☰

Расстояние как интеграл. Что такое интеграл, и каков его физический смысл

Возникновение понятия интеграла было обусловлено необходимостью нахождения первообразной функции по ее производной, а также определения величины работы, площади сложных фигур, расстояния пройденного пути, при параметрах, очерченных кривыми, описываемыми нелинейными формулами.

а что работа равна произведению силы на расстояние. Если все движение происходит с постоянной скоростью или расстояние преодолевается с приложением одной и той же силы, то все понятно, нужно их просто перемножить. Что такое интеграл от константы? вида y=kx+c.

Но сила на протяжении работы может меняться, причем в какой-то закономерной зависимости. Такая же ситуация возникает и с вычислением пройденного расстояния, если скорость непостоянна.

Итак, понятно, для чего нужен интеграл. Определение его как суммы произведений значений функции на бесконечно малое приращение аргумента вполне описывает главный смысл этого понятия как площадь фигуры, ограниченной сверху линией функции, а по краям - границами определения.

Жан Гастон Дарбу, французский математик, во второй половине XIX века очень наглядно объяснил, что такое интеграл. Он сделал это настолько понятно, что в целом разобраться в этом вопросе не составит труда даже школьнику младших классов средней школы.

Допустим, есть функция любой сложной формы. Ось ординат, на которой откладываются значения аргумента, разбивается на небольшие интервалы, в идеале они бесконечно малы, но так как понятие бесконечности довольно абстрактно, то достаточно представить себе просто небольшие отрезки, величину которых обычно обозначают греческой буквой Δ (дельта).

Функция оказалась «нарезанной» на маленькие кирпичики.

Каждому значению аргумента соответствует точка на оси ординат, на которой откладываются соответствующие значения функции. Но так как границ у выделенного участка две, то и значений функции тоже будет два, большее и меньшее.

Сумма произведений бо́льших значений на приращение Δ называется большой суммой Дарбу, и обозначается как S. Соответственно, меньшие на ограниченном участке значения, умноженные на Δ, все вместе образуют малую сумму Дарбу s. Сам участок напоминает прямоугольную трапецию, так как кривизной линии функции при бесконечно малом ее приращении можно пренебречь. Самый простой способ найти площадь такой геометрической фигуры - это сложить произведения большего и меньшего значения функции на Δ-приращение и поделить на два, то есть определить как среднее арифметическое.

Вот что такое интеграл по Дарбу:

s=Σf(x) Δ - малая сумма;

S= Σf(x+Δ)Δ - большая сумма.

Итак, что такое интеграл? Площадь, ограниченная линией функции и границами определения будет равна:

∫f(x)dx = {(S+s)/2} +c

То есть среднее арифметическое большой и малой сумм Дарбу.с - величина постоянная, обнуляемая при дифференцировании.

Исходя из геометрического выражения этого понятия, становится понятен и физический смысл интеграла. очерченная функцией скорости, и ограниченная временным интервалом по оси абсцисс, будет составлять длину пройденного пути.

L = ∫f(x)dx на промежутке от t1 до t2,

f(x) - функция скорости, то есть формула, по которой она меняется во времени;

L - длина пути;

t1 - время начала пути;

t2 - время окончания пути.

Точно по такому же принципу определяется величина работы, только по абсциссе будет откладываться расстояние, а по ординате - величина силы, прилагаемая в каждой конкретной точке.

Обсудим теперь обратную проблему. Пусть вместо таблицы расстояний нам дана таблица скоростей в различные моменты времени, начиная с нуля. В табл. 8.4 представлена зависимость скорости падающего шара от времени. Аналогичную таблицу можно составить и для машины, если записывать показания спидометра через каждую минуту или полминуты. Но можно ли, зная скорость машины в любой момент времени, вычислить расстояние, которое ею было пройдено?

