается неизменным. При постоянных значениях объема V и числа молекул давление газа, измеряемое манометром, может служить мерой температуры газа, а значит, и любого тела, с которым газ находится в тепловом равновесии.
Абсолютная шкала температур.
Шкала измерения температуры в соответствии с уравнением (25.4) называется абсолютной шкалой. Ее предложил английский физик У. Кельвии (Томсон) (1824-1907), поэтому шкалу называют также - шкалой Кельвина.
До введения абсолютной шкалы температур в практике получила широкое распространение шкала измерения температуры по Цельсию. Поэтому единица температуры по абсолютной шкале, называемая кельвином выбрана равной одному градусу по шкале Цельсия:
Абсолютный нуль температуры.
В левой части уравнения (25.4) все величины могут иметь только положительные значения или быть равными нулю. Поэтому абсолютная температура Т может быть только положительной или равной нулю. Температура, при которой давление идеального газа при постоянном объеме должно быть равно нулю, называется абсолютным нулем температуры.
Постоянная Больцмана.
Значение постоянной к в уравнении (25.4) можно найти по известным значениям давления и объема газа с известным числом молекул при двух значениях температуры
Как известно, 1 моль любого газа содержит примерно молекул и при нормальном давлении Па занимает объем
Опыты показали, что при надевании любого газа при постоянном объеме от 0 до 100° С его давление возрастает от до Па. Подставляя эти значения в уравнение (25.6), получаем
Коэффициент называется постоянной Больцмана, в честь австрийского физика Людвига Больцмана (1844-1906), одного из создателей молекулярно-кинетической теории.
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ) газов:
(где $n=\frac{N}{V}$ -- концентрация частиц в газе, N -- количество частиц, V- объем газа, $\left\langle E\right\rangle \ $-средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул в газе, $\left\langle v_{kv}\right\rangle $- средняя квадратичная скорость, $m_0$- масса молекулы) связывает давление - макропараметр, который довольно легко измерять с микропараметрами -- средней энергией движения отдельной молекулы или, в другом написании, массой частицы и ее скоростью. Однако, измеряя только давление, невозможно определить кинетические энергии частиц в отдельности от концентрации. Следовательно, для того, чтобы в полном объеме мы имели возможность находить микропараметры, необходимо знание еще какой-то физической величины, которая связана с кинетической энергией частиц, составляющих газ. Таковой является термодинамическая температура.
Газовая температура
Для того, чтобы определить, что такое газовая температура, необходимо вспомнить важное свойство, которое говорит о том, что при равновесии средняя кинетическая энергия молекул в смеси газов одна и та же для различных компонент этой смеси. Из этого свойства вытекает то, что если два газа в разных сосудах находятся в тепловом равновесии, то средние кинетические энергии молекул этих газов одинаковы. Это свойство и используем. Кроме того, эксперименты доказали, что для любых газов (количество газов не ограничено), которые находятся в состоянии теплового равновесия, выполняется следующее соотношение:
Учитывая выше сказанное, используем (1) и (2), получим:
Из уравнения (3) получается, что величина $\theta $, которую мы вводим как температуру, измеряется, как и энергия, в Дж. На практике температура в системе СИ измеряется в кельвинах. Следовательно, введем коэффициент, который устранит это противоречие, его размерность будет $\frac{Дж}{К}$, обозначение k равен он $1,38\cdot {10}^{-23}$. Этот коэффициент называют постоянной Больцмана. Так:
\[\theta =kT\ \left(4\right),\]
где T -- термодинамическая температура в кельвинах.
И ее связь со средней кинетической энергией движения молекул газа очевидна:
\[\left\langle E\right\rangle =\frac{3}{2}kT\ \left(5\right).\]
Уравнение (5) показывает, что средняя энергия теплового движения молекул прямо пропорциональна температуре газа. Температуру назвали абсолютной. Ее физический смысл в том, что она определяется средней кинетической энергией приходящейся на одну молекулу. Это с одной стороны. С другой, температура является характеристикой системы в целом. Так уравнение (5) связывает параметры макромира с параметрами микромира. Говорят, что температура является мерой средней кинетической энергии молекул. Мы можем измерить температуру системы, а за тем вычислить энергию молекул.
