Пусть даны две прямые и требуется найти их точку пересечения. Так как эта точка принадлежит каждой из двух данных прямых, то ее координаты должны удовлетворять как уравнению первой прямой, так и уравнению второй прямой.
Таким образом, для того чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых, следует решить систему уравнений
Пример 1. Найти точку пересечения прямых и
Решение. Координаты искомой точки пересечения мы найдем, решив систему уравнений
Точка пересечения М имеет координаты
Покажем, как построить прямую по ее уравнению. Для построения прямой достаточно знать две ее точки. Чтобы построить каждую из этих точек, мы задаемся произвольным значением одной из ее координат, а затем из уравнения находим соответствующее значение другой координаты.
Если в общем уравнении прямой оба коэффициента при текущих координатах не равны нулю , то для построения этой прямой лучше всего находить точки ее пересечения с осями координат.
Пример 2. Построить прямую .
Решение. Находим точку пересечения данной прямой с осью абсцисс. Для этого решаем совместно их уравнения:
и получаем . Таким образом, найдена точка М (3; 0) пересечения данной прямой с осью абсцисс (рис. 40).
Решая затем совместно уравнение данной прямой и уравнение оси ординат
мы находим точку пересечения прямой с осью ординат. Наконец, строим прямую по ее двум точкам М и
Если две прямые не параллельны, то они неукоснительно пересекутся в одной точке. Обнаружить координаты точки пересечения 2-х прямых дозволено как графическим, так и арифметическим методом, в зависимости от того, какие данные предоставляет задача.
Вам понадобится
- – две прямые на чертеже;
- – уравнения 2-х прямых.
Инструкция
1. Если прямые теснее начерчены на графике, обнаружьте решение графическим методом. Для этого продолжите обе либо одну из прямых так, дабы они пересеклись. После этого подметьте точку пересечения и опустите из нее перпендикуляр на ось абсцисс (как водится, ох).
2. При помощи шкалы делений, подмеченных на оси, обнаружьте значение х для этой точки. Если она находится на позитивном направлении оси (справа от нулевой отметки), то ее значение будет правильным, в отвратном случае – негативным.
3. Верно также обнаружьте ординату точки пересечения. Если проекция точки расположена выше нулевой отметки – она правильная, если ниже – негативная. Запишите координаты точки в виде (х, у) – это и есть решение задачи.
4. Если прямые заданы в виде формул у=kх+b, вы можете также решить задачу графическим методом: начертите прямые на координатной сетке и обнаружьте решение описанным выше методом.
5. Испробуйте обнаружить решение задачи, применяя данные формулы. Для этого составьте из этих уравнений систему и решите ее. Если уравнения даны в виде у=kх+b, примитивно приравняйте обе части с х и обнаружьте х. После этого подставьте значение х в одно из уравнений и обнаружьте у.
6. Дозволено обнаружить решение методом Крамера. В таком случае приведите уравнения к виду А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2=0. Согласно формуле Крамера х=-(С1В2-С2В1)/(А1В2-А2В1), а у=-(А1C2-А2С1)/(А1В2-А2В1). Обратите внимание, если знаменатель равен нулю, то прямые параллельны либо совпадают и, соответственно, не пересекаются.
7. Если вам даны прямые в пространстве в каноническом виде, перед тем, как начать поиск решения, проверьте, не параллельны ли прямые. Для этого оцените показатели перед t, если они пропорциональны, скажем, x=-1+3t, y=7+2t, z=2+t и x=-1+6t, y=-1+4t, z=-5+2t, то прямые параллельны. Помимо того, прямые могут скрещиваться, в этом случае система не будет иметь решения.
8. Если вы узнали, что прямые пересекаются, обнаружьте точку их пересечения. Вначале приравняйте переменные из различных прямых, условно заменив t на u для первой прямой и на v для 2-й прямой. Скажем, если вам даны прямые x=t-1, y=2t+1, z=t+2 и x=t+1, y=t+1, z=2t+8 вы получите выражения типа u-1=v+1, 2u+1=v+1, u+2=2v+8.
9. Выразите из одного уравнения u, подставьте в другое и обнаружьте v (в данной задаче u=-2,v=-4). Сейчас, дабы обнаружить точку пересечения, подставьте полученные значения взамен t (без разницы, в первое либо второе уравнение) и получите координаты точки x=-3, y=-3, z=0.
