Пусть у =f (х ) дифференцируемая функция, а её аргументх- независимая переменная. Тогда её первый дифференциалdy = f ′ (x )dx есть также функция отх ; можно найти дифференциал этой функции.
Дифференциал от дифференциала функции у =f (х ) называется еёвторым дифференциалом (илидифференциалом второго порядка ) и обозначаетсяd 2 y илиd 2 f (x ):
d 2 y = f′′ (x) dx2
Здесь dx 2 обозначает (dx )2 .
Аналогично определяется и находится дифференциал третьего порядка: d 3 y = d (d2 y) = d (f′′ (x) dx2) = f′′′ (x) dx3 .
Вообще, дифференциал n- го порядка есть дифференциал от дифференциала (n- 1)- го порядка:d n y = d (d n - 1 y ) =f (n ) (x ) (dx )n .
Отсюда находим, что f (n ) (x ) = d n y . В частности, приn = 1, 2, 3 соответственно получаем:dx n
f ′ (x) = | f ′′ (x) = | d 2 y | f ′′′(x ) = | d 3 y | Т.е. производную функции можно рассматривать как |
|||
отношение её дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.
Отметим, что все приведённые выше формулы справедливы только, если х – независимая переменная.
Пример. Найти d 2 y , еслиy = e 3 x их – независимая переменная.Решение : так какy ′ = 3e 3 x ,y ′′ = 9e 3 x , то имеемd 2 y = 9e 3 x dx 2 .
Правила Лопиталя
Правила Лопиталя применяются для раскрытия неопределённостей вида 0 0 и∞ ∞ , которые называются основными.
Теорема 3. (Правило Лопиталя раскрытия неопределённостей вида0 0 ).
Пусть функции f (x ) иg (x ) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точких 0 и
обращаются в нуль в этой точке: f (x 0 ) =g (x 0 ) = 0. Пустьg ′ (x )≠ 0 в окрестности точкиx 0 . Если |
|||||||||||||||||||||||||
существует предел | f ′ (x) | L , то | f (x) | f ′ (x) | |||||||||||||||||||||
g(x) | g′ (x) | ||||||||||||||||||||||||
x→ x0 | x→ x0 | x→ x0 | |||||||||||||||||||||||
Пример. Найти lim1 − cos6 x . | |||||||||||||||||||||||||
x→ 0 | 2x 2 | ||||||||||||||||||||||||
Решение: lim | 1− cos 6x | п. Л. | 6sin 6x | п. Л. | 36 cos 6x | ||||||||||||||||||||
x→ 0 | x→ 0 | x→ 0 | |||||||||||||||||||||||
Теорема 4. (Правило Лопиталя раскрытия неопределённостей вида∞ ∞ ).
Пусть функции f (x ) иg (x ) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точких 0 (кроме, |
|||||||||
может быть, точки х 0 ), в этой окрестности limf (x ) = limg (x ) = ∞ ,g ′ (x )≠ 0. Если существует |
|||||||||
f ′ (x) | f (x) | f ′ (x) | x→ x0 | x→ x0 |
|||||
предел lim | |||||||||
g′ (x) | g(x) | ||||||||
x→ x0 | x→ x0 | x→ x0 | g′ (x) |
tg 3 x
Пример. Найти lim tg 5 x
x→ π 2
lim tg 3 x = | ∞ = | Lim 3cos | |||||||||||||||||||||||||
п. Л. | п. Л. | ||||||||||||||||||||||||||
x→ | tg 5 x | x→ | x→ | ||||||||||||||||||||||||
cos2 5x | |||||||||||||||||||||||||||
lim − 10 cos 5 x sin 5 x | Lim sin10 x | lim 10cos10 x | |||||||||||||||||||||||||
5 x → | − 6 cos 3x sin 3x | x→ | sin6x | x→ | 6cos6x | ||||||||||||||||||||||
Неопределённости вида , [∞ − ∞ ], , [∞ 0 ], сводятся к двум основным путём тождественных преобразований.
