Случайная величина - величина, значение которой получается в результате пересчета или измерений и не может быть однозначно определено условиями его возникновения.
То есть случайная величина представляет собой числовые случайные события.
Случайные величины подразделяют на два класса:
Дискретные случайные величины - значения этих величин представляют собой натуральные числа, которым как отдельным событиям сопоставляются частоты и вероятности.
Непрерывные случайные величины - могут принимать любые значения из некоторого промежутка (интервала). Учитывая, что на промежутке от Х1 до Х2 числовых значений бесконечное множество, то вероятность того, что случайная величина ХiЄ(Х1,Х2) примет определенное значение, бесконечно мала. Учитывая, что невозможно перечислить все значения непрерывной случайной величины, на практике пользуются средним значением интервала (Х1,Х2).
Для дискретных случайных величин функция у=Р(х) - называется функцией распределения случайной величины и имеет график - его называют многоугольник распределения.
Различают следующие группы числовых характеристик: характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана, квантиль и др.), рассеивания (дисперсия, среднеквадратичное отклонение и др.), характеристики формы плотности распределения (показатель асимметрии, эксцесса и др.).
Математическим ожиданием (средним значением по распределению) называется действительное число, определяемое в зависимости от типа СВ Х формулой:
Математическое ожидание существует, если ряд (соответственно интеграл) в правой части формулы сходится абсолютно. Если mX = 0, то СВ Х называется центрированной (обозначается ).
Свойства математического ожидания:
где С - константа;
M = C×M[X];
M = M[X]+M[Y],
для любых СВ X и Y;
M = M[X]×M[Y] + KXY,
где KXY = M - ковариация СВ X и Y.
Начальным моментом k-го порядка (k = 0, 1, 2, ...) распределения СВ Х называется действительное число, определяемое по формуле:
nk = M = 
Центральным моментом k-го порядка распределения СВ Х называется число, определяемое по формуле:
mk = M[(X-mX)k]= 
Из определений моментов, в частности, следует, что: n0 = m0 = 1, n1 = mX, m2 = DX = sX2.
Модой СВНТ называется действительное число Mo(X) = x*, определяемое как точка максимума ПР f(x). Мода может иметь единственное значение (унимодальное распределение) или иметь множество значений (мультимодальное распределение).
Медианой СВНТ называется действительное число Mе(X) = x0, удовлетворяющее условию: P{X < x0} = P{X ³ x0} или F(x0) = 0,5.
Квантилем уровня р называется действительное число tp, удовлетворяющее уравнению: F(tp) = p. В частности, из определения медианы следует, что x0 = t0,5.
Дисперсией СВ Х называется неотрицательное число D[X] = DХ, определяемое формулой:
DX = M[(X-mX)2] = M - mX2 = 
Дисперсия существует, если ряд (соответственно интеграл) в правой части равенства сходится. Свойства дисперсии:
D[C] = 0, где С - константа;
D = C2×D[X];
дисперсия, очевидно, не меняется от смещения СВ X;
D = D[X] + D[Y] + 2×KXY,
где KXY = M - ковариация СВ X и Y;
Неотрицательное число sХ = называется среднеквадратичным отклонением СВ X. Оно имеет размерность СВ Х и определяет некоторый стандартный среднеквадратичный интервал рассеивания, симметричный относительно математического ожидания. (Величину sХ иногда называют стандартным отклонением). СВ Х называется стандартизованной, если mX = 0 и sХ = 1. Если величина Х = const (т.е. Х не случайна), то D[X] = 0.
Показателем асимметрии ПР является коэффициент асимметрии (“скошенности”) распределения: A = m3/s3X. Показателем эксцесса ПР является коэффициент эксцесса (“островершинности”) распределения: E = (m4/s4X)-3. В частности, для нормального распределения E = 0.
Упорядочная совокупность n случайных величин (СВ) Х1, Х2, ..., Хn, рассматриваемых совместно в данном опыте, называется n-мерной СВ или случайным вектором и обозначается = (Х1, Х2, ..., Хn).
Функцией распределения (ФР) n-мерного случайного вектора называется функция n действительных переменных х1, x2, ..., xn, определяемая как вероятность совместного выполнения n неравенств: F(x1, x2, ... xn) = P{ X1 < x1, X2 < x2,..., Xn < xn}. В частности, для двумерного случайного вектора (X, Y) по определению ФР имеем: F(x, y) = P{X < x, Y < y}. ФР F (х, у) обладает следующими свойствами:
1 0 £ F(x, у) £ 1;
2 F(x, у) - неубывающая функция своих аргументов;
4.
Свойство 4 обычно называют условием согласованности. Оно означает, что ФР отдельных компонент случайного вектора могут быть найдены предельным переходом из функции совместного распределения этих компонент. Вероятность попадания случайной точки на плоскости (X, Y) в прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, может быть вычислена с помощью ФР по формуле:
P{x1 £ X < x2, y1 £ Y < y2} = F(x1, y1)+ F(x2, y2)- F(x1, y2)- F(x2, y1).
Двумерный случайный вектор (X,Y) называется случайным вектором дискретного типа (СВДТ), если множество его возможных значений G(x, y) не более чем счетно. Ее закон распределения можно задать двумерной таблицей из перечня возможных значений пар компонент {(хi, yi) | (хi, yi) Î G(x, y)} и соответствующих каждой такой паре вероятностей pij = P{X = xi, Y = yj}, удовлетворяющих условию
Двумерный случайный вектор (X, Y) называется случайным вектором непрерывного типа (СВНТ), если существует такая неотрицательная функция f(x, y) называемая плотностью распределения (ПР) вероятностей случайного вектора, что:
f(x, y) = , тогда F(x, y) = .
ПР вероятностей обладает следующими свойствами:
f(x, y) ³ 0, (x, y) Î R2;
- условие нормировки.
ПР вероятностей отдельных компонент случайного вектора выражаются в виде интегралов от совместной плотности:
f(x) = f(y) = .
Вероятность попадания случайной точки в произвольную квадрируемую область S на плоскости определяется по формуле
P{(X, Y) Î S}= .
Условной плотностью распределения вероятностей случайной компоненты X при условии, что компонента Y приняла определенное значение у, называется функция f(x/y) действительной переменной х Î R: f(x/y) = f(x, y)/f(y). Аналогично определяется условная плотностью распределения вероятностей случайной компоненты Y при условии, что компонента X приняла определенное значение x: f(y/x) = f(x, y)/f(x). СВ X1, X2, ..., Хn называются независимыми (в совокупности), если для событий {Xi Î Bi}, i = 1, 2, ..., n, где B1, B2, ... Bn - подмножества числовой прямой, выполняется равенство: P{X1 Î B1, X2 Î B2, ... Xn Î Bn} = P{X1 Î B1}× P{X2 Î B2}× ... ×P{Xn Î Bn}.
Теорема: СВ X1, Х2, .... Хn независимы тогда и только тогда, когда в любой точке x = (x1, x2, ..., xn) имеет место равенство: F(x1, x2, ..., xn) = F(x1) × F (x2) × ... × F (xn) (или f(x1, x2, ..., xn) = f(x1) × f(x2) × ... × f(xn)).
Для двумерного случайного вектора (X, Y) вводятся следующие числовые характеристики.