Для рассмотрения 2-х пересекающихся прямых довольно рассмотрения их в плоскости, так как две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости. Зная уравнения этих прямых , дозволено обнаружить координату их точки пересечения .
Вам понадобится
- уравнения прямых
Инструкция
1. В декартовых координатах всеобщее уравнение прямой выглидит так: Ax+By+C = 0. Пускай две прямые пересекаются. Уравнение первой прямой имеет вид Ax+By+C = 0, 2-й прямой – Dx+Ey+F = 0. Все показатели (A, B, C, D, E, F) обязаны быть заданы.Дабы обнаружить точку пересечения этих прямых надобно решить систему этих 2-х линейных уравнений.
2. Для решения первое уравнение комфортно умножить на E, а второе – на B. В итоге уравнения будут иметь вид: AEx+BEy+CE = 0, DBx+EBy+FB = 0. Позже вычитания второго уравнения из первого, получится: (AE-DB)x = FB-CE. Отсель, x = (FB-CE)/(AE-DB).По аналогии первое уравнение начальной системы дозволено умножить на D, второе – на A, после этого вновь из первого вычесть второго. В итоге, y = (CD-FA)/(AE-DB).Полученные значения x и y и будут координатами точки пересечения прямых .
3. Уравнения прямых также могут записываться через угловой показатель k, равный тангенсу угла наклона прямой. В этом случае уравнение прямой имеет вид y = kx+b. Пускай сейчас уравнение первой прямой – y = k1*x+b1, а 2-й прямой – y = k2*x+b2.
4. Если приравнять правые части этих 2-х уравнений, то получится: k1*x+b1 = k2*x+b2. Отсель легко получить, что x = (b1-b2)/(k2-k1). Позже подстановки этого значения x в всякое из уравнений, получится: y = (k2*b1-k1*b2)/(k2-k1). Значения x и y будут задавать координаты точки пересечения прямых .В случае, если две прямые параллельны либо сопадают, то они не имеют всеобщих точек либо имеют безмерно много всеобщих точек соответственно. В этих случаях k1 = k2, знаменатели для координат точек пересечения будут обращаться в нуль, следственно, система не будет иметь классического решения.Система может иметь только одно классическое решение, что безусловно, потому что две несовпадающие и не параллельные друг другу прямые могут иметь только одну точку пересечения .
Видео по теме
Если прямые пересекаются в точке , то её координаты являются решениемсистемы линейных уравнений
Как найти точку пересечения прямых? Решить систему.
Вот вам и геометрический смысл системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными – это две пересекающиеся (чаще всего) прямые на плоскости.
Задачу удобно разбить на несколько этапов. Анализ условия подсказывает, что необходимо:
1) Составить уравнение одной прямой.
2) Составить уравнение второй прямой.
3) Выяснить взаимное расположение прямых.
4) Если прямые пересекаются, то найти точку пересечения.
Пример 13.
Найти точку пересечения прямых
Решение
: Точку пересечения целесообразно искать аналитическим методом. Решим систему:
Ответ :
П.6.4. Расстояние от точки до прямой
Перед нами прямая полоса реки и наша задача состоит в том, чтобы дойти до неё кратчайшим путём. Препятствий нет, и самым оптимальным маршрутом будет движение по перпендикуляру. То есть, расстояние от точки до прямой – это длина перпендикулярного отрезка.
Расстояние в геометрии традиционно обозначают греческой буквой «ро», например: – расстояние от точки «эм» до прямой «дэ».
Расстояние от точкидо прямой
выражается формулой
Пример 14.
Найти расстояние от точки до прямой 
Решение
: всё что нужно - аккуратно подставить числа в формулу и провести вычисления:
Ответ
: 
П.6.5. Угол между прямыми.
Пример 15.
Найти угол между прямыми .
1. Проверяем перпендикулярны ли прямые:
Вычислим скалярное произведение направляющих векторов прямых:
, значит, прямые не перпендикулярны.
2. Угол между прямыми найдём с помощью формулы:
Таким образом:
Ответ
:
Кривые второго порядка. Окружность
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат 0ху.
Кривой второго порядка называется линия на плоскости, определяемая уравнением второй степени относительно текущих координат точки М(х, у, z). В общем случае это уравнение имеет вид:
где коэффициенты А, В, С, D, E, L – любые действительные числа, причем хотя бы одно из чисел А, B, С отлично от нуля.
