Затухающие колебания
Затухающие колебания пружинного маятника
Затухающие колебания - колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида в природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний A является убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной зависимостью от скорости колебаний или её квадрата.
В акустике: затухание - уменьшение уровня сигнала до полной неслышимости.
Затухающие колебания пружинного маятника
Пускай имеется система, состоящая из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой m . Колебания совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом c (см. вязкое трение).
Корни которого вычисляются по следующей формуле
Решения
В зависимости от величины коэффициента затухания решение разделяется на три возможных варианта.
- Апериодичность
Если , то имеется два действительных корня, и решение дифференциального уравнения принимает вид:
В этом случае колебания с самого начала экспоненциально затухают.
- Граница апериодичности
Если , два действительных корня совпадают , и решением уравнения является:
В данном случае может иметь место вре́менный рост, но потом - экспоненциальное затухание.
- Слабое затухание
Если , то решением характеристического уравнения являются два комплексно сопряжённых корня
Тогда решением исходного дифференциального уравнения является
Где - собственная частота затухающих колебаний.
Константы и в каждом из случаев определяются из начальных условий:
См. также
- Декремент затухания
Литература
Лит.: Савельев И. В., Курс общей физики:Механика, 2001.
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Затухающие колебания" в других словарях:
Затухающие колебания - Затухающие колебания. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ, колебания, амплитуда которых A уменьшается с течением времени вследствие потерь энергии: превращения энергии колебаний в тепло в результате трения в механических системах (например, в точке подвеса… … Иллюстрированный энциклопедический словарь
Собственные колебания, амплитуда А которых убывает со временем t по закону экспоненты А(t) = Аоexp (?t) (? показатель затухания из за диссипации энергии благодаря силам вязкого трения для механических затухающих колебаний и омическому… … Большой Энциклопедический словарь
Колебания, амплитуда которых постепенно уменьшается, напр. колебания маятника, испытывающего сопротивление воздуха и трение в подвесе. Все свободные колебания, происходящие в природе, являются в большей или меньшей мере З. К. Электрические З. К.… … Морской словарь
затухающие колебания - Механические колебания с уменьшающимися во времени значениями размаха обобщенной координаты или ее производной по времени. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 106. Механические колебания. Академия наук СССР. Комитет научно технической… … Справочник технического переводчика
Затухающие колебания - (ВИБРАЦИЯ) колебания (вибрация) с уменьшающимися значениями размаха … Российская энциклопедия по охране труда
Собственные колебания системы, амплитуда А которых убывает со временем t по закону экспоненты А(t) = А0ехр(?α t) (α показатель затухания) из–за диссипации энергии благодаря силам вязкого трения для механических затухающих колебаний и омическому… … Энциклопедический словарь
Затухающие колебания - 31. Затухающие колебания Колебания с уменьшающимися значениями размаха Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Собственные колебания системы, амплитуда А к рых убывает со временем t по закону экспоненты A(t) = = Аоехр(at) (a показатель затухания) из за диссипации энергии благодаря силам вязкого трения для механич. 3. к. и омическому сопротивлению для эл … Естествознание. Энциклопедический словарь
затухающие колебания - silpstantieji virpesiai statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. damped oscillation vok. gedämpfte Schwingung, f rus. затухающие колебания, n pranc. oscillations amorties, f; oscillations décroissantes, f … Automatikos terminų žodynas
затухающие колебания - slopinamieji virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. damped oscillations; damped vibrations; dying oscillations vok. abklingende Schwingungen, f; gedämpfte Schwingungen, f rus. затухающие колебания, n pranc. oscillations amorties, f … Fizikos terminų žodynas
Затуханием колебаний называется постепенное уменьшение амплитуды колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой.
Собственные колебания без затухания – это идеализация. Причины затухания могут быть разные. В механической системе к затуханию колебаний приводит наличие трения. В электромагнитном контуре к уменьшению энергии колебаний приводят тепловые потери в проводниках, образующих систему. Когда израсходуется вся энергия, запасенная в колебательной системе, колебания прекратятся. Поэтому амплитуда затухающих колебаний уменьшается, пока не станет равной нулю.