Начальным моментом порядка r + s случайного вектора (X, Y) называется действительное число nr,s, определяемое формулой:
nr,s = M = 
Начальный момент nr,s существует, если интеграл (соответственно ряд) в правой части равенства абсолютно сходится. В частности, nr,0 = M - соответствующие начальные моменты компоненты X. Вектор с неслучайными координатами (mX, mY) = (n1,0, n0,1) называется математическим ожиданием случайного вектора (X, Y) или центром рассеивания.
Центральным моментом порядка r + s случайного вектора (X, Y) называется действительное число mr,s определяемое формулой
mr,s = M[(X-mX)r (Y-mY)s] = 
Центральный момент mr,s существует, если интеграл (соответственно ряд) в правой части равенства абсолютно сходится. Вектор с неслучайными координатами (DX, DY) = (m2,0, m0,2) называется дисперсией случайного вектора.
Центральный момент m1,1 называется корреляционным моментом (ковариацией): KXY = M = M[(X-mX)×(Y-mY)] = M-mX mY.
Коэффициентом корреляции двух случайных компонентов X и Y случайного вектора является нормированная ковариация
rXY = KXY/(sXsY).
Свойства ковариации (и коэффициента корреляции).
Если классическая теория вероятностей изучала, в основном, события и вероятность их появления (наступления), то современная теория вероятностей изучает случайные явления и их закономерности с помощью случайных величин. Понятие случайной величины, таким образом, является основополагающим в теории вероятностей. Ещё ранее проводились события, состоящие в появлении того или иного числа. Например, при бросании игральной кости могли появиться числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наперёд определить число появившихся очков невозможно, поскольку оно зависит от многих случайных причин, которые полностью не могут быть учтены. В этом смысле число очков есть величина случайная, а числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 есть возможные значения этой величины.
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта принимает то или иное (причём, одно и только одно) возможное числовое значение, наперёд неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Случайны величины
принято, обычно, обозначать прописными
буквами
,
а их возможное значения - соответствующими
строчными буквамиНапример, если случайная величинаимеет три возможных значения, то они,
соответственно, обозначаются так:.
Для удобства будем писать:
.
ПРИМЕР 1 . Число родившихся мальчиков среди ста новорожденных есть величина случайная, которая имеет следующие возможные значения: 0, 1, 2, ..., 100.
ПРИМЕР 2 . Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть также величина случайная. Действительно, расстояние зависит не только от установки прицела, но и от многих других причин (силы и направления ветра, температуры и т. п.), которые не могут быть полностью учтены. Возможные значения этой величины, очевидно, принадлежат некоторому промежутку (интервалу) .
Заметим, что с каждым случайным событием можно связать какую-либо случайную величину, принимающую значения из R. Например, опыт - выстрел по мишени; событие - попадание в мишень; случайная величина - число попаданий в мишень.
Вернёмся к примерам, приведённым выше. В первом из них случайная величина могла принять одно из следующих возможных значений: 0, 1, 2,..., 100. Эти значения отделены одно от другого промежутками, в которых нет возможных значений. Таким образом, в этом примере случайная величина принимает отдельные, изолированные, возможные значения.
Во втором примере случайная величина могла принять любое из значений промежутка . Здесь нельзя отделить одно возможное значение от другого промежутком, не содержащим возможных значений случайной величины.
Уже из сказанного можно заключить о целесообразности различать случайные величины, принимающие лишь отдельные, изолированные значения и случайные величины, возможные значения которых сплошь заполняют некоторый промежуток.
Дискретной ( прерывной ) случайной величиной называется такая случайная величина, которая принимает конечное или счётное множество 1 различных значений. Другими словами - это такая случайная величина, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.
Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.
Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка действительной числовой оси.
Очевидно, во-первых, число возможных значений непрерывной случайной величины – бесконечно. Во-вторых, дискретная случайная величина является частным случаем непрерывной случайной величины.
Закон распределения вероятностей
I . Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
На первый взгляд может показаться, что для задания дискретной случайной величины достаточно перечислить все её возможные значения. В действительности это не так: различные случайные величины иногда могут иметь одинаковые перечни возможных значений, а соответствующие вероятности этих значений – различные. Поэтому для полной характеристики мало знать значения случайной величины, нужно ещё знать, как часто эти значения встречаются в опыте при его повторении, т.е. нужно ещё указать вероятности их появления.
Рассмотрим
случайную величину
.
Появление каждого их возможных значенийсвидетельствует о том, что произошло
соответственно одно из событий,
которые образуют полную группу 2 .
Допустим, что вероятности этих событий
известны:
,
. . . ,
,
Тогда: соответствие, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называется законом распределения вероятностей случайной величины , или просто – законом распределения случайной величины.
Закон распределения вероятностей данной случайной величины можно задать таблично (ряд распределения), аналитически (в виде формулы) и графически.
При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая - их вероятности, т.е.
В целях наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки , а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения. При этом, сумма ординатпостроенного многоугольника равна единице.
Аналитически закон распределения дискретной случайной величины можно записать, например, используя формулу Бернулли для схемы повторения независимых опытов. Так, если обозначить случайную величину, которой является число бракованных деталей в выборке, через , то возможные её значениябудут 0, 1, 2, . . . ,. Тогда, очевидно, формула Бернулли будет устанавливать зависимость между значениямии вероятностью() их появления, где
,
что о определяет закон распределения данной случайной величины.
II . Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины
Вспомним, что дискретная случайная величина задаётся перечнем всех её возможных значений и их вероятностей. Такой способ задания не является общим: он не применим, например, для непрерывных случайных величин.
Действительно, рассмотрим случайную величину , возможные значения которой сплошь заполняют интервал. Можно ли составить перечень всех возможных значений? Очевидно, что этого сделать нельзя. Этот пример указывает на целесообразность дать общий способ задания любых типов случайных величин (как уже отмечалось, дискретная случайная величина является частным случаем непрерывной случайной величины). С этой целью вводятинтегральную функцию распределения.
Пусть
–
переменная, принимающая произвольные
действительные значения (на оси:) . Рассмотрим событие,
состоящее в том, что случайная величинапримет значение меньшее.
Тогда, вероятность
событиязависит от,
т.е. является функцией от.
Эту функцию принято обозначать
черези называть функцией распределения
случайной величины или, ещё – интегральной
функцией распределения. Другими словами:
интегральной функцией распределения называют функцию , определяющую для каждого значенияR вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее, т.е.
.
Геометрически это равенство можно истолковывать так: есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки.
Свойства интегральной функции :
Доказательство этого свойства вытекает из определения интегральной функции как вероятности: вероятность всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы.
Действительно,
пусть
–
событие, состоящее в том, что случайная
величинапримет
значение меньшее;
аналогично,
–
событие, состоящее в том, что случайная
величинапримет
значение меньшее.
Другими словами:
или, что то же самое:Что и требовалось показать.
Это свойство вполне
очевидно. Так, если
-
достоверное событие, а
– невозможное событие, то
Но
,
В результате, можем записать:,
что и требовалось показать.
Мы будем в основном изучать такие непрерывные случайные величины, функции распределения которых непрерывны.
.
Для непрерывной случайной величины более наглядной является не интегральная, а дифференциальная функция распределения или, так называемая, плотность распределения случайной величины.
Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Функция распределения вероятностей и ее свойства. Плотность распределения вероятности и ее свойства. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия и их свойства, среднее квадратическое отклонение, мода и медиана; начальные и центральные моменты, асимметрия и эксцесс. Числовые характеристики среднего арифметического n независимых случайных величин.Понятие случайной величины
Случайной называется величина, которая в результате испытаний принимает то или иное (но при этом только одно) возможное значение, заранее неизвестное, меняющееся от испытания к испытанию и зависящее от случайных обстоятельств. В отличие от случайного события, являющегося качественной характеристикой случайного результата испытания, случайная величина характеризует результат испытания количественно. Примерами случайной величины могут служить размер обрабатываемой детали, погрешность результата измерения какого-либо параметра изделия или среды. Среди случайных величин, с которыми приходится встречаться на практике, можно выделить два основных типа: дискретные и непрерывные.
Дискретной называется случайная величина, принимающая конечное или бесконечное счетное множество значений. Например: частота попаданий при трех выстрелах; число бракованных изделий в партии из n штук; число вызовов, поступающих на телефонную станцию в течение суток; число отказов элементов прибора за определенный промежуток времени при испытании его на надежность; число выстрелов до первого попадания в цель и т. д.
Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного интервала. Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Например: ошибка при измерении дальности радиолокатора; время безотказной работы микросхемы; погрешность изготовления деталей; концентрация соли в морской воде и т. д.
Случайные величины обычно обозначают буквами X,Y и т. д., а их возможные значения - x,y и т. д. Для задания случайной величины недостаточно перечислить все ее возможные значения. Необходимо также знать, как часто могут появиться те или иные ее значения в результате испытаний при одних и тех же условиях, т. е. нужно задать вероятности их появления. Совокупность всех возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей составляет распределение случайной величины.
Законы распределения случайной величины
Законом распределения случайной величины называется соответствие между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Про случайную величину говорят, что она подчиняется данному закону распределения. Две случайные величины называются независимыми , если закон распределения одной из них не зависит то того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины называются зависимыми . Несколько случайных величин называются взаимно независимыми , если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.
Закон распределения случайной величины может быть задан в виде таблицы, функции распределения либо плотности распределения. Таблица, содержащая возможные значения случайной величины и соответствующие вероятности, является простейшей формой задания закона распределения случайной величины.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline{X}&x_1&x_2&x_3&\cdots&x_{n-1}&x_n\\\hline{P}&p_1&p_2&p_3&\cdots&p_{n-1}&p_n\\\hline\end{array}
Табличное задание закона распределения можно использовать только для дискретной случайной величины с конечным числом возможных значений. Табличная форма задания закона случайной величины называется также рядом распределения.
Для наглядности ряд распределения представляют графически. При графическом изображении в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладывают все возможные значения случайной величины, а по оси ординат - соответствующие вероятности. Точки (x_i,p_i) , соединенные прямолинейными отрезками, называют многоугольником распределения (рис. 5). Следует помнить, что соединение точек (x_i,p_i) выполняется только с целью наглядности, так как в промежутках между x_1 и x_2 , x_2 и x_3 и т. д. не существует значений, которые может принимать случайная величина X , поэтому вероятности её появления в этих промежутках равны нулю.
Многоугольник распределения, как и ряд распределения, является одной из форм задания закона распределения дискретной случайной величины. Они могут иметь различную форму, однако все обладают одним общим свойством: сумма ординат вершин многоугольника распределения, представляющая собой сумму вероятностей всех возможных значений случайной величины, всегда равна единице. Это свойство следует из того, что все возможные значения случайной величины X образуют полную группу несовместных событий, сумма вероятностей которых равна единице.
Функция распределения вероятностей и ее свойства
Функция распределения является наиболее общей формой задания закона распределения. Она используется для задания как дискретных, так и непрерывных случайных величин. Обычно ее обозначают F(x)
. Функция распределения
определяет вероятность того, что случайная величина X
принимает значения, меньшие фиксированного действительного числа x
, т. е. F(x)=P\{X
Геометрическая интерпретация функции распределения очень проста. Если случайную величину рассматривать как случайную точку X оси Ox (рис. 6), которая в результате испытания может занять то или иное положение на оси, то функция распределения F(x) - это вероятность того, что случайная точка X в результате испытания попадет левее точки x .
Для дискретной случайной величины X , которая может принимать значения , функция распределения имеет вид
F(x)=\sum\limits_{x_i Непрерывная случайная величина имеет непрерывную функцию распределения, график этой функции имеет форму плавной кривой (рис. 8). Рассмотрим общие свойства функций распределения. Свойство 1.
Функция распределения - неотрицательная, функция, заключенная между нулем и единицей: 0\leqslant{F(x)}\leqslant1
Справедливость этого свойства вытекает из того, что функция распределения F(x)
определена как вероятность случайного события, состоящего в том, что X Свойство 2.
Вероятность попадания случайной величины в интервал [\alpha;\beta)
равна разности значений функции распределения на концах этого интервала, т. е. P\{\alpha\leqslant{X}<\beta\}=F(\beta)-F(\alpha)
Отсюда следует, что вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю. Свойство 3.
Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция, т. е. F(\beta)\geqslant{F(\alpha)}
. Свойство 4.
На минус бесконечности функция распределения равна нулю, а на плюс бесконечности - единице, т. е. \lim_{x\to-\infty}F(x)=0
и \lim_{x\to+\infty}F(x)=1
. Пример 1.
Функция распределения непрерывной случайной величины задана выражением F(x)=\begin{cases}0,&x\leqslant1\\a(x-1)^2,&1 Найти коэффициент a
и построить график F(x)
. Определить вероятность того, что случайная величина X
в результате опыта примет значение на интервале
. Решение.
Так как функция распределения непрерывной случайной величины X
непрерывна, то при x=3
получим a(3-1)^2=1
. Отсюда a=\frac{1}{4}
. График функции F(x)
изображен на рис. 9. Исходя из второго свойства функции распределения, имеем P\{1\leqslant{X}<2\}=F(2)-F(1)=\frac{1}{4}.
Функция распределения непрерывной случайной величины является ее вероятностной характеристикой. Но она имеет недостаток, заключающийся в том, что по ней трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или другой точки числовой оси. Более наглядное представление о характере распределения непрерывной случайной величины дает функция, которая называется плотностью распределения вероятности, или дифференциальной функцией распределения случайной величины. Плотность распределения
f(x)
равна производной от функции распределения F(x)
, т. е. F(x)=F"(x).
Смысл плотности распределения f(x)
состоит в том, что она указывает на то, как часто случайная величина X
появляется в некоторой окрестности точки x
при повторении опытов. Кривая, изображающая плотность распределения f(x)
случайной величины, называется кривой распределения.
Рассмотрим свойства плотности распределения.
Свойство 1.
Плотность распределения неотрицательна, т. е. F(x)\geqslant0.
Свойство 2.
Функция распределения случайной величины равна интегралу от плотности в интервале от -\infty
до x
, т. е. F(x)=\int\limits_{-\infty}^{x}f(x)\,dx.
Свойство 3.
Вероятность попадания непрерывной случайной величины X
на участок (\alpha;\beta)
равна интегралу от плотности распределения, взятому по этому участку, т. е. P\{\alpha\leqslant{X}\leqslant\beta\}=\int\limits_{\alpha}^{\beta}f(x)\,dx.
