Одним из важнейших основных понятий теории вероятностей является понятие о случайной величине.
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.
Примеры случайных величин:
1) число попаданий при трех выстрелах;
2) число вызовов, поступавших на телефонную станцию за сутки;
3) частота попадания при 10 выстрелах.
Во всех трех приведенных примерах случайные величины могут принимать отдельные, изолированные значения, которые можно заранее перечислить.
Так, в примере 1) эти значения:
в примере 2):
в примере 3)
0; 0,1; 0,2; …; 1,0.
Такие случайные величины, принимающие только отделенные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить, называются прерывными или дискретными случайными величинами.
Существуют случайные величины другого типа, например:
1) абсцисса точки попадания при выстреле;
2) ошибка взвешивания тела на аналитических весах;
3) скорость летательного аппарата в момент выхода на заданную высоту;
4) вес наугад взятого зерна пшеницы.
Возможные значения таких случайных величин не отделены друг от друга; они непрерывно заполняют некоторый промежуток, который иногда имеет резко выраженные границы, а чаще – границы неопределенные, расплывчатые.
Такие случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, называются непрерывными случайными величинами.
Понятие случайной величины играет весьма важную роль в теории вероятностей. Если «классическая» теория вероятностей оперировала по преимуществу с событиями, то современная теория вероятностей предпочитает, где только возможно, оперировать со случайными величинами.
Приведем примеры типичных для теории вероятностей приемов перехода от событий к случайным величинам.
Производится опыт, в результате которого может появиться или не появиться некоторое событие. Вместо события можно рассмотреть случайную величину , которая равна 1, если событие происходит, и равна 0, если событие не происходит. Случайная величина, очевидно, является прерывной; она имеет два возможных значения: 0 и 1. Эта случайная величина называется характеристической случайной величиной события . На практике часто вместо событий оказывается удобнее оперировать их характеристическими случайными величинами. Например, если производится ряд опытов, в каждом из которых возможно появление события , то общее число появлений события равно сумме характеристических случайных величин события во всех опытах. При решении многих практических задач пользование таким приемом оказывается очень удобным.
С другой стороны, очень часто для вычисления вероятности события оказывается удобно связать это событие с какой-то непрерывной случайной величиной (или системой непрерывных величин).
Пусть, например, измеряются координаты какого-то объекта О для того, чтобы построить точку М, изображающую этот объект на панораме (развертке) местности. Нас интересует событие , состоящее в том, что ошибка R в положении точки М не превзойдет заданного значения (рис. 2.4.1). Обозначим случайные ошибки в измерении координат объекта. Очевидно, событие равносильно попаданию случайной точки М с координатами в пределы круга радиуса с центром в точке О. Другими словами, для выполнения события случайные величины и должны удовлетворять неравенству
Вероятность события есть не что иное, как вероятность выполнения неравенства (2.4.1). Эта вероятность может быть определена, если известны свойства случайных величин .
Такая органическая связь между событиями и случайными величинами весьма характерна для современной теории вероятностей, которая, где только возможно, переходит от «схемы событий» к «схеме случайных величин». Последняя схема сравнительно с первой представляет собой гораздо более гибкий и универсальный аппарат для решения задач, относящихся к случайным явлениям.
Учреждение образования «Белорусская государственная
сельскохозяйственная академия»
Кафедра высшей математики
Методические указания
по изучению темы «Случайные величины» студентами бухгалтерского факультета заочной формы получения образования (НИСПО)
Горки, 2013
Случайные величины
Дискретные и непрерывные случайные величины
Одним из основных понятий в теории вероятностей является понятие случайной величины . Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания из множества возможных своих значений принимает только одно, причём заранее неизвестно, какое именно.
Случайные величины бывают дискретными и непрерывными . Дискретной случайной величиной (ДСВ) называется случайная величина, которая может принимать конечное число изолированных друг о друга значений, т.е. если возможные значения этой величины можно пересчитать. Непрерывной случайной величиной (НСВ) называется случайная величина, все возможные значения которой сплошь заполняют некоторый промежуток числовой прямой.
Случайные величины обозначаются заглавными буквами латинского алфавита X, Y, Z и т.д. Возможные значения случайных величин обозначаются соответствующими малыми буквами.