1.Окружностью называется множество точек на плоскости, расстояние от которых до фиксированной точки М 0 (х 0 , у 0) постоянно и равно R. Точка М 0 называется центром окружности, а число R – ее радиусом
– уравнение окружности с центром в точке М 0 (х 0 , у 0) и радиусом R.
Если центр окружности совпадает с началом координат, то имеем:
– каноническое уравнение окружности.
Эллипс.
Эллипсом называется множество точек на плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек есть величина постоянная (причем эта величина больше расстояний между данными точками). Данные точки называются фокусами эллипса .
– каноническое уравнение эллипса.
Отношение называется эксцентриситетом эллипса и обозначается: , . Так как , то < 1.
Следовательно, с уменьшением отношение стремится к 1, т.е. b мало отличается от а и форма эллипса становится ближе к форме окружности. В предельном случае при 
, получается окружность, уравнение которой есть
х 2 + у 2 = а 2 .
Гипербола
Гиперболой называется множество точек на плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек, называемыхфокусами , есть величина постоянная (при условии, что эта величина меньше расстояния между фокусами и не равна 0).
Пусть F 1 , F 2 – фокусы, расстояние между ними обозначим через 2с, параметром параболы).
– каноническое уравнение параболы.
Заметим, что уравнение при отрицательном р также задает параболу, которая будет расположена слева от оси 0у. Уравнение описывает параболу, симметричную относительно оси 0у, лежащую выше оси 0х при р > 0 и лежащую ниже оси 0х при р < 0.
Точка пересечения прямых
Пусть нам даны две прямые, заданные своими коэффициентами и . Требуется найти их точку пересечения, или выяснить, что прямые параллельны.
Решение
Если две прямые не параллельны, то они пересекаются. Чтобы найти точку пересечения, достаточно составить из двух уравнений прямых систему и решить её:
Пользуясь формулой Крамера, сразу находим решение системы, которое и будет искомой точкой пересечения :
Если знаменатель нулевой, т.е.
то система решений не имеет (прямые параллельны и не совпадают) или имеет бесконечно много (прямые совпадают ). Если необходимо различить эти два случая, надо проверить, что коэффициенты прямых пропорциональны с тем же коэффициентом пропорциональности, что и коэффициенты и , для чего достаточно посчитать два определителя, если они оба равны нулю, то прямые совпадают:
Реализация
struct pt {double x, y;}; struct line {double a, b, c;}; constdouble EPS =1e-9; double det (double a, double b, double c, double d){return a * d — b * c;} bool intersect (line m, line n, pt & res){double zn = det (m.a, m.b, n.a, n.b);if(abs(zn)< EPS)returnfalse; res.x=- det (m.c, m.b, n.c, n.b)/ zn; res.y=- det (m.a, m.c, n.a, n.c)/ zn;returntrue;} bool parallel (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS;} bool equivalent (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS &&abs(det (m.a, m.c, n.a, n.c))< EPS &&abs(det (m.b, m.c, n.b, n.c))< EPS;}
Урок из серии «Геометрические алгоритмы »
Здравствуйте, дорогой читатель.
Совет 1: Как найти координаты точки пересечения двух прямых
Напишем еще три новые функции.
Функция LinesCross() будет определять, пересекаются ли два отрезка . В ней взаимное расположение отрезков определяется с помощью векторных произведений. Для вычисления векторных произведений напишем функцию – VektorMulti().
Функция RealLess() будет использоваться для реализации операции сравнения “<” (строго меньше) для вещественных чисел.
Задача1. Два отрезка заданы своими координатами. Составить программу, которая определяет, пересекаются ли эти отрезки , не находя точку пересечения.
Решение
. Второй задан точками .
Рассмотрим отрезок и точки и .
Точка лежит слева от прямой , для нее векторное произведение 
> 0, так как векторы положительно ориентированы.
Точка расположена справа от прямой, для нее векторное произведение 
< 0, так как векторы отрицательно ориентированы.
Для того чтобы точки и , лежали по разные стороны от прямой , достаточно, чтобы выполнялось условие < 0 (векторные произведения имели противоположные знаки).
Аналогичные рассуждения можно провести для отрезка и точек и .
Итак, если 
, то отрезки пересекаются.