Затухающие колебания, как и собственные, в системах, разных по своей природе, можно рассматривать с единой точки зрения – общих признаков. Однако, такие характеристики, как амплитуда и период, требуют переопределения, а другие – дополнения и уточнения по сравнению с такими же признаками для собственных незатухающих колебаний. Общие признаки и понятия затухающих колебаний следующие:
Дифференциальное уравнение должно быть получено с учетом убывания в процессе колебаний колебательной энергии.
Уравнение колебаний – решение дифференциального уравнения.
Амплитуда затухающих колебаний зависит от времени.
Частота и период зависят от степени затухания колебаний.
Фаза и начальная фаза имеют тот же смысл, что и для незатухающих колебаний.
3.1. Механические затухающие колебания
Механическая система : пружинный маятник с учетом сил трения.
Силы, действующие на маятник :
Упругая сила . , где k – коэффициент жесткости пружины, х – смещение маятника от положения равновесия.
Сила сопротивления . Рассмотрим силу сопротивления, пропорциональную скорости v движения (такая зависимость характерна для большого класса сил сопротивления): . Знак "минус" показывает, что направление силы сопротивления противоположно направлению скорости движения тела. Коэффициент сопротивления r численно равен силе сопротивления, возникающей при единичной скорости движения тела:
Закон движения пружинного маятника – это второй закон Ньютона:
ma = F упр. + F сопр.
Учитывая, что и 
, запишем второй закон Ньютона в виде:
.
Разделив все члены уравнения на m, перенеся их все в правую часть, получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний:
Обозначим , где β – коэффициент затухания , , где ω 0 – частота незатухающих свободных колебаний в отсутствии потерь энергии в колебательной системе.
В новых обозначениях дифференциальное уравнение затухающих колебаний имеет вид:
.
Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка.
Уравнение затухающих колебаний есть решение такого дифференциального уравнения:
В приложении 1 показано получение решения дифференциального уравнения затухающих колебаний методом замены переменных.
Частота затухающих колебаний :
(физический смысл имеет только вещественный корень, поэтому ).
Период затухающих колебаний :
.
Смысл, который вкладывался в понятие периода для незатухающих колебаний, не подходит для затухающих колебаний, так как колебательная система никогда не возвращается в исходное состояние из-за потерь колебательной энергии. При наличии трения колебания идут медленнее: .
Периодом затухающих колебаний называется минимальный промежуток времени, за который система проходит дважды положение равновесия в одном направлении.
Для механической системы пружинного маятника имеем:
, 
.
Амплитуда затухающих колебаний :
Для пружинного маятника .
Амплитуда затухающих колебаний – величина не постоянная, а изменяющаяся со временем тем быстрее, чем больше коэффициент β. Поэтому определение для амплитуды, данное ранее для незатухающих свободных колебаний, для затухающих колебаний надо изменить.
При небольших затуханиях амплитудой затухающих колебаний называется наибольшее отклонение от положения равновесия за период.
Графики зависимости смещения от времени и амплитуды от времени представлены на Рисунках 3.1 и 3.2.
Рисунок 3.1 – Зависимость смещения от времени для затухающих колебаний
Рисунок 3.2 – Зависимости амплитуды от времени для затухающих колебаний
3.2. Электромагнитные затухающие колебания
Электромагнитные затухающие колебания возникают в электромагнитной колебательной систему , называемой LCR – контур (Рисунок 3.3).
Рисунок 3.3.
Дифференциальное уравнение
получим с помощью второго закона Кирхгофа для замкнутого LCR – контура: сумма падений напряжения на активном сопротивлении (R) и конденсаторе (С) равна ЭДС индукции, развиваемой в цепи контура: 
Падение напряжения:
На активном сопротивлении: , где I – сила тока в контуре;
На конденсаторе (С): , где q – величина заряда на одной из обкладок конденсатора.
