Метод гаусса для чайников: решаем слау легко. Метод Гаусса (последовательного исключения неизвестных). Примеры решений для чайников

Итак, метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений, он идеально подходит для решения систем, содержащих больше трех линейных уравнений. Метод Гаусса решения СЛАУ с числовыми коэффициентами в силу простоты и однотипности выполняемых операций пригоден для счета на электронно-вычислительных машинах.

Достоинства метода:

a) менее трудоёмкий по сравнению с другими методами;

b) позволяет однозначно установить, совместна система или нет, и если совместна, найти её решение;

c) позволяет найти максимальное число линейно независимых уравнений - ранг матрицы системы.

Существенным недостатком этого метода является невозможность сформулировать условия совместности и определенности системы в зависимости от значений коэффициентов и свободных членов. С другой стороны, даже в случае определенной системы этот метод не позволяет найти общие формулы, выражающие решение системы через ее коэффициенты и свободные члены, которые необходимо иметь при теоретических исследованиях.

Помимо аналитического решения СЛАУ, метод Гаусса также применяется для:

a) нахождения матрицы, обратной к данной (к матрице справа приписывается единичная такого же размера, что и исходная: , после чего приводится к виду единичной матрицы методом Гаусса-Жордана; в результате на месте изначальной единичной матрицы справа оказывается обратная к исходной матрица:);

b) определения ранга матрицы (согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли ранг матрицы равен числу её главных переменных);

c) численного решения СЛАУ в вычислительной технике (ввиду погрешности вычислений используется Метод Гаусса с выделением главного элемента, суть которого заключена в том, чтобы на каждом шаге в качестве главной переменной выбирать ту, при которой среди оставшихся после вычёркивания очередных строк и столбцов стоит максимальный по модулю коэффициент).

Существуют и другие методы решения и исследования систем линейных уравнений, которые лишены отмеченных недостатков. Эти методы основаны на теории матриц и определителей.

Комбинаторика.

Сколькими способами трое мальчиков - Алмас, Болат, Сабыр - могут стоять в одном ряду? - Это не трудно, напишем все возможные случаи (комбинации): АБС, АСБ, БАС, БСА, САБ, СБА. Всего шесть комбинаций.

Допустим к ним присоединился еще один мальчик Даурен. Каковы будут способы расположения в этом случае? В возможных шести случаях Даурен может стоять первым, вторым, третьим и последним:

ДАБС, ДАСБ, ДБАС, ДБСА, ДСАБ, ДСБА;
АДБС, АДСБ, БДАС, БДСА, СДАБ, СДБА;
АБДС, АСДБ, БАДС, БСДА, САДБ, СБДА;
АБСД, АСБД, БАСД, БСАД, САБД, СБАД.

Всего 24 разных способов. А если еще увеличить количество детей? Каждый раз писать и выводить общее количество трудно. Нам нужно определить число способов, а не виды способов. Нет ли других методов для определение этого число? - Есть. И в теории вероятностей нас больше интересует количество способов расположения, чем виды расположения. Раздел математики, называемый комбинаторикой, дает возможность сразу определить количество таких способов. Ознакомимся с основными понятиями комбинаторики, необходимыми для решения задач теории вероятностей. Это - перестановка, размещение и сочетания. Остановимся на каждом в отдельности.

1. Перестановка. Рассмотрим число случаев в предыдущей задаче. Мы переставили местами буквы А, Б, С и посчитали число всевозможных комбинаций, оно равнялось 6. А когда число мальчиков увеличилось на единицу, переставь местами буквы А, Б, С, Д, мы нашли число всевозможных комбинаций, оно равнялось 24.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Перестановкой из n различных элементов называются комбинации, которые состоят из n элементов и отличаются друг от друга только порядком их расположения.

Число перестановок из n различных элементов обозначают P n и подсчитывают по формуле:

здесь n! (читается "эн факториал") означает произведение всех натуральных чисел от 1 до n:

Понятно, что один факториал равен единице, 1! = 1, вместе с этим, в математике принято считать что и ноль факториал равен единице. И так 0! = 1.

Вернемся к примеру. Здесь n=3. Следовательно, можно найти искомое число перестановок по формуле (1): P 3 =3!=1 2 3=6. Аналогично, число перестановок из четырех букв равно: P 4 =4!=1 2 3 4=24

Пример 7. Найдем значение выражения с факториалами 8!/6! 2!