Абсолютный ноль температур
В состоянии термодинамического равновесия все части системы имеют одинаковую температуру. Температура, при которой средняя кинетическая энергия молекул равна нулю, давление идеального газа равно нулю, называют абсолютным нулем температур. Абсолютная температура не может быть отрицательной.
Пример 1
Задание: Вычислить среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы кислорода при температуре T=290K. Среднюю квадратичную скорость капельки воды диаметра d=${10}^{-7}м$, взвешенной в воздухе.
Найти среднюю кинетическую энергию движения молекулы кислорода можно используя уравнение, связывающее ее (энергию) и температуру:
\[\left\langle E\right\rangle =\frac{3}{2}kT\left(1.1\right).\]
Поведем расчет, так как все величины заданы в СИ:
\[\left\langle E\right\rangle =\frac{3}{2}\cdot 1,38\cdot {10}^{-23}\cdot {10}^{-7}=6\cdot {10}^{-21}\left(Дж\right).\]
Приступим ко второй части задачи. Капельку воды, которая взвешена в воздухе, можно считать шаром (рис.1). Следовательно, массу капельки найдем как $m=\rho \cdot V=\rho \cdot \pi {\frac{d}{6}}^3.$
Рассчитаем массу капельки воды, из справочных материалов плотность воды при нормальных условиях равна $\rho =1000\frac{кг}{м^3}$:$\ тогда$
Масса капельки очень мала, следовательно, саму капельку можно сравнить с молекулой газа и применить для расчета средней квадратичной скорости капли формулу:
\[\left\langle E\right\rangle =\frac{m{\left\langle v_{kv}\right\rangle }^2}{2}\ \left(1.2\right),\]
где $\left\langle E\right\rangle $ мы уже рассчитали, а из (1.1) очевидно, энергия не зависит от вида газа, зависит только от температуры, следовательно, мы можем использовать полученное значение энергии. Выразим из (1.2) скорость:$\ \cdot $
\[\left\langle v_{kv}\right\rangle =\sqrt{\frac{2\left\langle E\right\rangle }{m}}=\sqrt{\frac{6\cdot 2\left\langle E\right\rangle }{\pi \rho d^3}}=3\sqrt{\frac{2kT}{\pi \rho d^3}}\ \left(1.3\right)\]
Проведем расчёт:
\[\left\langle v_{kv}\right\rangle =\sqrt{\frac{2\cdot 6\cdot {10}^{-21}}{5,2\cdot {10}^{-19}}}=0,15\ \left(\frac{м}{с}\right)\]
Ответ: Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы кислорода при заданной температуре равна $6\cdot {10}^{-21}\ Дж$. Средняя квадратичная скорость капельки воды при заданных условиях равна 0,15 м/с.
Пример 2
Задание: Средняя энергия поступательного движения молекул идеального газа равна $\left\langle E\right\rangle .\ $Давление газа p. Найдите концентрацию частиц газа.
К нему добавим уравнение связи средней энергии поступательного движения молекул и температуры системы:
\[\left\langle E\right\rangle =\frac{3}{2}kT\ \left(2.2\right)\]
Из (2.1) выразим искомую концентрацию:
Из $\left(2.2\right)\ $выразим $kT$:
Подставим (2.4) в (2.3):
Ответ: Концентрация частиц газа может быть найдена как $n=\frac{3p}{2\left\langle E\right\rangle }$.
Представляем формулу основного уравнения молекулярно-кинетической теории (МКТ) газов:
(где n = N V – это концентрация частиц в газе, N – это число частиц, V – это объем газа, 〈 E 〉 – это средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа, υ k v – это средняя квадратичная скорость, m 0 – это масса молекулы) связывает давление – макропараметр, достаточно просто измеряющийся с такими микропараметрами, как средняя энергия движения отдельной молекулы (или в другом выражении), как масса частицы и ее скорость. Но находя только лишь давление, нельзя установить кинетические энергии частиц отдельно от концентрации. Поэтому для нахождения в полном объеме микропараметров нужно знать еще какую-то физическую величину, связанную с кинетической энергией частиц, составляющих газ. За данную величину можно взять термодинамическую температуру.