Пусть f (x )→ 0, иg (x )→ 0 прих → х 0 . Тогда очевидны следующие преобразования:
lim(f (x ) g (x )) =[ 0 ∞] = lim | f (x) | f (x) | ∞ ). |
|||||||||||||||||||||||||||
x→ x | ||||||||||||||||||||||||||||||
x→ x | x→ x | |||||||||||||||||||||||||||||
g(x) | g(x) | |||||||||||||||||||||||||||||
Найти lim tg | π x | (2 − x ). | ||||||||||||||||||||||||||||
x→ 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||
2 − x | 0 =lim | −1 | ||||||||||||||||||||||||||||
limtg π x (2− x ) = [ ∞ 0] = lim | ||||||||||||||||||||||||||||||
п. Л. | ||||||||||||||||||||||||||||||
x→ 2 | x→ 2 | π x | ||||||||||||||||||||||||||||
ctg 4 | x→ 2 | |||||||||||||||||||||||||||||
2 π x | ||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть f (x )→ ∞ , иg (x )→ ∞ прих → х 0 . Тогда можно поступить так:
lim (f (x ) −g (x )) =[ ∞ − ∞] =lim | g(x) | f (x) |
|||||||||||||||||||
x→ x0 | x→ x0 | x→ x0 | |||||||||||||||||||
f (x) | g(x) | g(x) | f (x) |
Пусть f (x )→ 1, иg (x )→ ∞ , илиf (x )→ ∞ , иg (x )→ 0, илиf (x )→ 0, иg (x )→ 0 прих → х 0 .
Для нахождения предела вида lim f (x ) g (x ) вспомним свойство логарифма
x→ x0
e lnf (x ) g (x ) = f (x ) g (x ).
Пример. Найти lim x → 0 (cos2 x ) x 2 .
Дифференциал… Для одних это прекрасное далёкое, а для других – непонятное слово, связанное с математикой. Но если это ваше суровое настоящее, наша статья поможет узнать, как правильно “приготовить” дифференциал и с чем его “подавать”.
Под дифференциалом в математике понимают линейную часть приращения функции. Понятие дифференциала неразрывно связано с записью производной согласно Лейбница f′(x 0) = df/dx·x 0 . Исходя из этого, дифференциал первого порядка для функции f, заданной на множестве X, имеет такой вид: d x0 f = f′(x 0)·d x0 x. Как видите, для получения дифференциала нужно уметь свободно находить производные. Поэтому нелишним будет повторить правила вычисления производных, дабы понимать, что будет происходить в дальнейшем. Итак, рассмотрим дифференцирование поближе на примерах. Нужно найти дифференциал функции, заданной в таком виде: y = x 3 -x 4 . Сначала найдём производную от функции: y′= (x 3 -x 4)′ = (x 3)′-(x 4)′ = 3x 2 -4x 3 . Ну, а теперь получить дифференциал проще простого: df = (3x 3 -4x 3)·dx. Сейчас мы получили дифференциал в виде формулы, на практике зачастую также интересует цифровое значение дифференциала при заданных конкретных параметрах х и ∆х. Бывают случаи, когда функция выражена неявно через х. Например, y = x²-y x . Производная функции имеет такой вид: 2x-(y x)′. Но как получить (y x)′? Такая функция называется сложной и дифференцируется согласно соответствующего правила: df/dx = df/dy·dy/dx. В данном случае: df/dy = x·y x-1 , а dy/dx = y′. Теперь собираем всё воедино: y′ = 2x-(x·y x-1 ·y′). Группируем все игреки в одной стороне: (1+x·y x-1)·y′ = 2x, и в итоге получаем: y′ = 2x/(1+x·y x-1) = dy/dx. Исходя из этого, dy = 2x·dx/(1+x·y x-1). Конечно, хорошо, что такие задания встречаются нечасто. Но теперь вы готовы и к ним. Кроме рассмотренных дифференциалов первого порядка, ещё существуют дифференциалы высшего порядка. Попробуем найти дифференциал для функции d/d (x 3 )· (x 3 – 2 x 6 – x 9 ), который и будет дифференциалом второго порядка для f(x) . Исходя из формулы f′(u) = d/du·f(u), где u = f(x), примем u = x 3 . Получаем: d/d(u)·(u-2u 2 -u 3) = (u-2u 2 -u 3)′ = 1-4u-3u 2 . Возвращаем замену и получаем ответ – 1– x 3 – x 6 , x≠0. Помощником в нахождении дифференциала также может стать онлайн-сервис . Естественно, что на контрольной или экзамене им не воспользуешься. Но при самостоятельной проверке правильности решения его роль сложно переоценить. Кроме самого результата, он также показывает промежуточные решения, графики и неопределённый интеграл дифференциальной функции, а также корни дифференциального уравнения. Единственный недостаток – это запись в одну строку функции при вводе, но со временем можно привыкнуть и к этому. Ну, и естественно, такой сервис не справляется со сложными функциями, но всё, что попроще, ему по зубам. Практическое применение дифференциал находит в первую очередь в физике и экономике. Так, в физике зачастую дифференцированием решаются задачи, связанные с определением скорости и её производной – ускорения. А в экономике дифференциал является неотъемлемой частью расчёта эффективности деятельности предприятия и фискальной политики государства, например, эффекта финансового рычага.В этой статье рассмотрены типовые задачи дифференцирования. Курс высшей математики учащихся ВУЗов зачастую содержит ещё задания на использование дифференциала в приближенных вычислениях, а также поиск решений дифференциальных уравнений. Но главное – при чётком понимании азов вы с лёгкостью расправитесь со всеми новыми задачами.