Сначала преобразуем 8!=1 2 3 4 5 6 7 8=6! 7 8

Это преобразование подставим в выражение и упростим. 8!/6! 2=6! 7 8/6! 2=7 8/2=28

2. Размещения. Рассмотрим пример. Сколько двузначных чисел (цифры не повторяются) можно записать с помощью цифр 7, 8, 9. Это можно сделать в двух этапах: первый этап - определение количество подбора разрядов десятков числа, он равен 3 (любая из данных 3 цифр может занять разряд десятков); второй этап - определение количество подбора разрядов единиц числа, он равен 2 (любая цифра из оставшихся двух может занять разряд единиц). По правилу умножения из трех чисел можно составить всего 3 2=6 различных двузначных чисел. Действительно, можно в этом убедиться непосредственно записывая эти числа 78, 79, 87, 89, 97, 98, При решении задачи мы расположили по два элемента из трех, причем эти комбинации отличаются либо составом (78, 98), либо порядком их расположения (78, 87).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Размещением из n элементов по m элементов (m n) называются комбинации, состоящие из m элементов, взятых из данных n различных элементов, отличающихся друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения.

Число размещений из n элементов по m элементов обозначают и читают так: "А из эн по эм". Чтобы найти используют формулу:

(15)

Рассмотрим еще один пример. В 5 классе изучают 10 предметов. Сколькими способами можно составить расписание, если в этот день должно быть 4 различных урока?

Чтобы найти число способов расположения 10-ти предметов по четыре предмета, воспользуемся формулой (15) нахождения числа размещений из 10 элементов по 4 элемента:

Итак, 10 предметов по 4 предмета можно расположить 5040 различными способами.

3. Сочетания. Пример. Нужно составить произведения двух различных чисел из данных трех чисел 7, 8, 9.

Учитывая переместительное свойство умножения, имеем: 7 8=56, 7 9=63, 8 9=72. При решении задачи мы отобрали по два элемента из трех, причем эти комбинации отличаются только составом (78, 98), а их расположения не влияют на произведение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Сочетанием из n элементов по m элементов (m n) называются комбинации, состоящие из m элементов, взятых из данных n различных элементов, отличающиеся друг от друга только составом.

Число сочетаний из n элементов по m элементов обозначают и читают так: "це из эн по эм". Чтобы найти используют формулу:

(16)

В нашем примере n=3, а m=2. Тогда

Рассмотрим еще пример. В классе 25 учеников, из них 12 мальчиков. а) Нужно составить дежурство по два человека, причем пары должны состоят либо из мальчиков, либо из девочек. б) Сколько можно создать групп для дежурства, из двух мальчиков и одной девочки?

Решение. а) При решении этой задачи воспользуемся правилом сложения и формулой сочетания. Сначала посчитаем сколько пар можно создать из мальчиков (m 1) и из девочек (m 2), после найдем их сумму (m=m 1 +m 2).

Чтобы определить сколько пар можно создать из 12 мальчиков воспользуемся формулой для подсчета числа сочетаний из 12 элементов по 2 элемента

Из девочек можно создать 78 различных пар. Тогда по два мальчика и по две девочки всего можно создать m=66+78=144 различных пар.

б) При решении этой задачи воспользуемся правилом умножения и формулой сочетания. В группе два мальчика и одна девочка. Сначала посчитаем сколькими способами можно выбрать из 12 мальчиков по два мальчика (m 1) и из 13 девочек одну девочку (m 2), затем перемножим полученные результаты (m=m 1 m 2).
Из 12 мальчиков 2 мальчика можно выбрать 66 различными способами. А из 13 девочек 1 девочку можно выбрать следующим образом:

Тогда группу из двух мальчиков и из одной девочки можно создать m=66 13=856 различными способами.

Определение матрицы. Определители второго и третьего порядков, их основные свойства. Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке (столбцу). Методы вычисления определителей. Понятие об определителе n-го порядка.

Определение 1.1 . Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.

Обозначения: А – матрица, - элемент матрицы, номер строки, в которой стоит данный элемент, номер соответствующего столбца; m – число строк матрицы, n – число ее столбцов.

Определение 1.2 . Числа m и n называются размерностями матрицы.

Определение 1.3. Матрица называется квадратной , если m = n. Число n в этом случае называют порядком квадратной матрицы.

Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, определяемое единственным образом с использованием всех элементов матрицы. Это число называется определителем.

Определение 1.4. Определителем второго порядка называется число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы 2-го порядка следующим образом:

При этом из произведения элементов, стоящих на так называемой главной диагонали матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол) вычитается произведение элементов, находящихся на второй, или побочной, диагонали.

1. 2.

Определение 1.5 . Определителем третьего порядка называется число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы 3-го порядка следующим образом:

А` , называемая транспонированной по отношению к матрице А , элементы которой связаны с элементамиА соотношением a` ij = a ji .

Систему уравнений (1.1) представим в виде

Известно большое число схем метода исключения, приспособленных для ручного или машинного счета матриц общего или специального вида.