Запись
означает
«вероятность того, что случайная величинаХ
примет значение, равное 5, равна 0.28».
Пример 1 . Один раз бросают игральный кубик. При этом могут выпасть цифры от 1 до 6, обозначающие число очков. Обозначим случайную величину Х ={число выпавших очков}. Эта случайная величина в результате испытания может принять только одно из шести значений: 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Следовательно, случайная величина Х есть ДСВ.
Пример 2 . При бросании камня он пролетает некоторое расстояние. Обозначим случайную величину X ={расстояние полёта камня}. Эта случайная величина может принять любое, но только одно, значение из некоторого промежутка. Следовательно, случайная величина Х есть НСВ.
Закон распределения дискретной случайной величины
Дискретная случайная величина характеризуется значениями, которые она может принимать, и вероятностями, с которыми эти значения принимаются. Соответствие между возможными значениями дискретной случайной величины и соответствующими им вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины .
Если
известны все возможные значения
случайной величиныХ
и вероятности
появления этих значений, то считают,
что закон распределения ДСВХ
известен и он может быть записан в виде
таблицы:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Закон
распределения ДСВ можно изобразить
графически, если в прямоугольной системе
координат изобразить точки
,
,
…,
и
соединить их отрезками прямых линий.
Полученная фигура называется
многоугольником распределения.
Пример 3 . В зерне, предназначенном для очистки, содержится 10% сорняков. Наугад отобраны 4 зерна. Обозначим случайную величину X ={число сорняков среди четырёх отобранных}. Построить закон распределения ДСВ Х и многоугольник распределения.
Решение . По условию примера . Тогда:
Запишем закон распределения ДСВ Х в виде таблицы и построим многоугольник распределения:
|
|
Математическое ожидание дискретной случайной величины
Наиболее важные свойства дискретной случайной величины описываются её характеристиками. Одной из таких характеристик является математическое ожидание случайной величины.
Пусть известен закон распределения ДСВ Х :
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Математическим
ожиданием
ДСВ Х
называется сумма произведений каждого
значения этой величины на соответствующую
вероятность:
.
Математическое ожидание случайной величины приближённо равно среднему арифметическому всех её значений. Поэтому в практических задачах часто за математическое ожидание принимают среднее значение этой случайной величины.
Пример 8 . Стрелок выбивает 4, 8, 9 и 10 очков с вероятностями 0.1, 0.45, 0.3 и 0.15. Найти математическое ожидание числа очков при одном выстреле.
Решение . Обозначим случайную величину X ={число выбитых очков}. Тогда . Таким образом, ожидаемое среднее значение числа выбитых очков при одном выстреле равно 8.2, а при 10 выстрелах – 82.
Основными свойствами математического ожидания являются:
.
.
,
где
,
.
.
,
где Х
и Y
– независимые случайные величины.
Разность
называетсяотклонением
случайной величины Х
от её математического ожидания. Эта
разность является случайной величиной
и её математическое ожидание равно
нулю, т.е.
.
Дисперсия дискретной случайной величины
Для характеристики случайной величины, кроме математического ожидания, используется и дисперсия , которая даёт возможность оценить рассеяние (разброс) значений случайной величины около её математического ожидания. При сравнении двух однородных случайных величин с равными математическими ожиданиями «лучшей» считается та величина, которая имеет меньший разброс, т.е. меньшую дисперсию.
Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: .
В практических задачах для вычисления дисперсии используют равносильную формулу .
Основными свойствами дисперсии являются:
.
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
§ 1. ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.
В физике и других науках о природе встречается много различных величин разной природы, как например: время, длина, объём, вес и т.д. Постоянной величиной называют ве- личину, принимающую лишь одно фиксированное значение. Величины, которые могут принимать различные значения, на-зываются переменными. Величина считается заданной, если указано множество значений, которые она может принимать. Если однозначно известно, какое именно значение из множества примет величина при создании опреде- лённых условий, то о ней говорят как об «обычной», детерминированной величине. Примером такой величины является количество букв в слове. Большинство физических величин измеряются при помощи приборов с присущей им точностью измерений и, в смысле приведенного определения, они не являются «обычными». Такого рода «необычные» величины называются случайными . Для случайных величин множество целесообразно назвать множеством возможных значений. Случайная величина принимает то или иное значе- ние с некоторой вероятностью. Заметим, что все величины можно считать случайными, так как детерминированная вели-чина – это случайная величина, принимающая каждое значение с вероятностью, равной единице. Всё сказанное выше является достаточным основанием для изучения случайных величин.