ЭДС, развиваемая в контуре – это ЭДС индукции, возникающая в катушке индуктивности при изменении тока в ней, а следовательно, и магнитного потока сквозь ее сечение: 
(закон Фарадея).
Подставим значения U R , U C , в уравнение, отражающее закон Кирхгофа, получим:
.
Сила тока определяется как производная от заряда , тогда , и дифференциальное уравнение примет вид:
.
Обозначим , , получим в этих обозначениях дифференциальное уравнение затухающих колебаний в виде:
Решение дифференциального уравнения или уравнение колебаний для заряда на обкладках конденсатора имеет вид:
Амплитуда затухающих колебаний заряда имеет вид:
Частота затухающих колебаний в LCR – контуре:
.
Период затухающих электромагнитных колебаний:
.
Возьмем уравнение для заряда в виде , тогда уравнение для напряжения
на обкладках конденсатора можно записать так
.
Величина называется амплитудой напряжения на конденсаторе .
Ток в контуре меняется со временем. Уравнение для силы тока в контуре можно получить, используя соотношение и векторную диаграмму.
Окончательное уравнение для силы тока таково:
где 
- начальная фаза.
Она не равна α, так как сила тока изменяется не по синусу, что дала бы производная от заряда, а по косинусу.
Энергия колебаний в контуре складывается из энергии электрического поля
и энергии магнитного поля
Полная энергия в любой момент времени:
где W 0 – полная энергия контура в момент времени t=0.
3.3. Характеристики затухающих колебаний
1. Коэффициент затухания β.
Изменение амплитуды затухающих колебаний происходит по экспоненциальному закону:
Пусть за время τ амплитуда колебаний уменьшится в "e " раз ("е" – основание натурального логарифма, е ≈ 2,718). Тогда, с одной стороны, 
, а с другой стороны, расписав амплитуды А зат. (t) и А зат. (t+τ), имеем 
. Из этих соотношений следует βτ = 1, отсюда
Промежуток времени τ, за который амплитуда уменьшается в "е" раз, называется временем релаксации .
Коэффициент затухания β – величина, обратно пропорциональная времени релаксации.
2. Логарифмический декремент затухания δ - физическая величина, численно равная натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд, отстоящих по времени на период.
Все реальные колебательные системы являются диссипативными. Энергия механических колебаний такой системы постепенно расходуется на работу против сил трения, поэтому свободные колебания всегда затухают - их амплитуда постепенно уменьшается. Во многих случаях, когда отсутствует сухое трение, в первом приближении можно считать, что при небольших скоростях движения силы, вызывающие затухание механических колебаниях, пропорциональны скорости. Эти силы, независимо от их происхождения, называют силами сопротивления.
Перепишем это уравнение в следующем виде:
и обозначим:
где представляет ту частоту, с которой совершались бы свободные колебания системы при отсутствии сопротивления среды, т.е. при r = 0. Эту частоту называют собственной частотой колебания системы; β - коэффициент затухания. Тогда
 |
(7.19) |
Будем искать решение уравнения (7.19) в виде
где U - некоторая функция от t.
Продифференцируем два раза это выражение по времени t и, подставив значения первой и второй производных в уравнение (7.19), получим 
Решение этого, уравнения существенным образом зависит от знака коэффициента, стоящего при U. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положительный. Введем обозначение тогда С вещественным ω решением этого уравнения, как мы знаем, является функция 
Таким образом, в случае малого сопротивления среды , решением уравнения (7.19) будет функция
 |
(7.20) |
График этой функции показан на рис. 7.8. Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки. Величину 
называют собственной циклической частотой колебаний диссипативной системы. Затухающие колебания представляют собой непериодические колебания, т.к, в них никогда не повторяются, например, максимальные значения смещения, скорости и ускорения. Величину обычно называют периодом затухающих колебаний, правильнее - условным периодом затухающих колебаний,
Натуральный логарифм отношения амплитуд смещений, следующих друг за другом через промежуток времени, равный периоду Т, называют логарифмическим декрементом затухания.