Метод Гаусса можно интерпретировать как метод, в котором первоначально матрица приводится к верхней треугольной форме (прямой ход), а далее - к единичной (обратный ход). Очевидно, что если матрица единичная, то x t = b r

Пусть матрица системы (1.3) - верхняя треугольная, поэтому a tj = 0 при i > j, т. е. все элементы ниже главной диагонали равны нулю. Тогда из последнего уравнения сразу определяем х п. Подставляя х п в предпоследнее уравнение, находим х а _ х и т. д. Общие формулы имеют вид

При k > I коэффициенты а ы = 0.

Приведем матрицу системы (1.3) к верхней треугольной. Вычтем из второго уравнения системы (1.3) первое, умноженное на такое число, при котором коэффициент при х х обратится в нуль. То же проделаем со всеми остальными уравнениями. В результате все коэффициенты первого столбца, лежащие ниже главной диагонали, обратятся в нуль. Затем, используя второе уравнение, обратим в нуль соответствующие коэффициенты второго столбца. Последовательно продолжая этот процесс, приведем матрицу системы к верхней треугольной форме.

Запишем общие формулы метода Гаусса. Пусть проведено исключение коэффициентов из (А - 1)-го столбца. Тогда останутся уравнения с ненулевыми элементами ниже главной диагонали:

Умножим k-ю строку на число с тк = т > k и вычтем

из m-й строки. Первый ненулевой элемент этой строки обратится в нуль, а остальные изменятся по формулам

Проведя вычисления по этим формулам при всех указанных индексах, обратим в нуль элементы k-ro столбца, лежащие ниже главной диагонали. Аналогичная процедура приводит матрицу системы к верхней треугольной форме, при этом весь процесс приведения называется ПРЯМЫМ ХОДОМ МЕТОДА ГАУССА. Вычисление неизвестных по формулам (1.4) называют ОБРАТНЫМ ХОДОМ метода.

Обратный ход можно совершить иначе, если обратить в нуль и все коэффициенты, лежащие выше главной диагонали. Например, элементы п -го столбца обращаются в нуль, если ej^| умножить на (-a^V ax t = б| 2л) , где Ь^ п) - коэффициенты правой части i-го уравнения после указанных преобразований.

На некотором шаге прямого хода может оказаться, что коэффициент aj*" * 0, но мал по сравнению с остальными элементами матрицы системы и, в частности, мал по сравнению с элементами первого столбца. Деление коэффициентов системы на малую величину может привести к значительным ошибкам округления.

Для уменьшения ошибок округления поступают следующим образом. Среди элементов первого столбца а ^ каждой промежуточной матрицы выбирают наибольший по модулю (главный) элемент и путем перестановки i-й строки со строкой, содержащей главный элемент, добиваются того, что главный элемент становится ведущим. Такая модификация метода исключения Гаусса называется методом Гаусса с выбором главного элемента. Случай появления нулевых элементов обходится при этом сам собой.

Для реализации метода требуется примерно п 3 /3 операций типа умножения и п 3 /3 операций типа сложения . Полезно помнить, что оценка числа операций определяется в основном операциями, затрачиваемыми при выполнении прямого хода метода Гаусса. Обратный ход метода Гаусса требует примерно п 2 операций. Следовательно, если требуется решить несколько систем линейных алгебраических уравнений вида Ах = b с одной и той же матрицей и различными правыми частями, то общее число операций при решении S систем будет оцениваться величиной (2/3)п 3 + Sn 2 . В этом случае целесообразно реализовать алгоритм метода Гаусса в виде двух подпрограмм: первая подпрограмма должна реализовывать прямой ход алгоритма и получать на выходе верхнюю треугольную матрицу, а вторая подпрограмма должна, используя полученную матрицу, вычислять решение системы для произвольной правой части.

2. Модификации метода Гаусса

Метод Гаусса с выбором главного элемента. Основным ограничением метода Гаусса является предположение о том, что все элементы , на которые производится деление на каждом шаге прямого хода, не равны нулю. Эти элементы называются главными элементами и располагаются на главной диагонали матрицы A.

Если на некотором шаге прямого хода главный элемент = 0, то дальнейшее решение системы невозможно. Если главный элемент имеет малое значение, близкое к нулю, то возможен сильный рост погрешности из-за резкого возрастания абсолютной величины получаемых в результате деления коэффициентов. В таких ситуациях метод Гаусса становится неустойчивым.

Исключить возникновение подобных случаев позволяет метод Гаусса с выбором главного элемента.

Идея этого метода состоит в следующем. На некотором k-м шаге прямого хода из уравнений исключается не следующая по номеру переменная x k , а такая переменная, коэффициент при которой является наибольшим по абсолютной величине. Этим гарантируется отсутствие деления на нуль и сохранение устойчивости метода.

Если на k-м шаге в качестве главного элемента выбирается ¹ , то в матрице A¢ должны быть переставлены местами строки c номерами k и p и столбцы с номерами k и q.