Определение. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное (но обязательно только одно) значение, причём заранее, до опыта, неизвестно, какое именно.
Понятие случайной величины является фундаментальным понятием теории вероятностей и играет важную роль в её приложениях.
Случайные величины обозначаются: , а их зна -чения, соответственно: .
Выделяют два основных класса случайных величин: диск -ретные и непрерывные.
Определение. Дискретной случайной величиной называют случайную величину, число возможных значений которой конечное либо счётное множество.
Примеры дискретных случайных величин:
1. - частота попаданий при трёх выстрелах. Возможные значения: 
2. - число деффектных изделий из штук. Возможные значения:
3. - число выстрелов до первого попадания. Возможные значения:
Определение. Непрерывной случайной величиной называют такую случайную величину, возможные значения которой не –прерывно заполняют некоторый промежуток (конечный или бесконечный).
Примеры непрерывных случайных величин:
1. - случайное отклонение по дальности от точки попада- ния до цели при выстреле из орудия.
Так как снаряд может попасть в любую точку, интервала, ограниченного минимальным и максимальным значениями дальности полёта снаряда, возможных для данного орудия, то возможные значения случайной величины заполняют про -межуток между минимальным и максимальным значением.
2. - ошибки при измерении радиолокатором.
3. - время работы прибора.
Случайная величина является своего рода абстрактым вы- ражением некоторого случайного события. С каждым случай -ным событием можно связать одну или несколько характеризу- ющих его случайных величин. Например, при стрельбе по ми -шени можно рассмотреть такие случайные величины: число попаданий в мишень, частота попаданий в мишень, количество очков, набираемых при попадании в определённые области мишени и т.д.
§ 2 ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.
Определение. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь меж- ду возможными значениями случайной величины и соответст- вующими им вероятностями.
Если вспомнить определение функции, то закон распреде -ления является функцией, область определения которой есть область значений случайной величины, а область значений рассматриваемой функции состоит из вероятностей значений случайной величины.
2.1. РЯД РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Рассмотрим дискретную случайную величину , воз- можные значения которой нам известны. Но зна- ние значений случайной величины, очевидно, не позволяет нам её полностью описать, так как мы не можем сказать, насколь- ко часто следует ожидать тех или иных возможных значений случайной величины при повторении опыта в одних и тех же условиях. Для этого необходимо знать закон распределения вероятностей.
В результате опыта дискретная случайная величина прини –мает одно из своих возможных значений, т.е. произойдёт одно из событий:
которые образуют полную группу несовместных событий.
Вероятности этих событий:
Простейшим законом распределения дискретной случайной величины является таблица, в которой приведены все возмож- ные значения случайной величины и соответствующие им ве –роятности:
Такую таблицу называют рядом распределения случайной величины .
Для наглядности, ряд распределения можно представить графиком:
Эта ломаная называется многоугольником распределения . Это также одна из форм задания закона распределения дискрет – ной случайной величины .
Сумма ординат многоугольника распределения, представля – ющая сумму вероятностей всех возможных значений случай -ной величины, равна единице.
Пример 1. Произведено три выстрела по мишени. Вероят- ность попадания при каждом выстреле равна 0,7. Составить ряд распределения числа попаданий.
Случайная величина - «число попаданий» может прин- мать значения от 0 до 3 – х, причём в этом случае вероят – ности определяются по формуле Бернулли:
.
| 0,027 | 0,189 | 0,441 | 0,343 |
Проверка
Пример 2. В урне назодится 4 белых и 6 чёрных щаров. Наугад извлекаются 4 шара. Найти закон распределения слу- чайной величины - «число белых шаров среди отобран -ных».
Эта случайная величина может принимать значения от 0 до 4 – х. Найдём вероятности аозможных значений случайной величины.
Можем проверить, что сумма полученных вероятностей рав- на единице.
2.2. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ .
Ряд распределения нельзя построить для непрерывной слу- чайной величины, так как она принимает бесконечно много значений. Более универсальным законом распределения под- ходящим, как для дискретной, так и для непрерывной слу - чайной величины является функция распределения.
Определение. Функцией распределения (интегральным зако- ном распределения) случайной величины называется зада- ние вероятности выполнения неравенства , т.е.
(1)
Таким образом, функция распределения равна вероят -ности того, что случайная величина в результате опыта попа- дает левее точки .
Для дискретной случайной величины, для которой мы знаем ряд распределения:
функция распределения будет иметь вид:
График функции распределения дискретной случайной вели- чины - разрывная ступенчатая фигура. Для наглядности, рассмотрим пример.
Пример 3 Дан ряд паспределения. Найти функцию распре -деления и построить её график
| 0,2 | 0,1 | 0,3 | 0,4 |
По определению,
СВОЙСТВА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
1 Функция распределения - это неотрицательная фун- кция, значения которой заключены между 0 и 1, т.е.
2 Вероятность появления случайной величины в про- межутке равна разности значений функции распределения на концах промежутка:
3 Функция распределения - неубывающая функция, т.е. при выполнено: ;
Перейдём в равенстве (2) к пределу при . Полу- чим вместо вероятности попадания случайной величины в про- межуток вероятность точечного значения случайной величины, т.е.
Значение этого предела зависит от того, является ли точка точкой непрерывности функции , или в этой точке функция имеет разрыв. Если функция непрерыв- на в точка , то предел равен 0, т.е. . Если же в этой точке функция имеет разрыв (1 – го ро- да), то предел равен значению скачка функции в точке .
Так как непрерывная случайная величина имеет непрерыв -ную функцию распределения , то из равенства нулю предела (3) следует, что вероятность любого фиксированного значения непрерывной случайной величины равна нулю. Это следует из того, что возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно много. Из этого, в частности, следует, что следующие вероятности совпадают:
Приведённые свойства функции распределения можно сфор- мулировать следующим образом: функция распределения - это неотрицательная неубывающая функция, удовлетворяющая ус –ловиям: Обратное утверждение также имеет место: монотонно возрастающая непрерывная функция, удовлетворяющая условиям
является функцией распределения некоторой непрерывной слу- чайной величины. Если значения этой величины сосредоточе -ны на некотором промежутке , то график этой функции можно схематически изобразить следующим образом:
Рассмотрим пример. Функция распределения непрерывной случайной величины задана следующим образом:
Найти значение « », построить график и найти веро –ятность
Так как функция распределения непрерывной случайной ве- личины непрерывна, то - непрерывная функция, и при должно выполгяться равенство:
или , т.е.
Построим график этой функции
Найдём требуемую вероятность
Замечание. Функцию распределения, иногда ещё называют интегральным законом распределения . Ниже объясним, почему именно.
2.3 ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.
Так как с помощью функции распределения дискретной
случайной величины в любой точке мы можем определить вероятность возможных значений, то она однозначно опре- деляет закон распределения дискретной случайной величины.
Однако по функции распределения трудно судить о харак- тере распределения непрерывной случайной величины в не -большой окрестности той или иной точки числовой оси.
Более наглядное представление о характере распределения непрерывной случайной величины вблизи различных точек даёт функция, которую называют плотностью распределения (или дифференциальным законом распределения)
Пусть - непрерывная случайная величина с функцикй распределения . Найдём вероятность попадания этой случайной величины в элементарный участок .
По формуле (2), имеем
Разделим это равенство на
Отношение, стоящее слева, называется средней вероятно –стью на единице длины участка.
Считая функцию дифференцируемой, перейдём к перейдём в этом равенстве к пределу
Определение. Предел отношения вероятности попадания непрерывной случайной величины на элементарный участок к длине этого участка при называ- ется плотностью распределения непрерывной случайной ве – личины и обозначается Следовательно,
Плотность распределения показывает, насколько часто слу -чайная величина появляется в некоторой окрестности точ –ки при повторении опытов.
Кривая, изображающая график плотности распределения, на- зывается кривой распрелеления.
Если возможные значения случайной величины запол- няют некоторый промежуток , то вне этого промежутка.