Свойство 4.
Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице: \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=1.
Пример 2.
Случайная величина X
подчинена закону распределения с плотностью F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\a\sin{x},&0 Определить коэффициент а; построить график плотности распределения; найти вероятность попадания случайной величины на участок от 0
до \frac{\pi}{2}
определить функцию распределения и построить ее график. \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=a\int\limits_{0}^{\pi}\sin{x}\,dx=\Bigl.{-a\cos{x}}\Bigl|_{0}^{\pi}=2a.
Учитывая свойство 4 плотности распределения, находим a=\frac{1}{2}
. Следовательно, плотность распределения можно выразить так: F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\\dfrac{1}{2}\sin{x},&0 График плотности распределения на рис. 10. По свойству 3, имеем P\!\left\{0 Для определения функции распределения воспользуемся свойством 2: F(x)=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{x}\sin{x}\,dx=\Bigl.{\-\frac{1}{2}\cos{x}}\Bigl|_{0}^{x}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos{x}.
Таким образом, имеем F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos{x},&0 График функции распределения изображен на рис. 11 Закон распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Но при решении ряда практических задач нет необходимости знать все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, а удобнее пользоваться некоторыми количественными показателями. Такие показатели называются числовыми характеристиками случайной величины.
Основными из них являются математическое ожидание, дисперсия, моменты различных порядков, мода и медиана. Математическое ожидание иногда называют средним значением случайной величины. Рассмотрим дискретную случайную величину X
, принимающую значения x_1,x_2,\ldots,x_n
с вероятностями соответственно p_1,p_2,\ldots,p_n
Определим среднюю арифметическую значений случайной величины, взвешенных по вероятностям их появлений. Таким образом, вычислим среднее значение случайной величины, или ее математическое ожидание M(X)
: M(X)=\frac{x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n}{p_1+p_2+\cdots+p_n}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}x_ip_i}{\sum\limits_{i=1}^{n}p_i}.
Учитывая, что \sum\limits_{i=1}^{n}p_i=1
получаем M(X)=\sum\limits_{i=1}^{n}x_ip_i}.~~~~~~~(4.1)
Итак, математическим ожиданием
дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности. Для непрерывной случайной величины математическое ожидание M(X)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}xf(x)\,dx.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины
X
, возможные значения которой принадлежат отрезку
, M(X)=\int\limits_{a}^{b}xf(x)\,dx.~~~~~~~(4.2)
Используя функцию распределения вероятностей F(x)
, математическое ожидание случайной величины можно выразить так: M(X)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}x\,d(F(x)).
Свойство 1.
Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M(X+Y)=M(X)+M(Y).
Свойство 2.
Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(XY)=M(X)M(Y).
Свойство 3.
Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: M(c)=c.
Свойство 4.
Постоянный множитель случайной величины можно вынести за знак математического ожидания: M(cX)=cM(X).
Свойство 5.
Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю: M(X-M(X))=0.
Пример 3.
Найти математическое ожидание количества бракованных изделий в выборке из пяти изделий, если случайная величина X (количество бракованных изделий) задана рядом распределения. \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline{X}&0&1&2&3&4&5\\\hline{P}&0,\!2373&0,\!3955&0,\!2637&0,\!0879&0,\!0146&0,\!0010\\\hline\end{array}
Решение.
По формуле (4.1) находим M(X)=0\cdot0,\!2373+1\cdot0,\!3955+2\cdot0,\!2637+3\cdot0,\!0879+4\cdot0,\!0146+5\cdot0,\!0010
=1,\!25.
Модой M_0
дискретной случайной величины
называется наиболее вероятное ее значение. Модой M_0
непрерывной случайной величины
называется такое ее значение, которому соответствует наибольшее значение плотности распределения. Геометрически моду интерпретируют как абсциссу точки глобального максимума кривой распределения (рис. 12). Медианой M_e
случайной величины
называется такое ее значение, для которого справедливо равенство P\{X С геометрической точки зрения медиана - это абсцисса точки, в которой площадь фигуры, ограниченной кривой распределения вероятностей и осью абсцисс, делится пополам (рис. 12). Так как вся площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице, то функция распределения в точке, соответствующей медиане, равна 0,5, т. е. F(M_e)=P\{X С помощью дисперсии и среднеквадратического отклонения можно судить о рассеивании случайной величины вокруг математического ожидания. В качестве меры рассеивания случайной величины используют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, которое называют дисперсией случайной величины
X
и обозначают D[X]
: D[X]=M((X-M(X))^2).
Для дискретной случайной величины дисперсия равна сумме произведений квадратов отклонений значений случайной величины от ее математического ожидания на соответствующие вероятности: D[X]=\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-M(X))^2p_i.
Для непрерывной случайной величины, закон распределения которой задан плотностью распределения вероятности f(x)
, дисперсия D[X]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(x-M(X))^2f(x)\,dx.
Размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины и поэтому ее нельзя интерпретировать геометрически. Этих недостатков лишено среднее квадратическое отклонение случайной величины, которое вычисляется по формуле \sigma=\sqrt{D[X]}.
Свойство 1.
Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D=D[X]+D[Y].
Свойство 2.
Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X
и квадратом ее математического ожидания: D[X]=M(X^2)-(M(X))^2.~~~~~~~(4.3).
Свойство 3.
Дисперсия постоянной величины равна нулю: D[c]=0.
Свойство 4.
Постоянный множитель случайной величины, можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D=c^2D[X].
Свойство 5.
Дисперсия произведения двух независимых случайных величин X
и Y
определяется по формуле D=D[X]D[Y]+(M(X))^2D[Y]+(M(X))^2D[X].
Пример 4.
Вычислить дисперсию количества бракованных изделий для распределения примера 3. Решение.
По определению дисперсии Обобщением основных числовых характеристик случайной величины является понятие моментов случайной величины. Начальным моментом q-го порядка
случайной величины называют математическое ожидание величины X^q
: Начальный момент первого порядка представляет собой математическое ожидание, а центральный момент второго порядка - дисперсию случайной величины. Нормированный центральный момент третьего порядка служит характеристикой скошенности или асимметрии распределения (коэффициент асимметрии
): A_s=\frac{\mu_{{}_3}}{\sigma^3}.
Нормированный центральный момент четвертого порядка служит характеристикой островершинности или плосковершинности распределения (эксцесс
): E=\frac{\mu_{{}_4}}{\sigma^4}-3.
Пример 5.
Случайная величина X
задана плотностью распределения вероятностей F(x)=\begin{cases}0,&x<0;\\ax^2,&0 Найти коэффициент a
, математическое ожидание, дисперсию, асимметрию и эксцесс. Решение.
Площадь, ограниченная кривой распределения, численно равна \int\limits_{0}^{2}f(x)\,dx=a\int\limits_{0}^{2}x^2\,dx=\left.{a\,\frac{x^3}{3}}\right|_{0}^{2}=\frac{8}{3}\,a.
Учитывая, что эта площадь должна быть равна единице, находим a=\frac{3}{8}
. По формуле (4.2) найдем математическое ожидание: M(X)=\int\limits_{0}^{2}xf(x)\,dx=\frac{3}{8}\int\limits_{0}^{2}x^3\,dx=\left.{\frac{3}{8}\cdot\frac{x^4}{4}}\right|_{0}^{2}=1,\!5.