Перестановка строк не влияет на решение, так как соответствует перестановке местами уравнений в системе, но перестановка столбцов означает изменение нумерации переменных. Поэтому информация обо всех переставляемых столбцах должна сохраняться, чтобы после завершения обратного хода можно было бы восстановить исходную нумерацию переменных.

Существуют две более простые модификации метода Гаусса:

С выбором главного элемента по столбцу;

С выбором главного элемента по строке.

В первом случае в качестве главного элемента выбирается наибольший по абсолютной величине элемент k-й строки (среди элементов , i = ). Во втором - наибольший по абсолютной величине элемент k-го столбца (среди элементов , i = ). Наибольшее распространение получила первый подход, поскольку здесь не изменяется нумерация переменных.

Следует заметить, что указанные модификации касаются только прямого хода метода Гаусса. Обратный ход выполняется без изменений, но после получения решения может потребоваться восстановить исходную нумерацию переменных.

LU-разложение. В современном математическом обеспечении ЭВМ метод Гаусса реализуется с использованием LU-разложения, под которым понимают представление матрицы коэффициентов A в виде произведения A = LU двух матриц L и U, где L – нижняя треугольная матрица, U - верхняя треугольная матрица

Если LU-разложение получено, то решение исходной системы уравнений (2) сводится к последовательному решению двух следующих систем уравнений с треугольными матрицами коэффициентов

линейный алгебраический уравнение численный

где Y = - вектор вспомогательных переменных.

Такой подход позволяет многократно решать системы линейных уравнений с разными правыми частями B. При этом наиболее трудоемкая часть (LU-разложение матрицы A) выполняется только один раз. Эта процедура соответствует прямому ходу метода Гаусса и имеет оценку трудоемкости O(n 3). Дальнейшее решение систем уравнений (6) и (7) может выполняться многократно (для различных B), причем решение каждой из них соответствует обратному ходу метода Гаусса и имеет оценку вычислительной сложности O(n 2).

Для получения LU-разложения можно воспользоваться следующим алгоритмом.

1. Для исходной системы (1) выполнить прямой ход метода Гаусса и получить систему уравнений треугольного вида (5).

2. Определить элементы матрицы U по правилу

u ij = C ij (i = ; j = )

3. Вычислить элементы матрицы L по правилам

Расчетные формулы для решения системы (6) имеют следующий вид:

y 1 = b 1 / l 11 ;

Расчетные формулы для решения системы (7)

(i = n - 1, n - 2, …, 1).

При этом собственно нахождение обратной матрицы – процесс достаточно трудоемкий и его программирование вряд ли можно назвать элементарной задачей. Поэтому на практике чаще применяют численные методы решения систем линейных уравнений. К численным методам решения систем линейных уравнений относят такие как: метод Гаусса, метод Крамера, итеративные методы. В методе Гаусса, например, работают над...

35437 x4=0.58554 5 x1=1.3179137 x2=-1.59467 x3=0.35371 x4=0.58462 6 x1=1.3181515 x2=-1.59506 x3=0.35455 x4=0.58557 5. Сравнительный анализ различных методов численного дифференцирования и интегрирования 5.1 Методы численного дифференцирования 5.1.1 Описание метода Предположим, что в окрестности точки xiфункция F (x) дифференцируема достаточное число раз. ...

На языке Turbo Pascal 7.0 для решении систем линейных алгебраических уравнений, используя метод простой итерации. 1.2 Математическая формулировка задачи Пусть А – невырожденная матрица и нужно решить систему где диагональные элементы матрицы А ненулевые. 1.3 Обзор существующих численных методов решения задачи Метод Гаусса В методе Гаусса матрица СЛАУ с помощью равносильных...

Числа). Далее по формулам (2) последовательно находятся xn-1 , xn-2 ,…, x1 при i=n-1, n-2,...,1 соответственно. Таким образом, решение уравнений вида (1) описываем способом, называемым методом прогонки, сводится к вычислениям по трём простым формулам: нахождение так называемых прогоночных коэффициентов δi, λiпо формулам (3) при i=1,2,…,n (прямая прогонка) и затем неизвестных xi по...

Метод Гаусса прекрасно подходит для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он обладает рядом преимуществ по сравнению с другими методами:

во-первых, нет необходимости предварительно исследовать систему уравнений на совместность;
во-вторых, методом Гаусса можно решать не только СЛАУ, в которых число уравнений совпадает с количеством неизвестных переменных и основная матрица системы невырожденная, но и системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равен нулю;
в-третьих, метод Гаусса приводит к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Краткий обзор статьи.

Сначала дадим необходимые определения и введем обозначения.