Газовая температура
Для определения газовой температуры нужно вспомнить важное свойство, которое сообщает о том, что в условиях равновесия средняя кинетическая энергия молекул в смеси газов одинаковая для различных компонентов данной смеси. Из данного свойства следует то, что если 2 газа в различных сосудах находятся в тепловом равновесии, тогда средние кинетические энергии молекул данных газов одинаковые. Это свойство мы и будем использовать. К тому же в ходе экспериментов доказано, что для любых газов (при неограниченном числе), которые находятся в состоянии теплового равновесия, справедливо следующее выражение:
С учетом вышесказанного, используем (1) и (2) и получаем:
Из уравнения (3) следует, что величина θ , которой мы обозначили температуру, вычисляется в Д ж, в чем измеряется также и кинетическая энергия. В лабораторных работах температура в системе измерения вычисляется в кельвинах. Поэтому введем коэффициент, который уберет данное противоречие. Он обозначается k , измеряется в Д ж К и равняется 1 , 38 · 10 - 23 . Данный коэффициент называется постоянной Больцмана. Таким образом:
Определение 1
θ = k T (4) , где T – это термодинамическая температура в кельвинах .
Связь термодинамической температуры и средней кинетической энергией теплового движения молекул газа выражается формулой:
E = 3 2 k T (5) .
Из уравнения (5) видно, что средняя кинетическая энергия теплового движения молекул прямо пропорциональна температуре газа. Температура является абсолютной величиной. Физический смысл температуры заключается в том, что она, с одной стороны, определяется средней кинетической энергией, которая приходится на 1 молекулу. А с другой стороны, температура – это характеристика системы в целом. Таким образом, уравнение (5) показывает связь параметров макромира с параметрами микромира.
Определение 2
Известно, что температура – это мера средней кинетической энергии молекул.
Можно установить температуру системы, а затем рассчитать энергию молекул.
В условиях термодинамического равновесия все составляющие системы характеризуются одинаковой температурой.
Определение 3
Температура, при которой средняя кинетическая энергия молекул равняется 0 , давление идеального газа равняется 0 , называется абсолютным нулем температур . Абсолютная температура никогда не является отрицательной.
Пример 1
Необходимо найти среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы кислорода, если температура T = 290 K . А также найти среднюю квадратичную скорость капельки воды диаметра d = 10 - 7 м, взвешенной в воздухе.
Решение
Найдем среднюю кинетическую энергию движения молекулы кислорода по уравнению, связывающему энергию и температуру:
E = 3 2 k T (1 . 1) .
Поскольку все величины заданы в системе измерения, проведем вычисления:
E = 3 2 · 1 , 38 · 10 - 23 · 10 - 7 = 6 · 10 - 21 Д ж.
Перейдем ко второй части задания. Положим, что капелька, взвешенная в воздухе, – это шар (рисунок 1
). Значит, массу капельки можно рассчитать как:
m = ρ · V = ρ · π d 3 6 .
Рисунок 1
Найдем массу капельки воды. Согласно справочных материалов, плотность воды в нормальных условиях равняется ρ = 1000 к г м 3 , тогда:
m = 1000 · 3 , 14 6 10 - 7 3 = 5 , 2 · 10 - 19 (к г) .
Масса капельки чрезмерно маленькая, поэтому, сама капелька сравнима с молекулой газа, и тогда можно использовать при расчетах формулу средней квадратичной скорости капли:
E = m υ k υ 2 2 (1 . 2) ,
где 〈 E 〉 мы уже установили, а из (1 . 1) понятно, что энергия не зависит от разновидности газа, а зависит только лишь от температуры. Значит, мы можем применить полученную величину энергии. Найдем из (1 . 2) скорость:
υ k υ = 2 E m = 6 · 2 E π ρ d 3 = 3 2 k T π ρ d 3 (1 . 3) .
Рассчитаем:
υ k υ = 2 · 6 · 10 - 21 5 , 2 · 10 - 19 = 0 , 15 м с
Ответ: Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы кислорода при заданной температуре равняется 6 · 10 - 21 Д ж. Средняя квадратичная скорость капельки воды при заданных условиях равняется 0 , 15 м / с.