Дисперсию определим по формуле (4.3). Для этого найдем сначала математическое ожидание квадрата случайной величины: M(X^2)=\int\limits_{0}^{2}x^2f(x)\,dx=\frac{3}{8}\int\limits_{0}^{2}x^4\,dx=\left.{\frac{3}{8}\cdot\frac{x^5}{5}}\right|_{0}^{2}=2,\!4.
Таким образом, \begin{aligned}D(X)&=M(X^2)-(M(X))^2=2,\!4-(1,\!5)^2=0,\!15;\\ \sigma(X)&=\sqrt{D(X)}=\sqrt{0,\!15}\approx0,\!3873.\end{aligned}
Используя начальные моменты, вычисляем центральные моменты третьего и четвертого порядка: \begin{aligned}\nu_1&=M(X)=1,\!5;\quad\nu_2=M(X^2)=2,\!4.\\ \nu_3&=M(X^3)=\int\limits_0^2{x^3f(x)\,dx}=\frac{3}{8}\int\limits_0^2{x^5\,dx}=\left.{\frac{3}{8}\cdot\frac{x^6}{6}}\right|_0^2=4;\\ \nu_4&=M(X^4)=\int\limits_0^2{x^4f(x)\,dx}=\frac{3}{8}\int\limits_0^2{x^6\,dx}=\left.{\frac{3}{8}\cdot\frac{x^7}{7}}\right|_0^2\approx6,\!8571;\\ \mu_3&=\nu_3-3\nu_1\nu_2+2\nu_1^3=4-3\cdot1,\!5\cdot2,\!4+2\cdot(1,\!5)^3=-0,\!05.\\ \mu_4&=\nu_4-4\nu_1\nu_3+6\nu_1^2\nu_2-3\nu_1^4=\\&=6,\!8571-4\cdot1,\!5\cdot4+6\cdot(1,\!5)^2\cdot2,\!4-3\cdot(1,\!5)^4=0,\!0696.\\ A_s&=\frac{\mu_3}{\sigma^3}=-\frac{0,\!05}{(0,\!3873)^3}=-0,\!86.\\ E&=\frac{\mu_4}{\sigma^4}-3=\frac{0,\!0696}{(0,\!3873)^4}-3=-0,\!093.\end{aligned}
Пусть x_1,x_2,\ldots,x_n
- значения случайной величины X
, полученные при n
независимых испытаниях. Математическое ожидание случайной величины равно M(X)
, а ее дисперсия D[X]
. Эти значения можно рассматривать как независимые случайные величины X_1,X_2,\ldots,X_n
с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями: M(X_i)=M(X); \quad D=D[X],~~i=1,2,\ldots,n.
Средняя арифметическая этих случайных величин \overline{X}=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{X_i}{n}.
Используя свойства математического ожидания и дисперсии случайной величины, можно записать: \begin{aligned}M(\overline{X})&=M\!\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i\right)=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}M(X_i)=M(X).~~~~~~~(4.4)\\ D[\overline{X}]&=D\!\left[\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i\right]=\frac{1}{n^2}\sum\limits_{i=1}^{n}D=\frac{D[X]}{n}.~~~~~~~(4.5)\end{aligned}
Учреждение
образования «Белорусская государственная
сельскохозяйственная
академия»
Кафедра
высшей математики Методические
указания
по
изучению темы «Случайные величины»
студентами бухгалтерского факультета
заочной формы получения образования
(НИСПО) Горки,
2013 Случайные
величины
Дискретные
и непрерывные случайные величины
Одним
из основных понятий в теории вероятностей
является понятие случайной
величины
.
Случайной
величиной
называется величина, которая в результате
испытания из множества возможных своих
значений принимает только одно, причём
заранее неизвестно, какое именно. Случайные
величины бывают дискретными
и непрерывными
.
Дискретной
случайной величиной (ДСВ)
называется случайная величина, которая
может принимать конечное число
изолированных друг о друга значений,
т.е. если возможные значения этой величины
можно пересчитать. Непрерывной
случайной величиной (НСВ)
называется случайная величина, все
возможные значения которой сплошь
заполняют некоторый промежуток числовой
прямой. Случайные
величины обозначаются заглавными
буквами латинского алфавита X,
Y,
Z
и т.д. Возможные значения случайных
величин обозначаются соответствующими
малыми буквами. Запись
Пример
1
.
Один раз бросают игральный кубик. При
этом могут выпасть цифры от 1 до 6,
обозначающие число очков. Обозначим
случайную величину Х
={число
выпавших очков}. Эта случайная величина
в результате испытания может принять
только одно из шести значений: 1, 2, 3, 4, 5
или 6. Следовательно, случайная величина
Х
есть ДСВ. Пример
2
.
При бросании камня он пролетает некоторое
расстояние. Обозначим случайную величину
X
={расстояние
полёта камня}. Эта случайная величина
может принять любое, но только одно,
значение из некоторого промежутка.
Следовательно, случайная величина Х
есть
НСВ. Закон
распределения дискретной случайной
величины
Дискретная
случайная величина характеризуется
значениями, которые она может принимать,
и вероятностями, с которыми эти значения
принимаются. Соответствие между
возможными значениями дискретной
случайной величины и соответствующими
им вероятностями называется законом
распределения дискретной случайной
величины
. Если
известны все возможные значения
Закон
распределения ДСВ можно изобразить
графически, если в прямоугольной системе
координат изобразить точки
Пример
3
.
В зерне, предназначенном для очистки,
содержится 10% сорняков. Наугад отобраны
4 зерна. Обозначим случайную величину
X
={число
сорняков среди четырёх отобранных}.
Построить закон распределения ДСВ Х
и многоугольник распределения. Решение
.
По условию примера
.
Тогда: Запишем
закон распределения ДСВ Х в виде таблицы
и построим многоугольник распределения: Математическое
ожидание дискретной случайной величины
Наиболее
важные свойства дискретной случайной
величины описываются её характеристиками.
Одной из таких характеристик является
математическое
ожидание
случайной величины. Пусть
известен закон распределения ДСВ Х
: Математическим
ожиданием
ДСВ Х
называется сумма произведений каждого
значения этой величины на соответствующую
вероятность:
Математическое
ожидание случайной величины приближённо
равно среднему арифметическому всех
её значений. Поэтому в практических
задачах часто за математическое ожидание
принимают среднее значение этой случайной
величины. Пример
8
.
Стрелок выбивает 4, 8, 9 и 10 очков с
вероятностями 0.1, 0.45, 0.3 и 0.15. Найти
математическое ожидание числа очков
при одном выстреле. Решение
.
Обозначим случайную величину X
={число
выбитых очков}. Тогда
.