Определение. Случайная величина называется непре – рывной , если её функция распределения непрерывна на всей числовой прямой, а плотность распределения не- прерывна везде, за исключением может быть конечного числа точек (точек разрыва 1 – го рода).
СВОЙСТВА ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
1. Плотность распределения неотрицательна, т.е.
(это следует из того, что - производная неубывающей функции ).
2. Функция распределения непрерывной случайной величи-
ны равна интегралу от плотности распределения (и поэтому является интегральным законом распределения), т.е.
В самом деле, (по определению дифференциала функции). Следовательно,
На графике плотности распределения функция распределения
изображается площадью заштрихованной области.
3. Вероятность попадания случайной величины на участок равна интегралу от плотности распределения по этому промежутку, т.е. 
В самом деле,
4. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распре –деления равен единице, т.е.
Другими словами, площадь фигуры под графиком плотности распределения равна 1. В частности, если возможные значе- ния случайной величины сосредоточены на участке , то
Пример. Пусть плотность распределения зазана функцией
Найти: а) значение параметра ; б) функцию распределения в) Вычислить вероятность того, что случайная величи- на примет значение из отрезка .
а) По свойству 4, . Тогда
б) По свойству 2, Если
Если , 
.
Таким образом,
в) По свойству 3,
§ 3. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ
При решении многих практических задач нет необходимости знать все вероятностные характеристики случайной величины. Иногда достаточно знать только некоторые числовые характе - ристики закона распределения.
Числовые характеристики позволяют в сжатой форме выра -зить наиболее существенные особенности того или иного рас- пределения.
О каждой случайной величине прежде всего необходимо знать её среднее значения, около которого группируются все возможные значения этой величины, а также некоторое число, характеризующее степень рассеяния этих значений относитель- но среднего.
Различают характеристики положения и характеристики рас- сеяния. Одной из самых важных характеристик положения яв- ляется математическое ожидание.
3.1 Математическое ожидание (среднее значение).
Рассмотрим сначала дискретную случайную величину, име -ющую возможные значения с вероятностями
Определение. Математическим ожиданием дискретной слу- чайной величины называется сумма произведений всех возможных значений этой величины на их вероятности, т.е.
По другому, математическое ожидание обозначается
Пример. Пусть дан ряд распределения:
| 0,2 | 0,1 | 0,3 | 0,4 |
Рассмотрим теперь непрерывную случайную величину все возможные значения которой заключены в отрезке .
Разобьём этот отрезок на частичных отрезков, длины которых обозначим: 
, и в каждом частичном интервале возьмём по произвольной точке, соответственно .
Так как произведение при- ближённо равно вероятности попадания случайной величины на элементарный участок , то сумма произведений 
составленная по аналогии с опреде -лением математического ожидания дискретной случайной ве- личины, приближённо равна математическому ожиданию не -прерывной случайной величины Пусть .
Тогда 
Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется следующий определённый интеграл:
(2)
Если непрерывная случайная величина принимает значения на всей числовой прямой, то 
Пример. Пусть дана плотность распределения непрерывной случайной величины:
Тогда её математическое ожидание:
Понятие математического ожидания имеет простую меха -ническую интерпретацию. Распределение вероятностей слу -чайной величины можно интерпретироварь как распределение единичной массы по прямой. Дискретной случайной величине, принимающей значения с вероятностями соответствует прямая, на которой массы сосредоточены в точках . Непре- рывной случайной величине отвечает непрерывное распреде -ление масс на всей прямой или на конечном отрезке этой прямой. Тогда математическое ожидание - это абсцисса цент- ра тяжести .
СВОЙСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
2. Постоянный множитель можно вынести за знак матема- тического ожидания:
3. Математическое ожидание алгебраической суммы слу –чайных величин равна алгебраической сумме их мате- матических ожиданий:
4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математи -ческих ожиданий:
5. Математическое ожидание отклонения случайной вели- чины от её математического ожидания равно нулю: 
3.2. Мода и медиана случайной величины.
Это ещё две характеристики положения случайной вели- чины.
Определение. Модой дискретной случайной величины называется её наиболее вероятное значение. Для непрерыв –ной случайной величины мода - это точка максимума функ- ции .