Таблица 8.4 скорость падающего шара

Эта задача обратна той, которую мы только что рассмотрели. Как же решить ее, если скорость машины непостоянна, если она то ускоряется до 90 км/час, то замедляется, затем где-то останавливается у свето­фора и т.д.? Сделать это нетрудно. Нужно использовать ту же идею и выражать полное расстояние через бесконечно малые его части. Пусть в первую секунду скорость будет v 1 , тогда по формуле s= v 1 t можно вычислить расстояние, пройденное за эту секунду. В следующую секунду скорость будет несколько другой, хотя, может быть, и близкой к первоначальной, а расстояние, пройденное машиной за вторую секунду, будет равно новой скорости, умноженной на интервал времени (1 сек). Этот процесс можно продолжить дальше, до самого конца пути. В ре­зультате мы получим много маленьких отрезков, которые в сум­ме дадут весь путь. Таким образом, путь является суммой ско­ростей, умноженных на отдельные интервалы времени, или s = vt, где греческая буква  (сигма) означает сумми­рование. Точнее, это будет сумма скоростей в некоторые мо­менты времени, скажем t i , умноженные на t:

причем каждый последующий момент t i+1 находится по пра­вилу t i+1 =t i +t. Но расстояние, полученное этим методом, не будет точным, поскольку скорость за время t все же изменяет­ся. Выход из этого положения заключается в том, чтобы брать все меньшие и меньшие интервалы t, т. е. разбивать время дви­жения на все большее число все меньших отрезков. В конце концов мы придем к следующему, теперь уже точному выра­жению для пройденного пути:

Математики придумали для этого предела, как и для диф­ференциала, специальный символ. Значок  превращается в d, напоминая о том, что интервал времени сколь угодно мал, а знак суммирования превращается в ∫ - искаженное большое S, первая буква латинского слова «Summa». Этот значок назван интегралом. Таким образом, мы пишем

s=∫v(t)dt, (8.8)

где v(t) - скорость в момент t. Сама же операция суммирования этих членов называется интегрированием. Она противополож­на операции дифференцирования в том смысле, что производная этого интеграла равна v(t), так что один оператор (d/dt) «уничто­жает» другой (∫). Это дает возможность получать фор­мулы для интегралов путем обращения формул для дифферен­циалов: интеграл от функции, стоящей в правой колонке табл.8.3, будет равен функции, стоящей в левой колонке. Диф­ференцируя все виды функций, вы сами можете составить таблицу интегралов.

Любая функция, заданная в аналитическом виде, т. е. вы­ражающаяся через комбинацию известных нам функций, диф­ференцируется очень просто - вся операция выполняется чис­то алгебраически, и в результате мы всегда получаем какую-то известную функцию. Однако интеграл не от всякой функции можно записать в аналитическом виде. Разумеется, для каж­дого частного интеграла всегда сначала пытаются найти такую функцию, которая, будучи продифференцирована, давала бы функцию, стоящую после знака интеграла (она называется подынтегральной). Однако это не всегда удается сделать. В та­ких случаях интеграл вычисляют просто суммированием, т. е. вычисляют суммы типа (8.6) со все меньшими и меньшими ин­тервалами, пока не получат результат с достаточной точностью.

    Мы ходим вокруг да около “применения” одного числа к другому, и действия, которые мы применяем (повторное суммирование, масштабирование, зеркальное отображение или вращение), могут быть разными. Интегрирование - это всего лишь еще один шаг в этом направлении.

    Понятие площади

    Площадь - очень тонкое понятие. На данный момент, давайте представим площадь как визуальную интерпретацию умножения:

    Мы можем “применять” числа на разных осях друг к другу (3 применяется к 4) и получить результат (12 единиц площади). Свойства каждого вводного значения (длина и длина) превратились в результат (единицы площади).

    Легко, правда? Не так, как кажется на первый взгляд. Умножение может привести к “отрицательному результату” (3×(-4) = -12), которого не существует.

    Мы понимаем график как представление умножения, и используем эту аналогию из-за удобства. Если бы все были слепыми, и в мире не существовало диаграмм, мы бы все равно хорошо справлялись с умножением. Площадь - это всего лишь интерпретация.