Пример 2
Средняя энергия поступательного движения молекул идеального газа равняется 〈 E 〉 , а давление газа p . Необходимо найти концентрацию частиц газа.
Решение
В основу решения задачи положим уравнение состояния идеального газа:
p = n k T (2 . 1) .
Прибавим к уравнению (2 . 1) уравнение связи средней энергии поступательного движения молекул и температуры системы:
E = 3 2 k T (2 . 2) .
Из (2 . 1) выражаем необходимую концентрацию:
n = p k T 2 . 3 .
Из (2 . 2) выражаем k T:
k T = 2 3 E (2 . 4) .
Подставляем (2 . 4) в (2 . 3) и получаем:
Ответ: Концентрацию частиц можно найти по формуле n = 3 p 2 E .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
На этом уроке мы будем разбирать физическую величину, уже знакомую нам из курса восьмого класса - температуру. Мы дополним её определение как меру теплового равновесия и меру средней кинетической энергии. Опишем недостатки одних и преимущества других методов измерения температур, введём понятие шкалы абсолютных температур и, наконец, выведем зависимость кинетической энергии молекул газа и давления газа от температуры.
Причины этому две:
- Различные термометры используют различные вещества в качестве индикатора, поэтому на одно и то же изменение температуры в зависимости от свойств конкретного вещества термометры реагируют по-разному;
- Произвольность выбора начала отсчёта шкалы температур.
Поэтому для любых точных замеров температур такие термометры не годятся. И начиная с восемнадцатого века, используются более точные термометры, коими является газовые термометры (см. рис. 2)
Рис. 2. Газовый термометр ()
Причиной этого является тот факт, что газы расширяются одинаково при изменении температуры на одинаковые значения. Для газовых термометров справедливо следующее:
То есть для измерения температуры либо фиксируется изменение давления при постоянном объёме, либо объём при постоянном давлении.
В газовых термометрах часто используют разреженный водород, который, как мы помним, очень хорошо подходит под модель идеального газа.
Кроме неидеальности бытовых термометров имеет место быть неидеальность многих шкал, которые используются в быту. В частности, шкала Цельсия, как наиболее нам знакомая. Как и в случае с термометрами эти шкалы выбирают случайным образом начальный уровень (для шкалы Цельсия это температура плавления льда). Поэтому для работы с физическими величинами необходима другая, абсолютная шкала.
Эту шкалу ввёл в 1848 г английский физик Уильям Томпсон (лорд Кельвин) (рис. 3). Зная, что при росте температур тепловая скорость движения молекул и атомов тоже растёт, нетрудно установить, что при уменьшении температур скорость будет падать и при определённой температуре рано или поздно станет нулём, как и давление (исходя и основного уравнения МКТ). Эту температуру и выбрали за начало отсчёта. Совершенно очевидно, что температура не может достигнуть значения меньше этого значения, поэтому оно получило название «абсолютный ноль температур». Для удобства же 1 градус по шкале Кельвина был приведён в соответствии с 1 градусом по шкале Цельсия.
Итак, получаем следующее:
Обозначение температуры - ;
Единица измерения - К, «кельвин»
Перевод к шкале Кельвина:
Следовательно, абсолютный ноль температур - это температура
Рис. 3. Уильям Томпсон ()
Теперь для определения температуры как меры средней кинетической энергии молекул имеет смысл обобщить те рассуждения, которые мы приводили в определении абсолютной шкалы температур:
Итак, как видим, температура и правда является мерой средней кинетической энергией поступательного движения. Конкретное же формульное соотношение вывел австрийский физик Людвиг Больцман (рис. 4):
Здесь - так называемый коэффициент Больцмана. Это константа, численно равная:
Как мы видим, размерность этого коэффициента - , то есть это своего рода коэффициент пересчёта из шкалы температур в шкалу энергий, ведь мы понимаем теперь, что, по сути, должны были измерять температуру в единицах энергии.
Теперь рассмотрим, как будет зависеть давление идеального газа от температуры. Для этого запишем основное уравнение МКТ в следующем виде:
и подставим в эту формулу выражение для связи средней кинетической энергии с температурой. Получим:
Рис. 4. Людвиг Больцман ()
На следующем занятии мы сформулируем уравнение состояния идеального газа.