Таким образом, ожидаемое среднее значение
числа выбитых очков при одном выстреле
равно 8.2, а при 10 выстрелах – 82. Основными
свойствами
математического ожидания являются: Разность
Дисперсия
дискретной случайной величины
Для
характеристики случайной величины,
кроме математического ожидания,
используется и дисперсия
,
которая даёт возможность оценить
рассеяние (разброс) значений случайной
величины около её математического
ожидания. При сравнении двух однородных
случайных величин с равными математическими
ожиданиями «лучшей» считается та
величина, которая имеет меньший разброс,
т.е. меньшую дисперсию. Дисперсией
случайной величины Х
называется математическое ожидание
квадрата отклонения случайной величины
от её математического ожидания:
. В
практических задачах для вычисления
дисперсии используют равносильную
формулу
. Основными
свойствами дисперсии являются: Определение
. Случайной величиной называют такую величину, которая в результате эксперимента принимает какое-либо одно значение из множества ее возможных значений, причем до эксперимента невозможно предсказать, какое именно. Случайными величинами являются, например, количество очков, выпадающих при бросании игрального кубика, число посетителей аптеки в течение дня, количество яблок на дереве и т. д. Случайными величинами являются также температура больного в некоторое наугад выбранное время суток, масса наугад выбранной таблетки некоторого препарата, рост наугад выбранного студента и т. д. О и - соответственно минимальный и максимальный рост студентов группы. Случайные величины принято обозначать прописными буквами латинского алфавита - X, Y, Z и т. д., а их возможные значения - соответствующими строчными буквами с числовыми индексами. Например, значения случайной величины xобозначают следующим образом:x 1 ,x 2 ,x 3 и т. д. Определение
. Случайная величина называется дискретной, если совокупность всех ее возможных значений представляет собой конечное или бесконечное, но обязательно счетное множество значений, т. е. такое множество, все элементы которого могут быть (по крайней мере, теоретически) пронумерованы и выписаны в соответствующей последовательности. Определение
. Случайная величина называется непрерывной, если множество ее возможных значений представляет собой некоторый конечный или бесконечный промежуток числовой оси. Исходя из этих определений, такие из перечисленных выше случайных величин, как количество очков, выпадающих при бросании игрального кубика, число посетителей аптеки в течение дня, количество яблок на. дереве, являются дискретными случайными величинами, а такие, как температура больного в фиксированное время суток, масса наугад выбранной таблетки некоторого препарата, рост наугад выбранного студента, - непрерывными величинами. Рассмотрим подробнее дискретные случайные величины
, причем, как правило, будем ограничивать рассмотрение такими случайными величинами, у которых количество возможных значений конечно. Наиболее полную информацию о дискретной случайной величине дает закон распределения этой величины. Определение
. Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между всеми возможными значениями этой случайной величины и соответствующими им вероятностями. Закон распределения дискретной случайной величины часто задают в виде двухстрочной таблицы, в первой строке которой перечислены все возможные значения этой величины (как правило, в порядке возрастания), а во второй - соответствующие этим значениям вероятности таблице 1: Пример 2.
Имеется десять студенческих групп, насчитывающих соответственно 12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 8, 10 и 11 студентов. Составить закон распределения случайной величины X, определяемой как число студентов в наугад выбранной группе. Решение. Возможными значениями рассматриваемой случайной величины Х являются следующие (в порядке возрастания): 8, 9, 10, 11 и 12. Поскольку случайная величина Х принимает значение, равное 8, в том случае, если наугад выбранной группой окажется группа из 8 студентов (назовем это событием А), вероятность того, что случайная величина Х примет значение Вероятность же случайного события А в соответствии с классическим определением вероятности равна Таким образом, для вероятности значения получаем: Аналогично можно найти вероятности остальных значений случайной величины X: что позволяет составить искомый закон распределения (таблица 2): Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан также с помощью формулы, позволяющей для каждого возможного значения этой величины определить соответствующую вероятность. Как правило, при изготовлении продукции на процесс её производства оказывает влияние множество различных факторов, в результате чего наблюдается разброс значений показателей качества продукцию. Таким образом, показатели качества изготовляемой продукции или оказываемых услуг следует рассматривать как случайные величины. Случайной величиной
называется такая величина, которая в результате испытаний в границах определенного интервала может принимать различные числовые значения (согласно СТБ ГОСТ Р 50779.10 случайная величина - переменная, которая может принимать любое значение из заданного множества значений и с которой связано распределение вероятностей
). Дискретными случайными величинами
называются такие, которые в результате испытаний могут принимать лишь отдельные, изолированные значения и не могут принимать значения промежуточные между ними. Например, количество негодных деталей в партии может быть только целым положительным числом 1, 2, 3 и т.д., но не может быть 1,3; 1,7 и т.п. Непрерывной случайной величиной
называется такая величина, которая в результате испытаний может принимать любые численные значения из непрерывного ряда их возможных значений в границах определенного интервала. Например, действительные размеры деталей, обработанных на станке, являются случайными величинами непрерывного типа, так как они могут принять любое численное значение в определенных границах. Возможности случайных величин принимать при испытаниях те или иные численные значения оцениваются при помощи вероятностей. Совокупность значений случайных величин, расположенных в возрастающем порядке с указанием их вероятностей для каждого из значений, называется распределением случайных величин
(согласно СТБ
ГОСТ
Р
50779.10 распределение – это функция, определяющая вероятность того, что случайная величина примет какое-либо заданное значение или будет принадлежать заданному множеству значений).
Распределение случайной величины можно представить в табличном, графическом виде и при помощи статистических оценок. При представлении распределения случайной величины в табличном виде каждому номеру исследуемой единицы продукции (номеру измерения) соответствует значение показателя качества для данной единицы продукции (результат измерения). При представлении распределения случайной величины в графическом виде строят график распределения в координатах значение случайной величины – вероятность (частота, частость) значения случайной величины. На рисунке ниже показаны графики распределения дискретной и непрерывной случайных величин. Рисунок - График распределения дискретной случайной величины Рисунок - График распределения непрерывной случайной величины Различают теоретические и эмпирические распределения случайных величин. В теоретических распределениях оценка возможных значений случайной величины производится при помощи вероятностей, а в эмпирических - при помощи частот или частостей, полученных в результате испытаний. Следовательно, эмпирическим распределением случайной величины
называется совокупность экспериментальных ее значений, расположенных в порядке возрастания, с указанием частот или частостей для каждого из значений(согласно СТБ
ГОСТ
Р
50779.10
распределение частот
– это эмпирическое отношение между значениями признака и его частотами или его относительными частотами).
Таблица. Пример табличного представления теоретического распределения дискретной случайной величины Графически эмпирическое распределение дискретной случайной величины можно представить в виде столбиковой диаграммы
, образуемой набором столбцов равной ширины, высоты которых пропорциональны частотам дискретных значений случайной величины. Рисунок - Столбиковая диаграмма дискретной случайной величины. Если случайная величина является непрерывной, то возникают некоторые сложности с представлением ее распределения в виде таблицы или графика. Поэтому на практике при изучении случайных величин непрерывного типа полученные значения разбивают на равные интервалы с таким расчетом, чтобы значение интервала было несколько больше погрешности измерения исследуемой величины. Затем подсчитывают частоты не по действительным значениям случайной величины, а по интервалам. Поэтому таблица эмпирического распределения случайной величины непрерывного типа будет иметь следующий вид. Таблица. Эмпирическое распределение случайной величины непрерывного типа. Интервал значений Х
Среднее арифметическое значение
Частота
f
i
Частость
m
i
160,031 - 160,033 160,033 - 160,035 160,035 - 160,037 160,037 - 160,039 160,039 - 160,041 160,041 - 160,043 160,043 - 160,045 160,045 - 160,047 f
i
= 100 m
i
= 1 Эмпирическое распределение случайной непрерывной величины графически может быть представлено в виде гистограммы распределения, полигона частот или полигона кумулятивных частот. Гистограмма распределения
представляет собой совокупность соприкасающихся прямоугольников, основания которых равны интервалам разбиения непрерывной случайной величины, а площади пропорциональны частотам, с которыми значения случайной величины попадают в эти интервалы (согласно СТБ
ГОСТ
Р
50779.10
гистограмма
(распределения) – это графическое представление распределения частот для количественного признака, образуемое соприкасающимися прямоугольниками, основаниями которых служат интервалы классов, а площади пропорциональны частотам этих классов).
