С помощью матричного онлайн калькулятора вы можете сложить , вычитать , умножить , транспонировать матрицы, вычислить обратную матрицу, псевдообратную матрицу, ранг матрицы, определитель матрицы, m-норму и l-норму матрицы, возвести матрицу в степень , умножить матрицу на число , сделать скелетное разложение матрицы, удалить из матрицы линейно зависимые строки или линейно зависимые столбцы , проводить исключение Гаусса , решить матричное уравнение AX=B , сделать LU разложение матрицы , вычислить ядро (нуль пространство) матрицы , сделать ортогонализацию Грамма-Шмидта и ортонормализацию Грамма-Шмидта .
Матричный онлайн калькулятор работает не только с десятичными числами, но и с дробями. Для ввода дроби нужно в исходные матрицы и вводить числа в виде a или a /b , где a и b целые или десятичные числа (b положительное число). Например 12/67, -67.78/7.54, 327.6, -565.
Кнопка в верхем левом углу матрицы открывает меню (Рис.1) для преобразования исходной матрицы (создание единичной матрицы , нулевой матрицы или очищать содержимое ячеек ).
При вычислениях пустая ячейка воспринимается как нуль.
Для операций с одной матрицей (т.е. транспонирование, обратное, псевдообратное, скелетное разложение и т.д.) сначала выбирается конкретная матрица с помощью радиокнопки .
Кнопки Fn1, Fn2 и Fn3 переключают разные группы функциий.
Нажимая на вычисленных матрицах открывается меню (Рис.2), что позволяет записать данную матрицу в исходные матрицы и , а также преобразовать на месте элементы матрицы в обыкновенную дробь, смешанную дробь или в десятичное число.
Вычисление суммы, разности, произведения матриц онлайн
сумму , разность или произведение матриц . Для вычисления суммы или разности матриц, необходимо, чтобы они были одинаковой размерности, а для вычисления произведения матриц, количество столбцов первой матрицы должен быть равным количеству строк второй матрицы.
Для вычисления суммы, разности или произведения матриц:
Вычисление обратной матрицы онлайн
Матричным онлайн калькулятором можно вычислить обратную матрицу . Для того, чтобы существовала обратная матрица, исходная матрица должна быть невырожденной квадратной матрицей.
Для вычисления обратной матрицы:
Для подробного вычисления обратной матрицы по шагам, пользуйтесь этим калькулятором для вычисления обратной матрицы . Теорию вычисления обратной матрицы смотрите .
Вычисление определителя матрицы онлайн
Матричным онлайн калькулятором можно вычислить определитель матрицы . Для того, чтобы существовал определитель матрицы, исходная матрица должна быть невырожденной квадратной матрицей.
Для вычисления определителя матрицы:
Для подробного вычисления определителя матрицы по шагам, пользуйтесь этим калькулятором для вычисления определителя матрицы . Теорию вычисления определителя матрицы смотрите .
Вычисление ранга матрицы онлайн
Матричным онлайн калькулятором можно вычислить ранг матрицы .
Для вычисления ранга матрицы:
Для подробного вычисления ранга матрицы по шагам, пользуйтесь этим калькулятором для вычисления ранга матрицы . Теорию вычисления ранга матрицы смотрите .
Вычисление псевдообратной матрицы онлайн
Матричным онлайн калькулятором можно вычислить псевдообратную матрицу . Псевдообратная к данной матрице всегда существует.
Для вычисления псевдообратной матрицы:
Удаление линейно зависимых строк или столбцов матрицы онлайн
Матричным онлайн калькулятор позволяет удалить из матрицы линейно зависимые строки или столбцы, т.е. создать матрицу полного ранга.
Для удаления линейно зависимых строк или столбцов матрицы:
Скелетное разложение матрицы онлайн
Для проведения скелетного разложения матрицы онлайн
Решение матричного уравнения или системы линейных уравнений AX=B онлайн
Матричным онлайн калькулятором можно решить матричное уравнение AX=B по отношению матрицы X. В частном случае, если матрица B является вектор-столбцом, то X , будет решением системы линейных уравнений AX=B.
Для решения матричного уравнения:
Учтите, что матрицы и должны иметь равное количество строк.
Исключение Гаусса или приведение матрицы к треугольному (ступенчатому) виду онлайн
Матричный онлайн калькулятор проводит исключение Гаусса как для квадратных матриц, так и прямоугольных матриц любого ранга. Сначала проводится обычный метод Гаусса. Если на каком то этапе ведущий элемент равен нулю, то выбирается другой вариант исключения Гаусса с выбором наибольшего ведущего элемента в столбце.