Если многоугольник распределения (для дискретной случай- ной величины) или кривая распределение (для непрерывной случайной величины) имеет две или более точек максимума, то распределение называется двухмодальным или многомо -дальным, соответственно.
Если нет ни одной точки максимума, то распределение называется антимодальным.
Определение. Медианой случайной величины на – зывается такое её значение, относитеоьно которого равноверо- ятны получение большего или меньшего значения случайной величины, т.е.
Другими словами, - это абсцисса точки, в которой площадь под графиком плотности распределения (многоуголь- ником распределения) делится пополам.
Пример. Дана плотность случайной величины:
Найти медиану этой случайной величины.
Медиану найдём из условия 
. В нашем случае,
Из четырёх корней необходимо выбрать тот, который заключён между 0 и 2, т.е. 
Замечание . Если распределение случайной величины одно- модальное и симметричное (нормальное), то все три характе -ристики положения: математическое ожидание, мода и медиа -на, совпадают.
3.3 Дисперсия и среднее квадратическое отклонение.
Значения наблюдаемых случайных величин, обычно, более или менее колеблются около некоторого среднего значения. Это явление называется рассеянием случайной величины око- ло её среднего значения. Числовые характеристики, показыва- ющие, насколько плотно сгруппированы возможные значения случайной велипины около среднего, называются характерис – тиками рассеяния. Из свойства 5 математического ожидания следует, что линейное отклонение значений случайной вели –чины от среднего значения не может служить характеристикой рассеяния, так как положительные и отрицательные отклоне –ния «гасят» друг друга. Поэтому основной характеристикой рассеяния случайной величины принято считать математичес - кое ожидание квадрата отклонения случайной величины от среднего.
Определение. Дисперсией называется математическое ожи –дание квадрата отклонения случайной величины от её матема- тического ожидания (среднего значения), т.е.
(3)
(4) для непрерывной случайной величины:
(5)
Но, несмотря на удобства этой характеричтики рассеяния, желательно иметь характеристику рассеяния соразмерную с самой случайной величиной и её математическим ожиданием.
Поэтому вводится ещё одна характеристика рассеяния, кото -рая называется средним квадратическим отклонением и рав -на корню из дисперсии, т.е. .
Для вычисления дисперсии удобно пользоваться формулой, которую даёт следующая теорема.
ТЕОРЕМА. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной вели -чины и квадратом её математического ожиданием, т.е.
В самом деле, по определению
Так как .
СВОЙСТВА ДИСПЕРСИИ:
1. Дисперсия постоянной случайной величины равна нулю, т.е.
2. Постоянный множитель сучайной величины выносится из дисперсии с квадратом, т.е. 
3. Дисперсия алгебраической суммы двух случайных вели- чин равна сумме их дисперсий, т.е.
Следствие
из 2 и 3 свойств: 
Рассмотрим примеры..
Пример 1. Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Найти её среднее квадратическое отклонение.
| - 1 | |||||
| 0,2 | 0,05 | 0,2 | 0,3 | 0,25 |
Сначала найдём
Тогда среднее квадратическое отклонение
Пример 2 . Пусть дана плотность распределения непрерыв -ной случайной величины:
Найти её дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
3.4 Моменты случайных величин.
Различают моменты двух видов: начальные и центральные.
Определение. Начальным моментом порядка случайной
величины называют математическое ожидание величины , т.е. .
Для дискретной случайной величины:
Для непрерывной случайной величины: 
В частности, математическое ожидание - это началь- ный момент 1 – го порядка.
Определение. Центральным моментом полрядка
слу -чайной величины называется математическое ожидание ве- личины , т.е. 
Для дискретной случайной величины: 
Для непрерывной - 
Центральный момент 1 – го порядка равен нулю (свойство 5 математического ожидания); ; характеризует асимметрию (скощенность) графика плотности распределения. называется коэффициентом асимметрии.
Служит для характеристики островерхости распределения.
Определение. Эксцессом случайной величины называет- ся число
Для номально распределённой случайной величины отноше- ние . Поэтому кривые распределения, более островер- хие, чем нормальная, имеют положительный эксцесс (), а более плосковерхие имеют отрицательный эксцесс ().