Рисунок - Гистограмма распределения случайной непрерывной величины. Полигон частот
– это ломаная линия, получаемая при соединении точек, абсциссы которых равны серединам интервалов разбиения, а ординаты – соответствующим частотам. Рисунок - Полигон частот случайной непрерывной величины. Полигон кумулятивных
частот
– это ломаная линия, получаемая при соединении точек, абсциссы которых равны верхним границам интервалов разбиения, а ординаты – либо кумулятивным частотам, либо кумулятивным частостям (кумулятивным относительным частотам). Рисунок - Полигон кумулятивных частот случайной непрерывной величины. При теоретических описаниях случайных величин непрерывного типа используется функция распределения. Теоретическое распределение случайной непрерывной величины графически может быть представлено в виде интегральной, обратной интегральной, дифференциальной
функций распределения и функции интенсивности
. Пусть Х - случайная величина, а х - какое-либо действительное число (при этом Х < х
). Событию Х < х отвечает вероятность Р(Х < х), которая является функцией F(х), т.е. Р(Х < х) = F(х)
F(Х) называется функцией распределения
вероятностей
случайной величины или интегральной функцией распределения. Для дискретной случайной величины интегральная функция распределения F(Х) легко определяется по таблице или графику. Таким образом, для приведенного выше примера распределения дискретной случайной величины (при Х < 4):
F(X) = Р( Х
) = P(Х=1
) + P(Х=2
) + P(Х=3
) = 1/30 + 4/30 +15/30 = 19/30
График интегральной функции распределения дискретной случайной величины будет иметь вид ступенчатой кривой. Ординаты кривой для любого значения Х будут представлять сумму вероятностей предшествующих значений. Рисунок - Интегральная функция распределения дискретной случайной величины Вероятность того, что случайная величина при испытаниях окажется в границах двух заданных значений х 1 и х 2 (х 2 > х 1) равна приращению интегральной функции на этом участке, т.е. Р(х
1
≤ Х ≤ х
2
) = Р(Х < х
2
) - Р(Х < х
1
) = F(Х
2
) - F(Х
1
)
Если обратиться к выше приведенному примеру распределения дискретной случайной величины, то при х1= 2 и х2 = 3: Р(2≤Х≤3) = Р(Х < 3) - Р(Х < 2)= F(Х2) - F(Х1)= 4/30-1/30 = 3/30
Для непрерывной случайной величины график интегральной функции распределения будет иметь вид монотонно возрастающей кривой. На практике с помощью интегральной функции распределения определяют теоретические частоты распределения. Рисунок - Интегральная функция распределения непрерывной случайной величины Обратная интегральная функция распределения равна разности между единицей и интегральной функции распределения. Плотностью распределения (дифференциальной функцией распределения)
случайной величины называют первую производную от интегральной функции распределения: Для аналитического описания непрерывной случайной величины в теории надежности используют функцию интенсивности
, равную отношению дифференциальной функции распределения к обратной интегральной функции распределения: Рисунок - Функция интенсивности непрерывной случайной величины. Случайные величины и функции распределения
Понятие случайной величины.
Понятие случайной величины Функция распределения случайной величины, ее свойства Случайные величины с дискретным распределением
Понятие случайной величины с дискретным распределением Закон распределения дискретной случайной величины. Примеры дискретных распределений Случайные величины с абсолютно непрерывным распределением
Понятие случайной величины с абсолютно непрерывным распределением Закон распределения абсолютно непрерывной случайной величины. Плотность, ее свойства Примеры абсолютно непрерывных распределений Понятие случайного вектора.
Понятие случайного вектора Независимые случайные величины Совместное распределение случайных величин Понятие случайной величины.
С момента возникновения теории вероятностей ее основной задачей было изучение не вероятностных свойств экспериментов со случайными исходами, а связанных с этими экспериментами числовых величин, которые естественно назвать случайными величинами
. Например, мы можем интересоваться не парами чисел на верхних гранях кубиков, а их суммой; числом успехов или числом неудач до первого успеха в схеме Бернулли. Часто в литературе можно встретить вариации на тему следующего определения: Случайной величиной
называют переменную величину, которая в зависимости от исходов испытания принимает значения, зависящие от случая. Таким образом, случайная величина – это числовая величина, значение которой зависит от того, какой именно (элементарный) исход произошел в результате эксперимента со случайным исходом. Множество всех значений, которые случайная величина может принимать, называют множеством возможных значений этой случайной величины.
Мы приведем более строгое определение, поскольку понятие случайной величины является одним из тех ключевых понятий, которые связывают теорию вероятностей с математическим анализом и составляют понятийную основу математической статистики. Определение
. Случайной величиной
называется функция Х = Х(ω), определенная на пространстве элементарных событий Ω, для которых событие {Х < х} = {ω: Х(ω) < х} принадлежит σ-алгебре событий A для любого вещественного х. Условие {Х < х} єA дает возможность рассматривать вероятности событий {Х < х}, поскольку вероятности определены только на множествах из А
. Кроме того, через события {Х < х}, х є (-∞, ∞) с помощью известных операций над событиями можно выразить сколь угодно сложное событие, связанное со случайной величиной Х. Такое событие также будет принадлежать σ-алгебре событий A и, следовательно, для него определена вероятность. Замечание.
Таким образом, случайная величина – это функция, областью определения которой является пространство элементарных событий Ω, а множеством значений – числовое множество, возможно, все множество действительных чисел R
. σ-алгебра событий A – это область определения вероятности, если рассматривать ее как функцию. Замечание
. «Термин «случайная величина» несколько неточен, более подходящим был бы термин «Функция случая» , независимой переменной является точка в пространстве элементарных событий, т.е. исход эксперимента или случай». (В.Феллер «Введение в теорию вероятностей», гл.
IX
)
Случайные величины обозначаются буквами греческого алфавита:(кси),(эта), или заглавными буквами латинского алфавита X, Y, …Значения случайной величины будем записывать в виде конечной или бесконечной последовательностиx
1 ,x
2 ,,x
n
,; y 1 ,y 2 ,,y n
, Замечание
. Ранее мы ввели понятие вероятности применительно к некоторым событиям. Теперь мы переходим к разговору о функциях. Самое очевидное событие, которое можно связать с понятием функции – это принятие ею некоторого значения (конкретного или принадлежащего промежутку) Для исследования вероятностных свойств случайной величины необходимо знать правило, позволяющее находить вероятность того, что случайная величина примет значение из подмножества ее значений. Любое такое правило называют законом распределения вероятностей или распределением (вероятностей) случайной величины.
(при этом слово «вероятностей» обычно опускают) Общим законом распределения, присущим всем случайным величинам, является функция распределения
. Определение.