Для исключения Гаусса или приведения матрицы к треугольному виду
LU-разложение или LUP-разложение матрицы онлайн
Данный матричный калькулятор позволяет проводить LU-разложение матрицы (A=LU) или LUP-разложение матрицы (PA=LU) , где L нижняя треугольная матрица, U-верхняя треугольная (трапециевидная) матрица, P- матрица перестановок. Сначала программа проводит LU разложение, т.е. такое разложение, при котором P=E, где E-единичная матрица (т.е. PA=EA=A). Если это невозможно, то проводится LUP-разложение. Матрица A может быть как квадратной, так и прямоугольной матрицей любого ранга.
Для LU(LUP)-разложения:
Построение ядра (нуль-пространства) матрицы онлайн
С помощью матричного калькулятора можно построить нуль-пространство (ядро) матрицы.
Для построения нуль-пространства (ядра) матрицы.
Постановка задачи
Пусть А = (аij) – квадратная матрица n-го порядка и f(l) – функция скалярного аргумента. Требуется определить, что следует понимать под f(A), т. е. требуется распространить функцию f(l) на матричные значения аргумента.
Эта
задача очень просто решается, если – многочлен, тогда, очевидно, можно
положить 
.
Например, если 
и
, то . Как же решить эту задачу
в общем случае? Например, что такое или ?
Определение функций от матриц через многочлены
Определение 1:
Скалярный многочлен называется
аннулирующим многочленом
квадратной матрицы А, если . Например, 
– аннулирующий
многочлен матрицы .
Действительно, ,
.
Если – аннулирующий многочлен матрицы А,
то 
есть
аннулирующий многочлен матрицы А при любом многочлене . Действительно, .
Определение 2: Аннулирующий многочлен наименьшей степени с единичным старшим коэффициентом называется минимальным многочленом матрицы А.
Определение 3:
Характеристическим многочленом (определителем)
квадратной матрицы
А называется 
.
Характеристическим (вековым) уравнением
матрицы А
называется уравнение .
Корни характеристического уравнения называются характеристическими (собственными)
числами
матрицы А. Их совокупность называется спектром матрицы
.
Теорема 1. (Гамильтона-Кэли). Всякая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению, т. е. .
Отсюда следует, что всякая квадратная матрица имеет аннулирующие многочлены (в частности, таковым является характеристический многочлен).
Теорема 2. Произвольный аннулирующий многочлен матрицы делится без остатка на ее минимальный многочлен.
Теорема 3. Минимальный многочлен существует и единственен для любой квадратной матрицы.
Теорема 4 . Корнями минимального многочлена служат все характеристические числа матрицы А.
Таким образом, если , где при и 
, то минимальным многочленом является , где .
Теорема 5. Пусть – наибольший общий делитель всех миноров порядка n-1 характеристической матрицы , тогда минимальный многочлен .
Пример 1. Найти минимальный многочлен матрицы .
Решение . Характеристическая матрица:;
; миноры порядка n-1=2-1=1: , , , , их наибольший общий делитель . Отсюда .
Пример 2.
Найти минимальный многочлен матрицы 
.
Первый способ.
; ;
миноры порядка n-1=3-1=2: ,
, 
,
, ,
, 
,
, .
Их наибольший общий делитель: . Поэтому
Второй способ. . По теореме 4 минимальным многочленом может быть один из многочленов или . Следует проверить, какие из этих двух многочленов являются аннулирующими (второй тривиально является), и выбрать из них многочлен минимальной степени. Таким образом, следует проверить, является ли аннулирующим:
Ттаким образом, , как и в первом способе решения.
минимальный многочлен матрицы А. Степень этого многочлена есть m=m1+…+mk. Пусть и – такие многочлены, что
.
(П.16)
Тогда
разность 
есть
аннулирующий многочлен матрицы А, поэтому делится на без остатка, т. е.
= (mod ). (П.17)
Отсюда и из (П.15) следует . Следовательно,
, 
, , . (П.18)
Пусть – некоторая функция, а –минимальный многочлен матрицы А. Совокупность из m чисел
, , …, , (П.19)
называется значениями функции на спектре матрицы А и обозначается . Если все значения (П.19) существуют, то говорят, что функция определена на спектре матрицы А.
Пример 3.