Дифференциалы высших порядков.
Пусть функция у= ¦(х) определена в некотором промежутке Х (например, интервале) и имеет в каждой внутренней точке производные всех порядков. Тогда ее дифференциал dу=у 1 dх. Будем называть ее дифференциалом первого порядка.
В каждой конкретной точке дифференциал функции есть число. На промежутке он есть функция от х. Поэтому можно говорить о дифференциале от первого дифференциала.
Определение : Дифференциал от дифференциала первого порядка функции у= ¦(х) называют дифференциалом второго порядка этой функции и символически записывают d(dу)=d 2 у.
Вообще : дифференциалом n-го порядка функции у= ¦(х) называют дифференциал от дифференциала (n-1) порядка функции d n у= d(d n-1 у).
Применимы и обозначения d¦(х) , d 2 ¦(х) , d n ¦(х)
Дифференциалы порядка выше первого называются дифференциалами высших порядков.
При вычислении дифференциалов высших порядков нужно учитывать, что dх есть произвольное, но не зависящее от х число и при дифференцировании по х нужно считать постоянным множителем.
Поэтому dу=у 1 dх, d 2 у= d(dу)= d(у 1 dх)= dх d(у 1)= dх(у 11 dх)=у 11 (dх) 2 . Принято записывать степень дифференциала без скобок (dх) 2 = dх 2 .
Таким образом, d 2 у=у’’dх 2 , но это нельзя путать с d(х 2)= 2хdх
Аналогично : d 3 у= d (у 11 dх 2)= dх 2 d (у 11)= dх 2 (у 111 dх)= у 111 dх 3 ; d 3 у =у 111 dх 3 .
Здесь снова dх 3 = dх dх dх, а не d(х 3)=3х 2 dх
d n у= у n dх n
Здесь dх n = (dх) n по прежнему.
Из общей формулы дифференциала n-го порядка в частности следует формула производной n-го порядка.
У (n) = d n у/dх n , т.е. производная n-го порядка есть частное n-го дифференциала функции и n-ой степени диф. независим. перемен.
Мы видели, что форма первого дифференциала dу=у 1 dх не зависит от того, является ли х независимым переменным или х является сама функцией от некоторой переменной t.
Форма дифференциала порядка n=2 уже не сохраняется в этом случае, она не обладает инвариантностью.
В случае независимой переменной х d 2 у=у 11 dх 2 –дифференциал второго порядка. Пусть теперь х= , dу 1 =у 1 dх. Но теперь dх уже не есть произвольная постоянная, dх= dt, т.е. dх- есть функция от t и поэтому при нахождении d 2 у мы dх не можем выносить за знак дифференциала.
d 2 у= d (у 1 dх) = d (у 1)dх+ у 1 d (dх)= у 11 dх 2 + у 1 d 2 х, т.е.
d 2 у= у 11 dх 2 + у 1 d 2 х – форма дифференциала изменилась, добавилось слагаемое у 1 d 2 х. Тем более не сохраняется форма d n у. Значит, в случае, когда х не есть независимая переменная обозначение у (п) = d п у/ dх п следует понимать, как единый символ, а не как отношение дифференциалов.
24.1. Понятие дифференциала функции
Пусть функция у=ƒ(х) имеет в точке х отличную от нуля производную.
Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать D у/D х=ƒ"(х)+α, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=ƒ"(х) ∆х+α ∆х.
Таким образом, приращение функции ∆у представляет собой сумму двух слагаемых ƒ"(х) ∆х и а ∆х, являющихся бесконечно малыми при ∆x→0. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с ∆х, так кака второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем ∆х:
Поэтому первое слагаемое ƒ"(х)· ∆х называют главной частью приращения функции ∆у.
Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):
dy=ƒ"(х) ∆х. (24.1)
Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.
Так как у"=х"=1, то, согласно формуле (24.1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.
Поэтому формулу (24.1) можно записать так:
dy=ƒ"(х)dх, (24.2)
иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.