    Умножение по частям

    А теперь давайте умножим 3 × 4.5:

    Что происходит? Ну, 4.5 - это не целочисленное число, но мы же можем воспользоваться “частичным” умножением. Если 3×4 = 3 + 3 + 3 + 3, то

    3 × 4.5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3×0.5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 1.5 = 13.5

    Мы берем 3 (значение) 4.5 раза. Таким образом, мы объединили 3 с 4 полными сегментами (3 × 4 = 12), а также одним частичным сегментом (3 × 0.5 = 1.5).

    Мы так привыкли к умножению, что даже забываем, как здорово оно работает. Мы можем разбить число на единицы (целые или частичные), умножать каждый кусочек и складывать результаты. Заметьте, как мы легко расправились с дробной частью? Это и есть начало интегрирования.

    Проблема с числами

    Числа не всегда ведут себя постоянно для наших расчетов. Сценарии типа “Вы ехали 3 часа со скоростью 30 км/ч” не имеют ничего общего с реальностью. Так условия описываются просто для удобства.

    Формулы по типу “расстояние = скорость × время” только маскируют проблему; нам все еще нужно брать постоянные числа и умножать. А как узнать пройденное расстояние, если наша скорость постоянно изменялась во времени?

    Описываем изменение

    Первым испытанием для нас будет описание изменяющегося числа. Мы можем просто сказать: “Моя скорость менялась с 0 до 30 км/ч”. Это не совсем точно: как быстро она изменялась? Были ли изменения плавными?

    Давайте будем точны: моя скорость в каждый момент времени равнялась удвоенному количеству секунд. В 1 секунду я двигался со скоростью 2 км/ч. Во 2 секунду скорость уже была 4 км/ч, в 3 секунду - уже 6 км/ч, и так далее:

    Вот теперь у нас есть хорошее описание, достаточно подробное, чтобы знать свою скорость в каждый момент времени. Формальное описание звучит как “скорость - это функция времени”, и оно означает, что мы можем взять любой момент времени (t) и узнать нашу скорость в тот момент (“2t” км/ч).

    (Это, конечно, не дает ответа на вопрос, почему скорость и время связаны. Я могу ускоряться за счет гравитации, или ослик может толкать меня сзади. Мы всего лишь установили, что с изменением времени изменяется и скорость).

    Наше произведение “расстояние = скорость × время”, возможно, лучше написать так:

    расстояние = скорость(t) × t

    где скорость (t) - это скорость в любой момент времени. В нашем случае скорость (t) = 2t, так что мы пишем:

    расстояние = 2t × t

    Но это уравнение выглядит странно! “t” по-прежнему выглядит как единичный момент, который нужно выбирать (например, t=3 секунды), а значит и скорость (t) примет единичное значение (6 км/ч). А это нехорошо.

    При обычном умножении, мы можем взять одну скорость и предположить, что она одинаковая во всем прямоугольнике. Но изменяющаяся скорость требует совмещения скорости и времени по частям (секунда за секундой). В каждый момент ситуация может быть разной.

    Вот как это выглядит в большой перспективе:

  • Обычное умножение (прямоугольник): берем расстояние, на которое мы продвинулись за секунду, предполагая, что эта величина была постоянной во все последующие секунды движения, и “масштабируем ее”.
  • Интегрирование (по частям): рассматриваем время как ряд мгновений, в каждое из которых скорость разная. Суммируем расстояния, пройденные посекундно.

Мы видим, что обычное умножение - это частный случай интегрирования, когда количество пройденных метров не изменяется.

Насколько большая эта “часть”?

Насколько велика “часть”, при прохождении дистанции по частям? Секунда? Миллисекунда? Наносекунда?

Ответ навскидку: достаточно мала, чтобы значение было постоянным все время. Нам не нужна идеальная точность.