Далее опишем алгоритм метода Гаусса для простейшего случая, то есть, для систем линейных алгебраических уравнений, количество уравнений в которых совпадает с количеством неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы не равен нулю. При решении таких систем уравнений наиболее отчетливо видна суть метода Гаусса, которая заключается в последовательном исключении неизвестных переменных. Поэтому метод Гаусса также называют методом последовательного исключения неизвестных. Покажем подробные решения нескольких примеров.

В заключении рассмотрим решение методом Гаусса систем линейных алгебраических уравнений, основная матрица которых либо прямоугольная, либо вырожденная. Решение таких систем имеет некоторые особенности, которые мы подробно разберем на примерах.

Навигация по странице.

Основные определения и обозначения.

Рассмотрим систему из p линейных уравнений с n неизвестными (p может быть равно n ):

Где - неизвестные переменные, - числа (действительные или комплексные), - свободные члены.

Если , то система линейных алгебраических уравнений называется однородной , в противном случае – неоднородной .

Совокупность значения неизвестных переменных , при которых все уравнения системы обращаются в тождества, называется решением СЛАУ .

Если существует хотя бы одно решение системы линейных алгебраических уравнений, то она называется совместной , в противном случае – несовместной .

Если СЛАУ имеет единственное решение, то она называется определенной . Если решений больше одного, то система называется неопределенной .

Говорят, что система записана в координатной форме , если она имеет вид
.

Эта система в матричной форме записи имеет вид , где - основная матрица СЛАУ, - матрица столбец неизвестных переменных, - матрица свободных членов.

Если к матрице А добавить в качестве (n+1)-ого столбца матрицу-столбец свободных членов, то получим так называемую расширенную матрицу системы линейных уравнений. Обычно расширенную матрицу обозначают буквой Т , а столбец свободных членов отделяют вертикальной линией от остальных столбцов, то есть,

Квадратная матрица А называется вырожденной , если ее определитель равен нулю. Если , то матрица А называется невырожденной .

Следует оговорить следующий момент.

Если с системой линейных алгебраических уравнений произвести следующие действия

поменять местами два уравнения,
умножить обе части какого-либо уравнения на произвольное и отличное от нуля действительное (или комплексное) число k ,
к обеим частям какого-либо уравнения прибавить соответствующие части другого уравнения, умноженные на произвольное число k ,

то получится эквивалентная система, которая имеет такие же решения (или также как и исходная не имеет решений).

Для расширенной матрицы системы линейных алгебраических уравнений эти действия будут означать проведение элементарных преобразований со строками:

перестановку двух строк местами,
умножение всех элементов какой-либо строки матрицы T на отличное от нуля число k ,
прибавление к элементам какой-либо строки матрицы соответствующих элементов другой строки, умноженных на произвольное число k .

Теперь можно переходить к описанию метода Гаусса.

Решение систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных и основная матрица системы невырожденная, методом Гаусса.

Как бы мы поступили в школе, если бы получили задание найти решение системы уравнений .

Некоторые сделали бы так.

Заметим, что прибавив к левой части второго уравнения левую часть первого, а к правой части - правую, можно избавиться от неизвестных переменных x 2 и x 3 и сразу найти x 1 :

Подставляем найденное значение x 1 =1 в первое и третье уравнение системы:

Если умножить обе части третьего уравнения системы на -1 и прибавить их к соответствующим частям первого уравнения, то мы избавимся от неизвестной переменной x 3 и сможем найти x 2 :

Подставляем полученное значение x 2 =2 в третье уравнение и находим оставшуюся неизвестную переменную x 3 :

Другие поступили бы иначе.

Разрешим первое уравнение системы относительно неизвестной переменной x 1 и подставим полученное выражение во второе и третье уравнение системы, чтобы исключить из них эту переменную:

Теперь разрешим второе уравнение системы относительно x 2 и подставим полученный результат в третье уравнение, чтобы исключить из него неизвестную переменную x 2 :

Из третьего уравнения системы видно, что x 3 =3 . Из второго уравнения находим , а из первого уравнения получаем .

Знакомые способы решения, не правда ли?

Самое интересное здесь то, что второй способ решения по сути и есть метод последовательного исключения неизвестных, то есть, метод Гаусса. Когда мы выражали неизвестные переменные (сначала x 1 , на следующем этапе x 2 ) и подставляли их в остальные уравнения системы, мы тем самым исключали их. Исключение мы проводили до того момента, пока в последнем уравнении не осталась одна единственная неизвестная переменная. Процесс последовательного исключения неизвестных называется прямым ходом метода Гаусса . После завершения прямого хода у нас появляется возможность вычислить неизвестную переменную, находящуюся в последнем уравнении. С ее помощью из предпоследнего уравнения находим следующую неизвестную переменную и так далее. Процесс последовательного нахождения неизвестных переменных при движении от последнего уравнения к первому называется обратным ходом метода Гаусса .