Обозначим через τ промежуток времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Тогда
откуда
Следовательно, коэффициент затухания есть физическая величина, обратная промежутку времени τ, в течение которого амплитуда убывает в е раз. Величина τ называется временем релаксации.
Пусть N - число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в е раз, Тогда
Следовательно, логарифмический декремент затухания δ есть физическая величина, обратная числу колебаний N, по истечению которого амплитуда убывает в е раз
Механическое движение всегда сопровождается трением. Трение приводит к рассеянию (диссипации) механической энергии. Диссипация энергии имеется в любых не идеализированных колебательных системах, она вызывает затухание собственных колебаний.
Определение
Затухающими колебаниями называют колебания, амплитуда которых постепенно уменьшается со временем из-за потерь энергии колебательной системой.
Уравнение колебаний пружинного маятника с затуханием
Иногда, если тело движется в веществе, силу сопротивления (${\overline{F}}_{tr}$), которая действует на рассматриваемое тело, при маленьких скоростях его движения, считают прямо пропорциональной скорости ($\overline{v}$):
\[{\overline{F}}_{tr}=-\beta \overline{v}\left(1\right),\]
где $\beta $ - коэффициент сопротивления.
Данную силу учитывают в уравнении второго закона Ньютона при описании движения. Так, уравнение, которое описывает линейные колебания по вертикали (колебания по оси X) пружинного маятника, учитывающее силу трения принимает вид:
где $\dot{x}=v_x.$ Принимая во внимание равенства:
\[{\omega }^2_0=\frac{k}{m};;2\gamma =\frac{\beta }{m}\left(3\right),\]
(где ${\omega }_0$- циклическая частота свободных незатухающих колебаний (собственная частота колебаний при $\gamma $=0) той же колебательной системы; $\gamma $ - коэффициент затухания) уравнение колебаний пружинного маятника с затуханием (2) преобразуем к виду:
\[\ddot{x}+2\gamma \dot{x}+{\omega }^2_0x=0\ \left(4\right).\]
Малые собственные колебания, затухающие вследствие сопротивления среды в любой физической системе (математический маятник, физический маятник, электрические колебания...) описывают при помощи уравнения формы (4).
Уравнение затухающих колебаний имеет точное решение:
где $\omega =\sqrt{{\omega }^2_0-{\gamma }^2}$; $A_0$ - начальная амплитуда колебаний, задаваемая начальными условиями; $\varphi $ - постоянная из начальных условий. При $\gamma \ll {\omega }_0$, $\omega \approx {\omega }_0$, параметр $A_0e^{-\gamma t}$ можно считать медленно изменяющейся во времени амплитудой колебаний.
Затухание колебаний по экспоненте связано с тем, что силу сопротивления мы приняли пропорциональной скорости. Если использовать другую зависимость силы трения от скорости, то закон затухания изменится.
Диссипация энергии при затухающих колебаниях
Пусть затухание мало, при этом потеря энергии колебательной системой за один период много меньше, чем энергия колебаний.
Рассеяние энергии за период колебаний происходит не равномерно, ввиду осцилляции кинетической энергии ($E_k$). Уравнение убывания энергии при затухающих колебаниях будет иметь вид:
\[\frac{dE}{dt}=-\frac{2\beta }{m}\left\langle E_k\right\rangle \left(6\right),\]
где $\frac{dE}{dt}$ - скорость изменения энергии колебаний; $\left\langle E_k\right\rangle $ - средняя величина кинетической энергии за период колебаний. Уравнение (6) не применяют для промежутков времени, которые меньше периода колебаний.
Так как мы считаем затухание малым, то $\left\langle E_k\right\rangle $ можно принять равным (как при свободных колебаниях) половине полной энергии осциллятора:
\[\left\langle E_k\right\rangle =\frac{E}{2}\left(7\right).\]
В таком случае уравнение (6) можно записать в виде:
\[\frac{dE}{dt}=-2\gamma E\ \left(8\right).\]
Выражение (8) отображает «сглаженное» поведение энергии колебаний (в случае, если детали изменения энергии за один период колебаний не интересны). Оно показывает, что скорость изменения энергии пропорциональна самой энергии. Решением уравнения (8) является функция:
где $E_0$ - величина энергии колебательной системы в начальный момент времени.