Более длинный ответ: такие понятия, как пределы, были придуманы, чтобы помочь в покусочном умножении. Принося пользу, они просто решают проблему и отвлекают от сути “объединения величин”. Мне очень не нравится, что пределы проходят в самом начале матанализа, еще перед тем, как студенты вникнут в проблему, которую они решают.

А что по поводу начала и конца?

Скажем, мы исследуем интервал от 3 до 4 секунд.

Скорость вначале (3×2 = 6 км/ч) отличается от скорости в конце (4×2 = 8 км/ч). Так какое же значение мне брать при вычислении “скорости × время”?

Решением будет разбить наши кусочки времени на достаточно мелкие отрезки (от 3.00000 до 3.00001 секунд), пока разность скоростей от начала до конца интервала будет для нас незначительной. Опять же, это более длинный разговор, но “поверьте мне”, что это временной отрезок, который делает разницу незначительной.

На графике представьте, что каждый интервал - это одна точка на прямой. Вы можете нарисовать ровную линию к каждой скорости, и ваша “площадь” будет представлять собой множество отрезков, которое и будет измерять умножение.

Где же “часть”, и каково ее значение?

Разделение части и ее значения далось мне нелегко.

“Часть” - это интервал, который мы рассматриваем (1 секунда, 1 миллисекунда, 1 наносекунда). “Позиция” - это то, где начинается секундный, миллисекундный или наносекундный интервал. Значение - это наша скорость в той позиции.

Например, рассмотрим интервал от 3.0 до 4.0 секунд:

  • “Ширина” отрезка времени составляет 1.0 секунду
  • Позиция (начальное время) равно 3.0
  • Значение (скорость(t)) - это скорость(3.0) = 6.0 км/ч

Опять же, матанализ учит нас сокращать интервал до тех пор, пока разница между значениями в начале и конце интервала будет на столько мала, что ею можно пренебречь, считая этот интервал "точкой". Не выпускайте из вида большую картинку: мы умножаем набор частей.

Понимание записи интеграла

У нас есть здравая идея “покусочного умножения”, но мы никак не можем ее выразить. “Расстояние = скорость(t) × t” все еще выглядит, как обычное уравнение, где t и скорость(t) принимают одно единственное значение.

В матанализе мы пишем это соотношение как

расстояние = ∫ скорость(t)dt

  • знак интеграла (s-образная кривая) означает, что мы умножаем покусочно и суммируем значения в одно.
  • dt представляет временной “интервал”, который мы рассматриваем. Его называют “дельта t” а не “d раз по t”.
  • t представляет положение dt (если dt - это промежуток от 3.0 до 4.0, то t равно 3.0)
  • скорость(t) - это значение, на которое мы умножаем (скорость(3.0) = 6.0))

У меня есть парочка претензий к этой записи:

  • То, как здесь используются буквы, немного смущает. “dt” выглядит как “d раз по t” в отличие от любого уравнения, которое вы ранее видели.
  • Мы пишем скорость(t) × dt, вместо скорость(t_dt) × dt. Последний вариант четко указывает, что мы исследуем “t” на конкретном участке “dt”, а не какое-то глобальное “t”
  • Вы часто встретите ∫ скорость(t) , без dt . Это вообще помогает легко забыть, что мы выполняем покусочное умножение двух элементов.

Похоже, уже поздно менять форму записи интегралов. Просто запомните эту идею насчет “умножения” чего-то, что изменяется.

Как это понимать

Когда я вижу вот это:

расстояние = ∫ скорость(t)dt

Я думаю “Расстояние равно скорости t раз (читая левую часть первой) или “совместите скорость и время, чтобы получить расстояние” (читая правую часть первой).

В уме я перевожу “скорость(t)” как скорость и “dt”, и это превращается в умножение, при условии, что скорости позволено изменяться. Представление интегрирования подобным образом помогает мне сконцентрироваться на том, что на самом деле происходит (“Мы совмещаем скорость и время, чтобы получить расстояние!”) вместо зацикливания на деталях действия.