Пример. Пусть дана плотность распределения случайной величины :
Найти коэффициент асимметрии и эксцесс этой случайной величины.
Найдём необходимые для этого моменты:
Тогда коэффициент асимметрии: 
(отрицательная асимметрия).
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Южно-Уральский государственный университет
(национальный исследовательский университет)»
Факультет «Приборостроительный (КТУР)»
Кафедра «Информационно-измерительная техника»
Реферат на тему
«Что такое случайная величина?»
по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»
Проверил:
______________/ А.П. Лапин
Выполнил:
студент группы ПС-236
_______________/Загоскин Я.С./
Челябинск 2015
ВВЕДЕНИЕ
1. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
ВВЕДЕНИЕ
Теория вероятностей - относительно молодая, но уже ставшая классической, ветвь математики. Развитие ее как отдельной науки пришлось на середину XVII века, и началось с переписки двух известных во всем мире французских математиков: Блеза Паскаля и Пьера де Ферма. Однако задачами, относящимися к просчету вероятностей в азартных играх, ученые начали интересоваться значительно раньше. Так, например, итальянский математик Лука Пачоли еще в 1494 в своем труде «Сумма арифметики, геометрии, отношений и пропорций» («Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalitа»), рассмотрел одну из задач о вероятностях, но, к сожалению, привел ошибочное решение.
Сегодня методы теории вероятностей и математической статистики являются неотъемлемой частью практически любой дисциплины, как технической, так и гуманитарной направленности. Законы распределения случайных величин оказались применимыми не только к математике, физике, химии, и так далее, но и к дисциплинам, носящим отчасти прогностический характер, таким как социология, экономика, политология, etc.
В данной работе, познакомимся с основными понятиями, терминами и законами теории вероятностей и математической статистики, а так же с применением последних на практике.
1. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
1.1 Определение случайной величины
Случайная величина - это фундаментальное понятие теории вероятностей и математической статистики.
Каждый автор по-своему формулирует понятие случайной величины. Е.С. Вентцель, например, определяет случайную величину, как величину, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно .
Иначе говоря, случайная величина это величина, имеющая целый набор допустимых значений, но принимающая лишь одно, и какое именно, заранее точно сказать нельзя.
Формальное математическое определение случайной величины звучит следующим образом:
Пусть (Щ, F, P) - вероятностное пространство, тогда случайной величиной называют функцию X: Щ > R .
Случайную величину на практике обычно обозначают заглавными буквами, например: X, Y, Z, тогда, как возможные значения самой величины определяются строчными знаками: x, y, z.
1.2 Виды и примеры случайных величин
Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные.
К дискретным относятся те случайные величины, множество значений которых конечно или фиксировано. Примером дискретной случайной величины, можно считать количество попаданий в цель при заранее определенном числе выстрелов.
Непрерывная случайная величина это такая величина, множество значений которой несчётно или бесконечно. В качестве примера для непрерывной случайной величины, можно взять количество кругов на воде, после попадания в нее камня, или расстояние, которое пролетит стрела, прежде чем упасть на землю.
Все случайные величины, ко всему прочему, имеют еще одну важную характеристику - ряд допустимых значений, который, в свою очередь, может как ограниченным, так и неограниченным. Отсюда, имеем, в зависимости от числа допустимых значений, ограниченные случайные величины, ряд допустимых значений конечен или фиксирован, и неограниченные, количество допустимых значений которых бесконечно.
Дискретные случайные величины могут иметь ограниченный и неограниченный ряд возможных значений, когда как непрерывные - только неограниченный.
На практике в теории вероятностей и математической статистике, как правило, имеют дело только с непрерывными случайными величинами.
2. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
2.1 Закон распределения дискретной случайной величины
Любое соотношение между допустимыми значениями случайной величины и вероятностями их наступления называют законом распределения дискретной случайной величины.
Существует два способа задания закона распределения:
· Аналитически, когда закон распределения задается в виде таблицы соответствия значений случайной величины и их вероятностью, именуемой рядом распределения:
Таблица 1 - ряд распределения случайной величины
Здесь, в первой строке располагаются возможные значения случайной величины, а во второй - их вероятности, при этом сумма всех вероятностей равна единице:
· Графически, когда таблица распределения случайно величины принимает многоугольника распределения:
Рисунок 1 - многоугольник распределения случайной величины
Где сумма всех ординат многоугольника является вероятностью всех допустимых значений случайной величины, следовательно, также равна единице.