Если , то
для определенности на
спектре должны существовать , и . Например, фкнкция не определена, а функции 
и определены на спетре матрицы.
Равенства
(П.18) означают, что многочлены и имеют одни и те же значения на спектре
матрицы А, что будем записывать в виде 
. И наоборот, из (П.18) следует (П.17) и
(П.16).
Таким образом, если задана матрица А, то значения многочлена на ее спектре полностью определяют значение , т. е. все многочлены , принимающие одни и те же значения на спектре матрицы А, имеют одно и то же значение . Поэтому естественно потребовать, чтобы определение подчинялось этому принципу: значения на спектре матрицы А должны полностью определять значения , т. е. все функции , совпадающие на спектре матрицы А, должны иметь одно и то же значение . Если исходить из этого принципа, то в общем случае достаточно для определения найти любой многочлен , совпадающий с на спектре матрицы А, и положить=. Таким образом, приходим к следующему определению.
Определение
4
. Если функция определена
на спектре матрицы А и – любой многочлен, совпадающий с на спектре матрицы А
(т. е. 
),
то, по определению,
Такой многочлен можно получить, используя различные методы интерполяции или метод неопределенных коэффициентов. Среди таких многочленов существует единственный, имеющий степень, меньшую m. Таким образом, выражается через Е, А, А2, …,Аm-1 с некоторыми скалярными коэффициентами:
Если использовать метод неопределенных коэффициентов, то, полагая , получим для нахождения коэффициентов а0,…,аm-1 систему из m линейных уравнений:
, , 
. (П.22)
Пример 4. Возьмем матрицу из примера 1: , ее минимальный многочлен есть . Следовательно, для определения достаточно найти любой многочлен такой, что = и =.
а)
Пусть . Тогда
можно взять .
Отсюда 
. И
вообще, если –
многочлен, то решение тривиально.
б)
Пусть 
, т.
е. будем искать =А-1
– обратную матрицу. Функция определена на спектре матрицы А,
поэтому для определения достаточно найти любой многочлен такой, что ==1/2 и ==1/7. Возьмем , тогда , , , 
. Следовательно,
Проверка: 
.
Вместо
многочлена можно
найти другой подходящий многочлен. Возьмем, например, 
, тогда для нахождения его
коэффициентоф имеем систему уравнений 
, решение которой есть . Отсюда и
результат тот же.
в) Вычислить .
г) Вычислить eА и 2А.
д) Вычислить Аn.
е) Выразить в общем случае через и . Ответ для этого варианта: .
Определение функций от матриц через компоненты матрицы
Недостатком определения , сделанного в предыдущем параграфе, является необходимость сложного вычисления коэффициентов в (П.21) для каждой функции , что очень неудобно, если нужно вычислить для множества различных функций . Получим другое определение , свободное от этого недостатка.
Из линейности уравнений системы (П.22) следует, что коэффициенты а0,а1,…,аm-1 в (П.21) линейно зависят от значений , т. е.
Группируя (П.23) относительно , получим другую формулу:
где m матриц определяются заданием матрицы А и не зависят от выбора функции .
Определение 4 . Матрицы из (П.24) называются составляющими матрицами матрицы А или ее компонентами . Формула (П.24) считается основной формулой для определения .
Теорема 6 . Компоненты матрицы линейно независимы между собой и перестановочны между собой и с матрицей А.
Для нахождения компонент матрица А можно выполнить группировку (П.23)®(П.24) или же использовать (П.24) для нескольких функций .
Пример 5 . Рассмотрим снова матрицу А из примеров 1 и 4 и выразим через компоненты матрицы А.
Первый способ. Представим в виде (П.24), т. е.
Используя решение примера 4е, имеем
Таким образом, для любой функции , определенной при l=2 и l=7, имеем
.
Проверьте полученный результат для функций , , .
Вычислите , Аn, (А-Е)n.
Второй способ
.
Положим в (1.11) , тогда 
, 
и 
, отсюда . Аналогично, при имеем 
, 
, . Таким образом, имеем систему уравнений 
, откуда ,
что совпадает с решением первым способом.
Пример 6 . Выразить через компоненты матрицы
Представление функций от матриц рядами
В теории степенных рядов рассматривается представление скалярных функций в виде
. (П.26)
Все члены ряда в правой части (П.26) будут определены, если скалярный аргумент заменить на матричный. Поэтому представляется естественным определить функцию от матрицы с помощью степенного ряда, т. е. положить
. (П.27)
Однако при этом возникают вопросы сходимости ряда в (П.27) к , т. е. частичные суммы должны иметь своим пределом :
.