Следует заметить, что когда мы выражаем x 1 через x 2 и x 3 в первом уравнении, а затем подставляем полученное выражение во второе и третье уравнения, то к такому же результату приводят следующие действия:

Действительно, такая процедура также позволяет исключить неизвестную переменную x 1 из второго и третьего уравнений системы:

Нюансы с исключением неизвестных переменных по методу Гаусса возникают тогда, когда уравнения системы не содержат некоторых переменных.

Например, в СЛАУ в первом уравнении отсутствует неизвестная переменная x 1 (иными словами, коэффициент перед ней равен нулю). Поэтому мы не можем разрешить первое уравнение системы относительно x 1 , чтобы исключить эту неизвестную переменную из остальных уравнений. Выходом из этой ситуации является перестановка местами уравнений системы. Так как мы рассматриваем системы линейных уравнений, определители основных матриц которых отличны от нуля, то всегда существует уравнение, в котором присутствует нужная нам переменная, и мы это уравнение можем переставить на нужную нам позицию. Для нашего примера достаточно поменять местами первое и второе уравнения системы , дальше можно разрешить первое уравнение относительно x 1 и исключить ее из остальных уравнений системы (хотя во втором уравнении x 1 уже отсутствует).

Надеемся, что суть Вы уловили.

Опишем алгоритм метода Гаусса.

Пусть нам требуется решить систему из n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными переменными вида , и пусть определитель ее основной матрицы отличен от нуля.

Будем считать, что , так как мы всегда можем этого добиться перестановкой местами уравнений системы. Исключим неизвестную переменную x 1 из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого ко второму уравнению системы прибавим первое, умноженное на , к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на , и так далее, к n-ому уравнению прибавим первое, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид

где , а .

К такому же результату мы бы пришли, если бы выразили x 1 через другие неизвестные переменные в первом уравнении системы и полученное выражение подставили во все остальные уравнения. Таким образом, переменная x 1 исключена из всех уравнений, начиная со второго.

Далее действуем аналогично, но лишь с частью полученной системы, которая отмечена на рисунке

Для этого к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на , к четвертому уравнению прибавим второе, умноженное на , и так далее, к n-ому уравнению прибавим второе, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид

где , а . Таким образом, переменная x 2 исключена из всех уравнений, начиная с третьего.

Далее приступаем к исключению неизвестной x 3 , при этом действуем аналогично с отмеченной на рисунке частью системы

Так продолжаем прямой ход метода Гаусса пока система не примет вид

С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса: вычисляем x n из последнего уравнения как , с помощью полученного значения x n находим x n-1 из предпоследнего уравнения, и так далее, находим x 1 из первого уравнения.

Разберем алгоритм на примере.

Пример.

методом Гаусса.

Решение.

Коэффициент a 11 отличен от нуля, так что приступим к прямому ходу метода Гаусса, то есть, к исключению неизвестной переменной x 1 из всех уравнений системы, кроме первого. Для этого к левой и правой частям второго, третьего и четвертого уравнения прибавим левую и правую части первого уравнения, умноженные соответственно на , и :

Неизвестную переменную x 1 исключили, переходим к исключению x 2 . К левым и правым частям третьего и четвертого уравнений системы прибавляем левую и правую части второго уравнения, умноженные соответственно на и :

Для завершения прямого хода метода Гаусса нам осталось исключить неизвестную переменную x 3 из последнего уравнения системы. Прибавим к левой и правой частям четвертого уравнения соответственно левую и правую часть третьего уравнения, умноженную на :

Можно начинать обратный ход метода Гаусса.

Из последнего уравнения имеем ,
из третьего уравнения получаем ,
из второго ,
из первого .

Для проверки можно подставить полученные значения неизвестных переменных в исходную систему уравнений. Все уравнения обращаются в тождества, что говорит о том, что решение по методу Гаусса найдено верно.

Ответ:

А сейчас приведем решение этого же примера методом Гаусса в матричной форме записи.

Пример.

Найдите решение системы уравнений методом Гаусса.

Решение.

Расширенная матрица системы имеет вид . Сверху над каждым столбцом записаны неизвестные переменные, которым соответствуют элементы матрицы.

Прямой ход метода Гаусса здесь предполагает приведение расширенной матрицы системы к трапецеидальному виду с помощью элементарных преобразований. Этот процесс схож с исключением неизвестных переменных, которое мы проводили с системой в координатной форме. Сейчас Вы в этом убедитесь.