Так как энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды ($E\sim A^2$), изменение амплитуды колебаний за большие отрезки времени (в сравнении с периодом колебаний) запишем в виде функции:
$A_0$ - начальная амплитуда колебаний.
Время жизни колебаний. Период затухающих колебаний. Декремент затухания
Из формулы (10) видно, что амплитуда затухающих колебаний убывает по экспоненте. За время $\tau =\frac{1}{\gamma }$ амплитуда убывает в $e$ раз и это не зависит от $A_0$. Время $\tau $ в этом случае называют временем жизни колебаний (или временем релаксации) (не смотря на то, что в соответствии с выражением (9) колебания должны длиться бесконечно). Тезис о малости затухания означает, что время жизни колебаний не бесконечно, а много больше, чем их период ($\tau \gg T$). За время жизни происходит много колебательных движений.
Строго говоря, затухающие колебания не являются строго периодическими движениями. Периодом в данном случае считают промежуток времени между двумя последовательными максимальными отклонениями от положения равновесия.
Период затухающих колебаний считают равным:
Пусть $A\left(t\right)\ и\ A(t+T)$ - амплитуды двух последовательных колебаний, моменты времени которых отличаются на период. Отношение этих амплитуд, следуя (10) равно:
\[\frac{A\left(t\right)}{A(t+T)}=e^{\gamma T}(12)\]
называют декрементом затухания. Натуральный логарифм декремента затухания ($\theta $):
\[\theta ={\ln \left(\frac{A\left(t\right)}{A\left(t+T\right)}\right)\ }=\gamma T=\frac{T}{\tau }=\frac{1}{N_e}(13)\]
называют логарифмическим декрементом затухания. Для колебательной системы $\theta $ постоянная величина.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Каков коэффициент затухания маятника ($\gamma $), если за $\Delta t$ амплитуда его колебаний уменьшилась в $n$ раз?
Решение. За основу решения задачи примем уравнение затухающих колебаний в виде:
По условию задачи имеем:
\[\frac{A_1}{A_2}=n.\]
С другой стороны:
где $t_2-t_1=\Delta t$. Найдем натуральный логарифм от правой и левой части выражения (1.2), получим:
\[{\ln \left(\frac{A_1}{A_2}\right)\ }=\gamma \Delta t\left(1.3\right).\]
Выразим $\gamma $ из (1.3) учтем, что $\frac{A_1}{A_2}=n$:
\[\gamma =\frac{{\ln \left(\frac{A_1}{A_2}\right)\ }}{\Delta t}=\gamma =\frac{{\ln n\ }}{\Delta t}.\]
Ответ. $\gamma =\frac{{\ln n\ }}{\Delta t}$
Пример 2
Задание. Что представляет собой фазовая траектория затухающего колебания?
Решение. Фазовой траекторией называют траекторию движения в плоскости $\left(x;;v\right).$ По оси абсцисс откладывается отклонение $x$, по оси ординат откладывают скорость $v$. Каждому движению в момент времени $t$ соответствует изображающая точка, на указанной плоскости координаты ее $\left(x,v\right),$ они однозначно определены мгновенными значениями отклонения и скорости. Точка со временем движется и описывает траекторию (рис.1). В данном случае время выступает как параметр, уравнение фазовой траектории задет функция:
Фазовая траектория затухающего колебания, если
\[{\overline{F}}_{tr}=-\beta \overline{v}\left(2.2\right),\]
представляет собой незамкнутую спираль, которая закручивается вокруг начала координат (рис.1). Если затухание колебаний малое, то есть за время жизни колебательная система совершает множество колебаний, количество витков спирали в фазовой плоскости будет таким же.