Бесплатный сюрприз: новые идеи

Интегралы - это очень глубокая идея, также, как и умножение. У вас могло появиться много вопросов, основанных на этой аналогии:

  • Если интегралы умножают изменяющиеся величины, есть ли что-то, что делит их? (ДА - производные).
  • Являются ли интегралы (умножение) и производные (деление) взаимообратными? (Да, с некоторыми тонкостями).
  • Можем ли мы преобразовать уравнение “расстояние = скорость × время” в “скорость = расстояние / время”? (Да).
  • Можем ли мы совмещать несколько величин одновременно? (Да - это называется многократное интегрирование).
  • Влияет ли как-то порядок совмещения на результат? (Обычно нет).

Как только вы начнёте воспринимать интегралы как “улучшенное умножение”, вы сразу начнете задумываться о таких вещах, как “улучшенное деление”, “повторное интегрирование” и так далее. Застряв на “площади под кривой”, вы не уловите связи между этими темами. (Математических заучек видение “площади под кривой” и “угла наклона кривой” обратными понятиями ставит в тупик).

Как читать интегралы

У интегралов масса применений. Одним из них является объяснение того, что две величины были “умножены” для получения результата.

Вот как мы представляем площадь круга с помощью интегралов:

Площадь = ∫ Длина окружности (r) · dr = ∫ 2πr · dr = π · r 2

Нам бы очень хотелось взять площадь кривой умножением. Но мы не можем - высота изменяется в каждой ее точке. Если мы “развернем” круг, мы увидим, что частичка площади под каждой порцией радиуса будет равна “радиус × отрезок окружности”. Мы можем описать эту связь с помощью интеграла (как описано выше).

А вот как интеграл описывает идею, что “масса = плотность × объем”:

масса = ∫ V ρ(r) ∙ dv

Что здесь сказано? Греческая буква "ро" ("ρ") - это функция плотности, которая говорит нам, насколько плотен материал в определенном положении. Так, r∙dv - это частичка объема, который мы рассматриваем. Так что мы умножаем маленький кусочек объема (dv) на плотность в том интервале ρ(r), и потом складываем все эти части, чтобы получить массу.

Мы привыкли просто умножать плотность на объем, но если плотность изменяется, то нужно интегрировать. Индекс V просто означает “интеграл объема”, что по сути является тройным интегралом длины, ширины и высоты! Интеграл предполагает четыре “умножения”: 3 для поиска объема, и еще одно для умножения на плотность.

Что это нам дало?

Сегодняшней целью было не научное понимание интегральных исчислений. Наша цель - расширить модель мышления, и получить представление об интеграле как о надстройке над такими низкоуровневыми операциями как сложение, вычитание, умножение и деление.

Рассматривайте интегралы как улучшенный способ умножения: вычисления станут проще, и вам под силу станут понятия типа кратного интеграла и производной . Приятных вычислений!

Интеграл является одним из важнейших понятий математики. Понятие «интеграл» возникло в связи со следующими потребностями:

  • отыскание функции по ее производной (например, нахождение функции пути по известной функции скорости);
  • измерение различных характеристик объектов (например, площади плоской фигуры и т.д.).

Различают несколько видов интегралов: неопределенный, определенный и несобственный интегралы.

Интеграл: как вычислить?

Для вычисления большинства интегралов достаточно помнить таблицу интегралов, а также знать основные правила интегрирования. Основная часть таблицы, которая используется наиболее часто, содержит порядка 15 формул, правил интегрирования тоже не так много. Но если уж совсем плохо запоминается, то найти таблицу и правила можно в любом учебнике, в котором рассматривается данная тема.

Вычисление интеграла состоит из нескольких этапов:

  1. приведение подынтегральной функции к сумме табличных функций;
  2. разложение интеграла на сумму табличных интегралов;
  3. вычисление каждого интеграла по отдельности;
  4. формирование окончательного решения.