Для проверки этого условия используется функцию LinesCross(), а для вычисления векторных произведений – функция VektorMulti().
ax, ay – координаты первого вектора,
bx, by – координаты второго вектора.
Program geometr4; {Пересекаются ли 2 отрезка?} Const _Eps: Real=1e-4; {точность вычслений} var x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4: real; var v1,v2,v3,v4: real;function RealLess(Const a, b: Real): Boolean; {Строго меньше} begin RealLess:= b-a> _Eps end; {RealLess}function VektorMulti(ax,ay,bx,by:real): real; {ax,ay — координаты a bx,by — координаты b } begin vektormulti:= ax*by-bx*ay; end;Function LinesCross(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4:real): boolean; {Пересекаются ли отрезки?} begin v1:=vektormulti(x4-x3,y4-y3,x1-x3,y1-y3); v2:=vektormulti(x4-x3,y4-y3,x2-x3,y2-y3); v3:=vektormulti(x2-x1,y2-y1,x3-x1,y3-y1); v4:=vektormulti(x2-x1,y2-y1,x4-x1,y4-y1); if RealLess(v1*v2,0) and RealLess(v3*v4,0) {v1v2<0 и v3v4<0, отрезки пересекаются} then LinesCross:= true else LinesCross:= false end; {LinesCross}begin {main} writeln(‘Введите координаты отрезков: x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4’); readln(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4); if LinesCross(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4) then writeln (‘Да’) else writeln (‘Нет’) end.
Результаты выполнения программы:
Введите координаты отрезков: -1 1 2 2.52 2 1 -1 3
Да.
Мы написали программу, определяющую, пересекаются ли отрезки, заданные своими координатами.
На следующем уроке мы составим алгоритм, с помощью которого можно будет определить, лежит ли точка внутри треугольника.
Уважаемый читатель.
Вы уже познакомились с несколькими уроками из серии «Геометрические алгоритмы». Все ли доступно написано? Я буду Вам очень признательна, если Вы оставите отзыв об этих уроках. Возможно, что-то нужно еще доработать.
С уважением, Вера Господарец.
Пусть даны два отрезка. Первый задан точками P 1 (x 1 ;y 1)
и P 2 (x 2 ;y 2)
. Второй задан точками P 3 (x 3 ;y 3)
и P 4 (x 4 ;y 4)
.
Взаимное расположение отрезков можно проверить с помощью векторных произведений:
Рассмотрим отрезок P 3 P 4
и точки P 1
и P 2
.
Точка P 1
лежит слева от прямой P 3 P 4
, для нее векторное произведение v 1 > 0
, так как векторы положительно ориентированы.
Точка P 2
расположена справа от прямой, для нее векторное произведение v 2 < 0
, так как векторы отрицательно ориентированы.
Для того чтобы точки P 1 и P 2 лежали по разные стороны от прямой P 3 P 4 , достаточно, чтобы выполнялось условие v 1 v 2 < 0 (векторные произведения имели противоположные знаки).
Аналогичные рассуждения можно провести для отрезка P 1 P 2 и точек P 3 и P 4 .
Итак, если v 1 v 2 < 0 и v 3 v 4 < 0 , то отрезки пересекаются.
Векторное произведение двух векторов вычисляется по формуле:
где:
ax
, ay
— координаты первого вектора,
bx
, by
— координаты второго вектора.
Уравнение прямой, проходящей через две различные точки, заданные своими координатами.
Пусть на прямой заданы две не совпадающие точки:P 1 с координатами (x 1 ;y 1) и P 2 с координатами (x 2 ; y 2) .
Пересечение прямых
Соответственно вектор с началом в точке P 1 и концом в точке P 2 имеет координаты (x 2 -x 1 , y 2 -y 1) . Если P(x, y) – произвольная точка на прямой, то координаты вектора P 1 P равны (x — x 1 , y – y 1).
С помощью векторного произведения условие коллинеарности векторов P 1 P
и P 1 P 2
можно записать так:
|P 1 P,P 1 P 2 |=0
, т.е. (x-x 1)(y 2 -y 1)-(y-y 1)(x 2 -x 1)=0
или
(y 2 -y 1)x + (x 1 -x 2)y + x 1 (y 1 -y 2) + y 1 (x 2 -x 1) = 0
Последнее уравнение переписывается следующим образом:
ax + by + c = 0,
(1)
где
a = (y 2 -y 1),
b = (x 1 -x 2),
c = x 1 (y 1 -y 2) + y 1 (x 2 -x 1)
Итак, прямую можно задать уравнением вида (1).