Из формулы (24.2) следует равенство dy/dx=ƒ"(х). Теперь обозначение
производной dy/dx можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dх.
<< Пример 24.1
Найти дифференциал функции ƒ(х)=3x 2 -sin(l+2x).
Решение: По формуле dy=ƒ"(х) dx находим
dy=(3х 2 -sin(l+2x))"dx=(6х-2cos(l+2х))dx.
<< Пример 24.2
Найти дифференциал функции
Вычислить dy при х=0, dx=0,1.
Решение:
Подставив х=0 и dx=0.1, получим
24.2. Геометрический смысл дифференциала функции
Выясним геометрический смысл дифференциала.
Для этого проведем к графику функции у=ƒ(х) в точке М(х; у) касательную МТ и рассмотрим ординату этой касательной для точки х+∆х (см. рис. 138). На рисунке ½ АМ½ =∆х, |AM 1 |=∆у. Из прямоугольного треугольника МАВ имеем:
Но, согласно геометрическому смыслу производной, tga=ƒ"(х). Поэтому АВ=ƒ"(х) ∆х.
Сравнивая полученный результат с формулой (24.1), получаем dy=АВ, т. е. дифференциал функции у=ƒ(х) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение ∆х.
В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.
24.3 Основные теоремы о дифференциалах
Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя связь дифференциала и производной функции (dy=f"(x)dx) и соответствующие теоремы о производных.
Например, так как производная функции у=с равна нулю, то дифференциал постоянной величины равен нулю: dy=с"dx=0 dx=0.
Теорема 24.1. Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующими формулами:
Докажем, например, вторую формулу. По определению дифференциала имеем:
d(uv)=(uv)" dx=(uv" +vu" )dx=vu" dx+uv" dx=udv+vdu
Теорема 24.2. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.
Пусть у=ƒ(u) и u=φ(х) две дифференцируемые функции, образующие сложную функцию у=ƒ(φ(х)). По теореме о производной сложной функции можно написать
у" х =у" u u" x .
Умножив обе части этого равенства на dx, поучаем у" х dx=у" u u" х dx. Но у" х dx=dy и u" х dx=du. Следовательно, последнее равенство можно переписать так:
dy=у" u du.
Сравнивая формулы dy=у" х dx и dy=у" u du, видим, что первый дифференциал функции у=ƒ(х) определяется одной и той же формулой независимо от того, является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента.
Это свойство дифференциала называют инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.
Формула dy=у" х dx по внешнему виду совпадает с формулой dy=у" u du, но между ними есть принципиальное отличие: в первой формуле х - независимая переменная, следовательно, dx=∆х, во второй формуле и есть функция от х, поэтому, вообще говоря, du≠∆u.
С помощью определения дифференциала и основных теорем о дифференциалах легко преобразовать таблицу производных в таблицу дифференциалов.
Например: d(cosu)=(cosu)" u du=-sinudu
24.4. Таблица дифференциалов
24.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
Как уже известно, приращение ∆у функции у=ƒ(х) в точке х можно представить в виде ∆у=ƒ"(х) ∆х+α ∆х, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=dy+α ∆х. Отбрасывая бесконечно малую α ∆х более высокого порядка, чем ∆х, получаем приближенное равенство
∆у≈dy, (24.3)
причем это равенство тем точнее, чем меньше ∆х.
Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.
Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (24.3) широко применяется в вычислительной практике.
<< Пример 24.3
Найти приближенное значение приращения функции у=х 3 -2х+1 при х=2 и ∆х=0,001.
Решение: Применяем формулу (24.3): ∆у≈dy=(х 3 -2х+1)" ∆х=(3х 2 -2) ∆х.
Итак, ∆у» 0,01.
Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифференциал функции вместо ее приращения. Для этого найдем ∆у:
∆у=((х+∆х) 3 -2(х+∆х)+1)-(х 3 -2х+1)=х 3 +3х 2 ∆х+3х (∆х) 2 +(∆х) 3 -2х-2 ∆х+1-х 3 +2х-1=∆х(3х 2 +3х ∆х+(∆х) 2 -2);
Абсолютная погрешность приближения равна
|∆у-dy|=|0,010006-0,011=0,000006.
Подставляя в равенство (24.3) значения ∆у и dy, получим
ƒ(х+∆х)-ƒ(х)≈ƒ"(х)∆х
ƒ(х+∆х)≈ƒ(х)+ƒ"(х) ∆х. (24.4)
Формула (24.4) используется для вычислений приближенных значений функций.