Список литературы
- Мякишев Г.Я., Синяков А.З. Молекулярная физика. Термодинамика. - М.: Дрофа, 2010.
- Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И. Физика 10 класс. - М.: Илекса, 2005.
- Касьянов В.А. Физика 10 класс. - М.: Дрофа, 2010.
- Большая Энциклопедия Нефти Газа ().
- youtube.com ().
- E-science.ru ().
Домашнее задание
- Стр. 66: № 478-481. Физика. Задачник. 10-11 классы. Рымкевич А.П. - М.: Дрофа, 2013. ()
- Как определяют шкалу температур по Цельсию?
- Укажите температурный диапазон по шкале Кельвина для вашего города летом и зимой.
- Воздух состоит в основном из азота и кислорода. Кинетическая энергия молекул какого газа больше?
- *Чем отличается расширение газов от расширения жидкостей и твёрдых тел?
Представляет собой ту энергию, которая определяется скоростью движения различных точек, принадлежащих этой системе. При этом следует различать энергию, которая характеризует поступательное движение и движение вращательное. При этом, средняя кинетическая энергия - это средняя разность между совокупной энергией всей системы и ее энергией покоя, то есть, в сущности, ее величина является средней величиной
Ее физическая величина определяется по формуле 3 / 2 кТ, в которой обозначены: Т - температура, k - константа Больцмана. Эта величина может служить своеобразным критерием для сравнения (эталоном) для энергий, заключенных в различных типах теплового движения. К примеру, средняя кинетическая энергия для молекул газа при исследовании поступательного движения, равна 17 (- 10) нДж при температуре газа 500 С. Как правило, наибольшей энергией при поступательном движении обладают электроны, а вот энергия нейтральных атомов и ионов и значительно меньше.
Данная величина, если мы рассматриваем любой раствор, газ или жидкость, находящуюся при данной температуре, имеет постоянное значение. Такое утверждение справедливо и для коллоидных растворов.
Несколько иначе обстоит дело с твердыми веществами. В этих веществах средняя кинетическая энергия любой частицы слишком мала для того, чтобы преодолеть силы молекулярного притяжения, а потому она может только совершать движение вокруг некой точки, которая условно фиксирует определенное равновесное положение частицы на протяжении длительного отрезка времени. Это свойство и позволяет твердому веществу быть достаточно устойчивым по форме и объему.
Если мы рассматриваем условия: поступательное движение и то здесь средняя кинетическая энергия не является величиной, зависимой от а потому определяется как значение, прямо пропорциональное значению
Все эти суждения мы привели с той целью, чтобы показать, что они справедливы для всех типов агрегатных состояний вещества - в любом из них температура выступает в качестве основной характеристики, отражающей динамику и интенсивность теплового движения элементов. А в этом состоит сущность молекулярно-кинетической теории и содержание понятия теплового равновесия.
Как известно, если два физических тела приходят во взаимодействие друг с другом, то между ними возникает процесс теплообмена. Если же тело представляет собой замкнутую систему, то есть не взаимодействует ни с какими телами, то его теплообменный процесс будет длиться столько времени, сколько потребуется для выравнивания температур этого тела и окружающей среды. Такое состояние называют термодинамическим равновесием. Этот вывод многократно был подтвержден результатами экспериментов. Чтобы определить среднюю кинетическую энергию, следует обратиться к характеристикам температуры данного тела и его теплообменных свойств.
Важно также учитывать, что микропроцессы внутри тел не заканчиваются и тогда, когда тело вступает в термодинамическое равновесие. В этом состоянии внутри тел происходит перемещение молекул, изменение их скоростей, удары и столкновения. Поэтому выполняется только одно из нескольких наших утверждений - объем тела, давление (если речь идет о газе), могут различаться, но вот температура все равно будет оставаться величиной постоянной. Этим еще раз подтверждается утверждение, что средняя кинетическая энергия теплового движения в определяется исключительно показателем температуры.
Эту закономерность установил в ходе опытов Ж. Шарль в 1787 году. Проводя опыты, он заметил, что при нагреве тел (газов) на одинаковую величину, давление их меняется в соответствии с прямо пропорциональным законом. Это наблюдение дало возможность создать много полезных приборов и вещей, в частности - газовый термометр.