Это только поначалу кажется сложным, однако при наличии некоторого опыта по вычислению интегралов каждая пара этапов (1 и 2; 3 и 4) интуитивно объединяются в один этап.

При вычислении определенных интегралов основной является формула Ньютона-Лейбница, которую обязательно (!) нужно запомнить:

Между производной и неопределенным интегралом существует взаимосвязь, которую можно выразить следующими равенствами:

Следовательно, при умении находить производную функции всегда можно проверить правильность вычисления интеграла.

Приложение интеграла к решению задач

Область применения интегралов достаточно широка. Очень часто интегралы используются при решении задач по геометрии , биологии, механике , экономике и т.д.
В зависимости от того, какая задача решается, требуется вычислить либо определенный, либо неопределенный интеграл.
Самая простейшая задача на интегралы формулируется следующим образом: вычислить неопределенный (определенный) интеграл.

Пример . Вычислить определенный интеграл

Как правило, решение задач с интегралами выполняется с использованием некоторой формулы, будь то формула вычисления площади плоской фигуры, длины дуги или какая-то другая формула. Поэтому решение любой задачи с интегралами можно выполнить в три этапа:

  • выбор формулы;
  • определение пределов интегрирования (если используется определенный интеграл);
  • непосредственное вычисление интеграла.

Приложение интеграла к решению задач в геометрии

Основными формулами при решении задач с интегралами по геометрии являются:

Пример . Вычислить объем тела вращения, образованного вращением кривой y = x 2 вокруг оси ОХ, x ∈ .

Решение . На первом этапе определяется используемая для решения задачи формула. В рассматриваемой задаче все сказано в условии «вычислить объем тела вращения». Следовательно, используем формулу .

Переходим ко второму этапу решения задачи. Пределы интегрирования также заданы условием задачи (x ∈ ), следовательно, остается только подставить все необходимое в формулу.

На третьем этапе необходимо вычислить полученный интеграл, который, кстати, является табличным интегралом.

Приложение интеграла к решению задач в механике

Основными формулами при решении задач с интегралами по механике являются:

— путь, пройденный телом

Пример . Тело движется со скоростью v(t) = t + 2 (м/с). Найти путь, который пройдет тело за 2 секунды после начала движения.

Решение . На первом этапе определяется необходимая для решения задачи формула. Из условия задачи видно, что используется формула

Пределы интегрирования также заданы условием задачи (t 1 = 0 — время начала движения; t 2 = 2 — время завершения движения), следовательно, остается только подставить все необходимое в формулу и вычислить полученный интеграл.

Примечание: при вычислении интеграл был приведен к сумме табличных интегралов.

Пример . Тело движется с ускорением 2 м/с 2 . Найти в общем виде функции, задающие изменение скорости и пройденный путь.

Решение . На первом этапе определяется используемая для решения задачи формула. Взаимосвязь между ускорением и скоростью аналогична взаимосвязи между скоростью и путем. Для определения зависимости пути от времени используется формула Для определения же зависимости скорости от времени формула .

В рассматриваемой задаче нет дополнительных условий, поэтому применяется неопределенный интеграл и пределы интегрирования не нужны.
Следовательно, решение задачи сводится к последовательному вычислению двух неопределенных интегралов:

Заключение

Как правило, задачи с интегралами в школьном курсе математики и даже в университете имеют вполне стандартную формулировку, а их решение сводится к выбору формулы, определению пределов интегрирования и вычислению составленного интеграла.

Учите теорию и решайте задачи! И помните, что мы всегда готовы помочь Вам.