Вся совокупность вероятностей Р{Х < х}, х є (-∞, ∞) задает закон распределения случайной величины Х
в общем случае. Часто для краткости закон распределения случайной величины называют просто распределением случайной величины. Определение.
Функция F(x) = Р{Х < х}, х є (-∞, ∞) называется функцией распределения случайной величины Х.
Значение функции распределения в точке х равно вероятности события {Х < х}, то есть события, состоящего из тех и только тех элементарных исходов ω, для которых Х < х. Обычно говорят, что значение функции распределения в точке х равно вероятности того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х. Геометрически это означает следующее: F(x) – вероятность того, что случайная величина Х примет значение, которое изображается точкой на числовой прямой, расположенной слева от точки х. Замечание
. Функцию распределения называют также интегральной функцией, или интегральным законом распределения случайной величины Х
Функция распределения обладает следующими свойствами
: 0≤ F(x)≤1 (т.к. по определению, функция распределения является вероятностью) F(x 1) ≤ F(x 2) при x 1 < x 2 (т.е. F(x) – неубывающая функция) lim F(x) = 0 при x → - ∞ , lim F(x) = 1 при x → + ∞ P (x 1 ≤ X ≤ x 2) = F(x 1) - F(x 2) F(x) – непрерывная слева функция, т.е. F(x) = F(x - 0), где F(x - 0) = lim F(y) при y → x - 0 (левосторонний предел) Замечание
.
Для того, чтобы подчеркнуть, какой именно случайной величине принадлежит функция распределения F(x), этой функции иногда приписывают нижний индекс, обозначающий конкретную случайную величину. Например, F X (x) = Р{Х < х} Замечание.
В некоторых изданиях функция распределения определяется как F(x) = Р{Х ≤ х}. Такое определение ничего не меняет по существу понятия функции распределения, меняется лишь последнее, пятое свойство. Функция в таком случае оказывается непрерывной справа. Отступление: «Что такое функция?»
Пусть нам даны два множества Х и Y, причем Y – числовое множество. И пусть задано правило f, по которому каждому элементу (точке) множества Х ставится в соответствие (один и только один) элемент (число) множества Y. Правило f вместе с множествами X и Y задают функцию f. Запись y=f(x) означает, что к некоторой точке x множества X применили правило f, и в результате получили точку y из множества Y. X называется аргументом (независимой переменной), а y – значением (зависимой переменной) функции f в точке х. Множество Х называется областью определения (областью задания) функции, говорят, что функция задана на этом множестве, множество Y называется множеством значений функции. Множество Х совершенно необязательно является числовым множеством. Так, случайная величина – это функция, заданная на нечисловом пространстве элементарных событий. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, причем какое именно заранее неизвестно. Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного интервала. Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. Этот закон задается в виде таблицы, формулы или графика. Для дискретных случайных величин одним из наиболее употребительных является так называемый биномиальный закон распределения, к которому приводит схема Бернулли повторения испытаний. Формула (8) и является аналитическим выражением этого закона. Пример 11
. По каналу связи передается сообщение с помощью кода, состоящего из двух знаков. Вероятность появления первого равна 2/3. Передано три знака. Найти закон распределения для появлений первого знака. Решение.
По условию n
=4, р
=2/3, q
=1/3. Возможные значения числа появлений первого знака: 0, 1, 2 и 3. Найдем их вероятности по формуле (8): Этот закон можно представить в виде таблицы Функцией распределения называют функцию, определяющую вероятность того, что случайная величина Х
в результате испытания примет значение меньше х,
то есть Геометрически это означает, что случайная величина с вероятностью р
примет значение, которое на числовой оси изображается точкой, лежащей левее х.
Для непрерывной случайной величины функция распределения есть непрерывная кусочно-дифференцируемая функция. Из определения выводятся основные свойства: 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку , т.е. 2. F
(x
) - неубывающая функция, то есть , если 3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное на промежутке [а,b
[, равна приращению функции распределения на этом промежутке Для непрерывной случайной величины вероятность принять отдельное значение равно нулю. Поэтому для непрерывных случайных величин Пример 12
. Случайная величина Х
задана функцией распределения Найти вероятность того, что в результате испытания Х
примет значение, принадлежащее отрезку [-1;0,5]. Решение.
Из условия следует, что Х
- непрерывная случайная величина, которая может принимать значение от 0 до 1. Плотностью распределения вероятностей непрерывной
случайной величины Х
называют первую производную от функции распределения Функция распределения F(x)
есть одна из первообразных для плотности распределения. Исходя из определения плотности или дифференциального закона распределения и ее связи с функцией распределения, легко показать следующие свойства: 1. Плотность распределения непрерывной случайной величины - неотрицательная функция 2. Вероятность попадания случайной величины Х
в интервал равна 3. Из свойства 2 получим выражение для функции распределения 4. Условие нормировки Пример 13.
Дискретная величина Х
задана таблицей Найти функцию распределения и построить ее график. Решение.
1. Если , то , так как Х
не может принимать значение меньше 2. В этом случае в интервал (-¥, х)
попадает только одно значение случайной величины Х
(X
=2). Поэтому Для любого значения аргумента х
функции F(x),
удовлетворяющего данному неравенству, в интервал (-¥, х
) попадает два значения случайной величины (X
=2 и X
=3). Поскольку события, что Х
примет данные значения являются несовместными (или X
=2 или X
=3), то 4. Аналогично если Следовательно, функция распределения будет иметь вид Строим график функции распределения Рис. 1 - График функции распределения дискретной случайной величины Пример 14
. Плотность распределения ошибки измерения
где неравенство x_i
Плотность распределения вероятности и ее свойства
Числовые характеристики случайных величин
Свойства математического ожидания
Свойства дисперсии случайных величин
Числовые характеристики среднего арифметического n независимых случайных величин
Перейти к следующему разделу
Многомерные случайные величины
В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
означает
«вероятность того, что случайная величинаХ
примет значение, равное 5, равна 0.28».
случайной величиныХ
и вероятности
появления этих значений, то считают,
что закон распределения ДСВХ
известен и он может быть записан в виде
таблицы:
,
,
…,
и
соединить их отрезками прямых линий.
Полученная фигура называется
многоугольником распределения.
.
.
.
,
где
,
.
.
,
где Х
и Y
– независимые случайные величины.
называетсяотклонением
случайной величины Х
от её математического ожидания. Эта
разность является случайной величиной
и её математическое ожидание равно
нулю, т.е.
.
.
днако с математической точки зрения между такими случайными величинами, как, например, число посетителей аптеки в течение дня (обозначим эту случайную величину X 1) и рост наугад выбранного студента из некоторой группы студентов (величина Х 2), имеется принципиальное различие, а именно: для величины X 1 можно перечислить все ее возможные значения (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...), тогда как для величины Х 2 этого сделать нельзя, поскольку эта величина в результате измерения может принять любое значение из отрезка, гдеПонятие дискретных и непрерывных случайных величин
Дискретные случайные величины
, равна вероятности этого случайного события:
.
поскольку из 10 групп две насчитывают по 8 студентов.
.
Дискретные и непрерывные случайные величины
Тема 3.
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
X
P1/27
1/27
2/9
4/9
8/27
(16)
(17)
(18)Х
Р
0,1
0,3
0,4
0,2