Как найти точку пересечения прямых?
Очевидное решение состоит в том, чтобы решить систему уравнений прямых:
ax 1 +by 1 =-c 1
ax 2 +by 2 =-c 2
(2)
Ввести обозначения:
Здесь D – определитель системы, а D x ,D y — определители, получающиеся в результате замены столбца коэффициентов при соответствующем неизвестном столбцом свободных членов. Если D ≠ 0 , то система (2) является определенной, то есть имеет единственное решение. Это решение можно найти по следующим формулам: x 1 =D x /D, y 1 =D y /D , которые называются формулами Крамера. Небольшое напоминание, как вычисляется определитель второго порядка. В определителе различают две диагонали: главную и побочную. Главная диагональ состоит из элементов, взятых по направлению от верхнего левого угла определителя в нижний правый угол. Побочная диагональ – из правого верхнего в нижний левый. Определитель второго порядка равен произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.
- Чтобы найти координаты точки пересечения графиков функций нужно приравнять обе функции друг к другу, перенести в левую часть все члена, содержащие $ x $, а в правую остальные и найти корни, полученного уравнения.
- Второй способ заключается в том, что нужно составить систему уравнений и решить её путём подстановки одной функции в другую
- Третий способ подразумевает графическое построение функций и визуальное определение точки пересечения.
Случай двух линейных функций
Рассмотрим две линейные функции $ f(x) = k_1 x+m_1 $ и $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Эти функции называются прямыми. Построить их достаточно легко, нужно взять любые два значения $ x_1 $ и $ x_2 $ и найти $ f(x_1) $ и $ (x_2) $. Затем повторить тоже самое и с функцией $ g(x) $. Далее визуально найти координату точки пересечения графиков функций.
Следует знать, что линейные функции имеют только одну точку пересечения и только тогда, когда $ k_1 \neq k_2 $. Иначе, в случае $ k_1=k_2 $ функции параллельны друг другу, так как $ k $ - это коэффициент угла наклона. Если $ k_1 \neq k_2 $, но $ m_1=m_2 $, тогда точкой пересечения будет $ M(0;m) $. Это правило желательно запомнить для ускоренного решения задач.
| Пример 1 |
| Пусть даны $ f(x) = 2x-5 $ и $ g(x)=x+3 $. Найти координаты точки пересечения графиков функций. |
| Решение |
|
Как это сделать? Так как представлены две линейные функции, то первым делом смотрим на коэффициент угла наклона обеих функций $ k_1 = 2 $ и $ k_2 = 1 $. Замечаем, что $ k_1 \neq k_2 $, поэтому существует одна точка пересечения. Найдём её с помощью уравнения $ f(x)=g(x) $: $$ 2x-5 = x+3 $$ Переносим слагаемые с $ x $ в левую часть, а остальные в правую: $$ 2x - x = 3+5 $$ Получили $ x=8 $ абциссу точки пересечения графиков, а теперь найдём ординату. Для этого подставим $ x = 8 $ в любое из уравнений хоть в $ f(x) $, либо в $ g(x) $: $$ f(8) = 2\cdot 8 - 5 = 16 - 5 = 11 $$ Итак, $ M (8;11) $ - является точкой пересечения графиков двух линейных функций. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ M (8;11) $$ |
Случай двух нелинейных функций
| Пример 3 |
| Найти координаты точки пересечения графиков функций: $ f(x)=x^2-2x+1 $ и $ g(x)=x^2+1 $ |
| Решение |
|
Как быть с двумя нелинейными функциями? Алгоритм простой: приравниваем уравнения друг к другу и находим корни: $$ x^2-2x+1=x^2+1 $$ Разносим по разным сторонам уравнения члены с $ x $ и без него: $$ x^2-2x-x^2=1-1 $$ Найдена абцисса искомой точки, но её недостаточно. Ещё нехватает ординаты $ y $. Подставляем $ x = 0 $ в любое из двух уравнений условия задачи. Например: $$ f(0)=0^2-2\cdot 0 + 1 = 1 $$ $ M (0;1) $ - точка пересечения графиков функций |
| Ответ |
| $$ M (0;1) $$ |