Преобразуем матрицу так, чтобы все элементы в первом столбце, начиная со второго, стали нулевыми. Для этого к элементам второй, третьей и четвертой строк прибавим соответствующие элементы первой строки умноженные на , и на соответственно:

Далее полученную матрицу преобразуем так, чтобы во втором столбце все элементы, начиная с третьего стали нулевыми. Это будет соответствовать исключению неизвестной переменной x 2 . Для этого к элементам третьей и четвертой строк прибавим соответствующие элементы первой строки матрицы, умноженные соответственно на и :

Осталось исключить неизвестную переменную x 3 из последнего уравнения системы. Для этого к элементам последней строки полученной матрицы прибавим соответствующие элементы предпоследней строки, умноженные на :

Следует отметить, что эта матрица соответствует системе линейных уравнений

которая была получена ранее после прямого хода.

Пришло время обратного хода. В матричной форме записи обратный ход метода Гаусса предполагает такое преобразование полученной матрицы, чтобы матрица, отмеченная на рисунке

стала диагональной, то есть, приняла вид

где - некоторые числа.

Эти преобразования аналогичны преобразованиям прямого хода метода Гаусса, но выполняются не от первой строки к последней, а от последней к первой.

Прибавим к элементам третьей, второй и первой строк соответствующие элементы последней строки, умноженные на , на и на соответственно:

Теперь прибавим к элементам второй и первой строк соответствующие элементы третьей строки, умноженные на и на соответственно:

На последнем шаге обратного хода метода Гаусса к элементам первой строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на :

Полученная матрица соответствует системе уравнений , откуда находим неизвестные переменные.

Ответ:

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ.

При использовании метода Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений следует избегать приближенных вычислений, так как это может привести к абсолютно неверным результатам. Рекомендуем не округлять десятичные дроби. Лучше от десятичных дробей переходить к обыкновенным дробям.

Пример.

Решите систему из трех уравнений методом Гаусса .

Решение.

Отметим, что в этом примере неизвестные переменные имеют другое обозначение (не x 1 , x 2 , x 3 , а x, y, z ). Перейдем к обыкновенным дробям:

Исключим неизвестную x из второго и третьего уравнений системы:

В полученной системе во втором уравнении отсутствует неизвестная переменная y , а в третьем уравнении y присутствует, поэтому, переставим местами второе и третье уравнения:

На этом прямой ход метода Гаусса закончен (из третьего уравнения не нужно исключать y , так как этой неизвестной переменной уже нет).

Приступаем к обратному ходу.

Из последнего уравнения находим ,
из предпоследнего

из первого уравнения имеем

Ответ:

X = 10, y = 5, z = -20 .

Решение систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных или основная матрица системы вырожденная, методом Гаусса.

Системы уравнений, основная матрица которых прямоугольная или квадратная вырожденная, могут не иметь решений, могут иметь единственное решение, а могут иметь бесконечное множество решений.

Сейчас мы разберемся, как метод Гаусса позволяет установить совместность или несовместность системы линейных уравнений, а в случае ее совместности определить все решения (или одно единственное решение).

В принципе процесс исключения неизвестных переменных в случае таких СЛАУ остается таким же. Однако следует подробно остановиться на некоторых ситуациях, которые могут возникнуть.

Переходим к самому важному этапу.

Итак, допустим, что система линейных алгебраических уравнений после завершения прямого хода метода Гаусса приняла вид и ни одно уравнение не свелось к (в этом случае мы бы сделали вывод о несовместности системы). Возникает логичный вопрос: «Что делать дальше»?

Выпишем неизвестные переменные, которые стоят на первом месте всех уравнений полученной системы:

В нашем примере это x 1 , x 4 и x 5 . В левых частях уравнений системы оставляем только те слагаемые, которые содержат выписанные неизвестные переменные x 1 , x 4 и x 5 , остальные слагаемые переносим в правую часть уравнений с противоположным знаком:

Придадим неизвестным переменным, которые находятся в правых частях уравнений, произвольные значения , где - произвольные числа:

После этого в правых частях всех уравнений нашей СЛАУ находятся числа и можно преступать к обратному ходу метода Гаусса.

Из последнего уравнений системы имеем , из предпоследнего уравнения находим , из первого уравнения получаем

Решением системы уравнений является совокупность значений неизвестных переменных

Придавая числам различные значения, мы будем получать различные решения системы уравнений. То есть, наша система уравнений имеет бесконечно много решений.

Ответ:

где - произвольные числа.

Для закрепления материала подробно разберем решения еще нескольких примеров.

Пример.

Решите однородную систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Решение.

Исключим неизвестную переменную x из второго и третьего уравнений системы. Для этого к левой и правой части второго уравнения прибавим соответственно левую и правую части первого уравнения, умноженные на , а к левой и правой части третьего уравнения - левую и правую части первого уравнения, умноженные на :

Теперь исключим y из третьего уравнения полученной системы уравнений:

Полученная СЛАУ равносильна системе .