Теорема 7. Если функция разлагается в степенной ряд (П.26) в круге на комплексной плоскости, то это разложение выполняется (имеет место (П.27)) и для любой матрицы А, все характеристические числа которой лежат внутри этого круга сходимости, т. е. если , .
Из этой теоремы и известных разложений следуют формулы:
, 
, 
,
(,),
Интегральное представление функций от матриц
В теории функций комплексного переменного известна интегральная формула Коши
,
где – аналитическая функция внутри контура Г; z – комплексный аргумент; l – точка внутри контура Г.
Оказывается, что эту формулу можно распространить и на матричные аргументы:
(П.28)
при условии, что характеристические числа матрицы А находятся внутри Г.
Некоторые свойства функций от матриц
1. Все приведенные выше определения функций от матриц эквивалентны в том смысле, что они определяют одно и то же значение .
2. Для диагональных матриц имеем 
., что можно записать в матричном виде как. Если и, учитывая, что
Из (П.31) – (П.38) следует:
Таким образом, различные функции и операции от матриц вида H(a,b) легко вычисляются, что делает их удобными для различных применений.
Назначение сервиса . Матричный калькулятор предназначен для решения матричных выражений, например, таких как, 3A-CB 2 или A -1 +B T .Инструкция . Для онлайн решения необходимо задать матричное выражение. На втором этапе необходимо будет уточнить размерность матриц.
Допустимые операции: умножение (*), сложение (+), вычитание (-), обратная матрица A^(-1) , возведение в степень (A^2 , B^3), транспонирование матрицы (A^T).Допустимые операции: умножение (*), сложение (+), вычитание (-), обратная матрица A^(-1) , возведение в степень (A^2 , B^3), транспонирование матрицы (A^T).
Для выполнения списка операций используйте разделитель точка с запятой (;). Например, для выполнения трех операций:
а) 3А+4В
б) АВ-ВА
в) (А-В) -1
необходимо будет записать так: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)
Матрица - прямоугольная числовая таблица, имеющая m строк и n столбцов, поэтому схематически матрицу можно изображать в виде прямоугольника.
Нулевой матрицей (нуль-матрицей)
называют матрицу, все элементы которой равны нулю и обозначают 0.
Единичной матрицей
называется квадратная матрица вида
Две матрицы A и B равны , если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны.
Вырожденной матрицей называется матрица, определитель которой равен нулю (Δ = 0).
Определим основные операции над матрицами .
Сложение матриц
Определение . Суммой двух матриц и одинакового размера называется матрица тех же размеров, элементы которой находятся по формуле
. Обозначается C = A+B.
Пример 6
. .
Операция сложения матриц распространяется на случай любого числа слагаемых. Очевидно, что A+0=A .
Еще раз подчеркнем, что складывать можно только матрицы одинакового размера; для матриц разных размеров операция сложения не определена.
Вычитание матриц
Определение . Разностью B-A матриц B и A одинакового размера называется такая матрица C, что A+ C = B.Умножение матриц
Определение . Произведением матрицы на число α называется матрица , получающаяся из A умножением всех ее элементов на α, .Определение . Пусть даны две матрицы
и , причем число столбцов A равно числу строк B. Произведением A на B называется матрица , элементы которой находятся по формуле 
.
Обозначается C = A·B.
Схематически операцию умножения матриц можно изобразить так:
а правило вычисления элемента в произведении:
Подчеркнем еще раз, что произведение A·B имеет смысл тогда и только тогда, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго, при этом в произведении получается матрица, число строк которой равно числу строк первого сомножителя, а число столбцов равно числу столбцов второго. Проверить результат умножения можно через специальный онлайн-калькулятор .
Пример 7
. Даны матрицы 
и 
. Найти матрицы C = A·B и D = B·A.
Решение.
Прежде всего заметим, что произведение A·B существует, так как число столбцов A равно числу строк B.
Заметим, что в общем случае A·B≠B·A , т.е. произведение матриц антикоммутативно.
Найдем B·A (умножение возможно).
Пример 8
. Дана матрица 
. Найти 3A 2 – 2A.
Решение.
.
; 
.
.
Отметим следующий любопытный факт.
Как известно, произведение двух отличных от нуля чисел не равно нулю. Для матриц подобное обстоятельство может и не иметь места, то есть произведение ненулевых матриц может оказаться равным нуль-матрице.