Кратко остановимся на понятиях гамильтоновой механики, которые нам будут необходимы при изучении динамики движения частиц . Однако большая часть длинных доказательств не приводится. Если материал окажется для читателя незнакомым, советуем обращаться к Голдстейну. С помощью координатных преобразований можно получить различные эквивалентные формы уравнений движения. Одну из таких форм можно получить, вводя функцию Лагранжа

где пробегают все степени свободы; кинетическая энергия; потенциальная энергия; считаем, что связи не зависят от

времени. Уравнения движения в лагранжевой форме для каждой координаты имеют следующий вид:

где Q - силы, не вытекающие из потенциала (силы трения). Уравнения (1.20) могут быть также выведены из вариационного принципа или непосредственным сравнением с ньютоновскими законами движения. Если мы определим гамильтониан через

не определяя пока продифференцируем то получим

где выражение (1.20) подставлено в третью сумму с правой стороны. Если затем определить посредством выражения

то первая сумма с правой стороны тождественно обратится в нуль, и, приравняв коэффициенты при одинаковых дифференциалах, получим форму уравнений движения, содержащую только первые производные:

Здесь обобщенный импульс, который для случая, обсуждавшегося ранее, сводится к обычному импульсу. В последующих параграфах мы будем предполагать, что все силы имеют потенциал; в этом случае и (1.24) сводится к (1.1) - каноническим уравнениям Гамильтона.

В ситуациях, где не могут быть полностью решены уравнения движения, можно получить значительную информацию относительно движения частиц, если есть возможность найти интегралы движения. Ранее качественно показано, каких упрощений можно добиться при существовании таких интегралов. Выведем некоторые свойства констант движений для гамильтоновых систем. Записывая

полную производную по времени от произвольной функции и подставляя уравнения Гамильтона (1.1), получаем

Если не зависит явно от времени и коммутирует с гамильтонианом, то член в круглых скобках исчезает, и -интеграл движения. Ясно, что если гамильтониан не является явной функцией времени, то он - интеграл движения. Если мы в качестве функции возьмем одну из компонент импульса (предполагается, что она неявная функция времени), а соответствующая координата - циклическая в гамильтониане (т. е. из (1.20) или непосредственно из уравнений Гамильтона получаем, что таким образом, интеграл движения:

Для гамильтониана, независящего явно от времени, и для специального случая, когда все координаты циклические,

Интегрируя, получаем соотношение

которое дает решение для временной зависимости переменных. Если можно найти такое преобразование, которое переводит все импульсы в константы, то выражения (1.26) - решения в преобразованной системе координат. Тогда обратное преобразование дает полное решение, записанное в первоначальных координатах.

Мы уже нашли преобразование от лагранжевой формы с переменными к гамильтоновым пер еменным Более общее преобразование ведет к теории Гамильтона - Якоби классической механики. Для перехода от переменных к новой группе переменных их можно связать посредством функции, зависящей от одной старой и одной новой переменных. Так как лагранжиан выводится из вариационного принципа, то, используя (1.21), имеем

запись можно сделать либо для координат с черточкой, либо для координат без черточки. Таким обр азом, подынтегральное выражение (1.27) для двух групп координат отличается самое большее на полный дифференциал некоторой функции, что можно выразить следующим образом:

где мы произвольно предположили, что функция Расписывая полную производную от получаем

Считая, что переменные в (1.29) независимы, находим, сравнивая члены в (1.28) и требуя, чтобы члены при равнялись нулю, что

Можно также определить произвольные функции как функции других пар переменных:

Если, к примеру, образуем преобразованием Лежандра

то получим уравнения преобразования:

Функции определяются преобразованиями, сходными с (1.31), которые ведут к соответствующим уравнениям преобразования.

С помощью этих преобразований можно показать, хотя бы формально, как могут быть решены уравнения движения динамической системы. Заслуживают интереса два случая: один - с зависящим от времени гамильтонианом, другой - с гамильтонианом, не зависящим от времени. В первом случае положим что эквивалентно преобразованию к новым координатам и импульсам, производные по времени от которых, как следует из канонических уравнений движения, равны нулю. Таким образом, координаты и импульсы сами являются константами, что можно конкретизировать как начальные значения непреобразойанных величин. Таким образом, уравнения преобразования являются в действительности

нием, дающим координату и импульс в любой момент времени в зависимости от начальных значений. Подставляя (1.32) в (1.34) с получаем дифференциальное уравнение в частных производных.