Оставляем в левой части уравнений системы только слагаемые, содержащие неизвестные переменные x и y , а слагаемые с неизвестной переменной z переносим в правую часть:

Метод Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований исходная система приводится к равносильной ей системе ступенчатого или треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), неизвестных находятся все остальные неизвестные. Дана система (1)

Начинаем осуществлять прямой ход . Считаем, что коэффициент а 11 ≠ 0; если же это не так, меняем местами уравнения.

Первый шаг состоит в том, чтобы исключить неизвестное х 1 из всех уравнений, кроме первого. Для этого ко второму уравнению прибавим первое уравнение, умноженное на число
, к третьему уравнению прибавим первое уравнение, умноженное на число
, и так далее до последнего уравнения. После первого шага получим систему:

Полученная система равносильна исходной системе.

Вторым шагом исключают неизвестное из всех уравнений, кроме первого и второго. Для этого повторяем все действия первого шага для второго и последующих уравнений, а именно: считаем, что коэффициент
≠ 0 и так далее. Если в результате преобразований получается нулевое уравнение, то его удаляют, если же получается несовместное уравнение, то решение системы закончено – она несовместна. Процесс исключения неизвестных продолжаем до тех пор, пока это возможно. Обозначим количество уравнений, оставшихся после прямого хода, через r . Это число равно рангу основной матрицы системы и может быть меньше или равно n . Рассмотрим оба случая.

1) Если r = n

где с 11 ≠ 0, с 22 ≠ 0, …, с nn ≠ 0.

Обратным ходом , начиная с последнего уравнения, последовательно найдем значения x n , (где x n = ), x n – 1 , ..., x 1 . В этом случае система линейных уравнений имеет единственное решение, то есть является определенной.

2) Если r < n , то система после прямого хода принимает вид:

где с 11 ≠ 0, с 22 ≠ 0, …, с rr ≠ 0. Неизвестные x 1 , x 2 , …, x r , с которых начинаются уравнения, называются главными неизвестными , а остальные x r + 1 , x r + 2 , …, x n – свободными . В этом случае обратным ходом, начиная с последнего уравнения, выражают главные неизвестные через свободные неизвестные. Получают следующие равенства:

x 1 = k 1, r + 1 x r + 1 + … + k 1, n x n + t 1 ,

x 2 = k 2, r + 1 x r + 1 + … + k 2, n x n + t 2 ,

……………………………………..

x r = k r , r + 1 x r + 1 + … + k r , n x n + t r .

Определение 6.10. Общим решением системы называется выражение главных неизвестных через свободные.

Если свободным неизвестным придать какие-нибудь числовые значения, то из общего решения получим значения главных неизвестных. Таким образом, получают частное решение системы. Из способа его получения следует, что система имеет более одного решения, то есть является неопределенной.

Пример 6.3. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

Решение . Преобразования с системой линейных удобнее производить не с самими уравнениями, а с матрицей их коэффициентов. Расширенная матрица этой системы имеет вид: (А |B ) =
.

Осуществляем прямой ход. Первым шагом исключаем неизвестное х 1 из всех уравнений, кроме первого. Так как а 11 = 1 ≠ 0, то переставлять уравнения местами не нужно. Прибавим ко второму уравнению системы первое уравнение, умноженное на (–1), к третьему уравнению – первое, умноженное на (–3). Получим после преобразований следующую матрицу:
, в которой элемент а 22 = 1. Перестановка местами уравнений (первое уравнение трогать не следует) не поможет, поэтому переходим к следующему неизвестному х 3 и исключаем его из всех уравнений, кроме первого и второго. Для этого к третьему уравнению прибавим второе, умноженное на (–2) и вычеркнем получившееся нулевое уравнение. После прямого хода получаем следующую систему:
. Прямой ход завершен. В этом случае n = 4, r = 2, r < n , и, следовательно, система неопределенная. Главные неизвестные – это те неизвестные, с которых начинаются уравнения, в нашем случае это х 1 и х 3 . Неизвестные х 2 и х 4 – свободные.

Обратным ходом надо выразить главные неизвестные через свободные. Для этого в столбцах, содержащих ведущие элементы строк, следует получить нули. Здесь это элемент а 13 . Прибавим к первому уравнению, умноженному на 2, второе и выпишем получившуюся матрицу коэффициентов:
, а затем и сами уравнения:
Из этих уравнений получаем общее решение:

Найдем какое-нибудь частное решение; пусть х 2 = 3, х 4 = 1, тогда из общего решения получим значения х 1 = , и х 1 = –2. Таким образом, частное решение – вектор а = (, 3, –2, 1).

Ответ : общее решение {(
, х 2 ,
, х 4)}, где х 2 , х 4  R;

частное решение, если х 2 = 3, х 4 = 1, то (, 3, –2, 1).