<< Пример 24.4
Вычислить приближенно arctg(1,05).
Решение: Рассмотрим функцию ƒ(х)=arctgx. По формуле (24.4) имеем:
arctg(x+∆х)≈arctgx+(arctgx)" ∆х,
т. е.
Так как х+∆х=1,05, то при х=1 и ∆х=0,05 получаем:
Можно показать, что абсолютная погрешность формулы (24.4) не превышает величины М (∆х) 2 , где М - наибольшее значение |ƒ"(х)| на сегменте [х;х+∆х].
<< Пример 24.5
Какой путь пройдет тело при свободном падении на Луне за 10,04 с от начала падения. Уравнение свободного падения тела
H=g л t 2 /2, g л =1,6 м/с 2 .
Решение: Требуется найти H(10,04). Воспользуемся приближенной формулой (ΔH≈dH)
H(t+∆t)≈H(t)+H"(t) ∆t. При t=10 с и ∆t=dt=0,04 с, H"(t)=g л t, находим
Задача (для самостоятельного решения). Тело массой m=20 кг движется со скоростью ν=10,02 м/с. Вычислить приближенно кинетическую энергию тела
24.6. Дифференциалы высших порядков
Пусть у=ƒ(х) дифференцируемая функция, а ее аргумент х - независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy=ƒ"(х)dx есть также функция х; можно найти дифференциал этой функции.
Дифференциал от дифференциала функции у=ƒ(х) называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается d 2 y или d 2 ƒ(х).
Итак, по определению d 2 y=d(dy). Найдем выражение второго дифференциала функции у=ƒ(х).
Так как dx=∆х не зависит от х, то при дифференцировании считаем dx постоянным:
d 2 y=d(dy)=d(f"(x)dx)=(ƒ"(х)dx)" dx=f"(x)dx dx=f"(x)(dx) 2 т. е.
d 2 y=ƒ"(х)dх 2 . (24.5)
Здесь dx 2 обозначает (dx) 2 .
Аналогично определяется и находится дифференциал третьего порядка
d 3 y=d(d 2 y)=d(ƒ"(х)dx 2)≈f"(x)(dx) 3 .
И, вообще, дифференциал n-го порядка есть дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка: d n y=d(d n-l y)=f (n) (x)(dx) n .
Отсюда находим, что, В частности, при n=1,2,3
соответственно получаем:
т. е. производную функции можно рассматривать как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.
Отметим, что все приведенные выше формулы справедливы только, если х - независимая переменная. Если же функцию у=ƒ(х), где х - функция от кαкой-mo другой независимой переменной , то дифференциалы второго и выше порядков не обладают свойством инвариантности формы и вычисляются по другим формулам. Покажем это на примере дифференциала второго порядка.
Используя формулу дифференциала произведения (d(uv)=vdu+udv), получаем:
d 2 y=d(f"(x)dx)=d(ƒ"(х))dx+ƒ"(х) d(dx)=ƒ"(х)dx dx+ƒ"(х) d 2 x, т. е.
d 2 y=ƒ"(х)dx 2 +ƒ"(х) d 2 x. (24.6)
Сравнивая формулы (24.5) и (24.6), убеждаемся, что в случае сложной функции формула дифференциала второго порядка изменяется: появляется второе слагаемое ƒ"(х) d 2 х.
Ясно, что если х - независимая переменная, то
d 2 x=d(dx)=d(l dx)=dx d(l)=dx 0=0
и формула (24.6) переходит в формулу (24.5).
<< Пример 24.6
Найти d 2 y, если у=е 3х и х - независимая переменная.
Решение: Так как у"=3е 3х, у"=9e 3х, то по формуле (24.5) имеем d 2 y=9e 3x dx 2 .
<< Пример 24.7
Найти d 2 y, если у=х 2 и х=t 3 +1и t- независимая переменная.
Решение: Используем формулу (24.6): так как
у"=2х, у"=2, dx=3t 2 dt, d 2 x=6tdt 2 ,
то d 2 y=2dx 2 +2x 6tdt 2 =2(3t 2 dt) 2 +2(t 3 +1)6tdt 2 =18t 4 dt 2 +12t 4 dt 2 +12tdt 2 =(30t 4 +12t)dt 2
Другое решение: у=х 2 , х=t 3 +1. Следовательно, у=(t 3 +1) 2 . Тогда по формуле (24.5)
d 2 у=у ¢¢ dt 2 ,
d 2 y=(30t 4 +12t)dt 2 .