Существует также биномиальный закон распределения дискретной случайной величины или, второе название - закон распределения Бернулли.
Определение: дискретная случайная величина о распределена по биномиальному закону, если вероятность того, что событие A наступит ровно m раз в серии из n испытаний по схеме Бернулли, равна:
Или в виде таблицы:
Таблица 2 - ряд биномиального распределения
Примером является выборочный контроль качества производственных изделий, при котором отбор изделий для пробы производится по схеме случайной повторной выборки, т.е. когда проверенные изделия возвращаются в исходную партию. Тогда количество нестандартных изделий среди отобранных есть случайная величина с биномиальным законом распределения вероятностей.
Дискретная случайная величина называется распределенной по закону Пуассона, если она имеет неограниченное счетное множество допустимых значений 0, 1, 2, …, m, … Тогда соответствующие вероятности определяются формулой (3):
M = 0, 1, 2,…; (3)
Примером явления, распределенного по закону Пуассона, является последовательность радиоактивного распада частиц.
2.2 Законы распределения непрерывной случайной величины
случайный величина теория вероятность
Рассмотренные выше правила распределения случайной величины являются справедливыми лишь по отношению к дискретным величинам, в силу того, что все перечисленные законы строятся исключительно из соображения, что количество возможных значений случайной величины конечно и строго фиксировано. Именно поэтому, например, распределить непрерывную случайную величину по закону Пуассона или Бернулли не получится, так как невозможно перечислить количество допустимых значений данной величины - оно бесконечно.
Для описания распределения непрерывных случайных величин существуют следующие законы:
Рассмотрим значения случайной величины Х такие, что Х<х. Вероятность события X<х зависит от x, т.е. является функцией x. Эта функция и называется интегральной функцией распределения и обозначается через F(x):
Равенство (4) читается:
Вероятность того, что случайное значение X находится левее значения х, определяется функцией распределения F(x).
Рисунок 2 - Графическое представление функции распределения с.в.
Стоит отметить, что в виде функции распределения, можно описывать как непрерывную, так и дискретную случайные величины - это универсальная характеристика.
Для непрерывных случайных величин на практике, наравне с функцией распределения F(x), также принято использовать другой закон распределения - плотность распределения вероятностей случайной величины:
Равенство (5) - дифференциальный закон распределения случайной величины, который выражает крутизну функции распределения F(x).
Рисунок 3 - Графическое представление дифференциального закона распределения с.в.
Заметим, что дифференциальный закон распределения случайной величины не является универсальным - он применим исключительно к непрерывным случайным величинам.
Одним из часто используемых на практике законов, является нормальный закон распределения - закон распределения Гаусса. Закон характеризует плотность вероятности нормально распределенной случайной величины X и имеет вид:
Где a и у параметры распределения имеют значения:
Кривая распределения (рисунок 4а), или кривая Гаусса, получается симметричной относительной точки x = a - точки максимума. При уменьшении значения у ордината точки максимума безгранично возрастает, кривая же при этом пропорционально расходится вдоль оси абсцисс, сохраняя площадь графика постоянной величиной, равной единице (рисунок 4б).
Рисунок 4 - Кривые распределения:
4а - кривая Гаусса,
4б - поведение кривой Гаусса при изменении параметра у;
На практике, нормальное распределение играет значимую роль во многих областях знаний, но особенное внимание ей уделяют в физике. Физическая величина подчиняется закону Гаусса, когда она подвергается влиянию большого числа случайных помех, что является крайне распространенной ситуацией, вследствие чего нормальное распределение чаще всего встречается в природе, и именно отсюда пошло ее название.
Непрерывная случайная величина называется равномерно распределенной на промежутке (a, b), если все ее возможные значения принадлежат этому промежутку и плотность распределения вероятностей постоянна - закон равномерного распределения непрерывной случайной величины, имеющий вид:
Для случайной величины Х, равномерно распределенной в интервале (a, b) (рисунок 5), вероятность попадания в любой интервал (x1, x2), лежащий внутри интервала (a, b), равна:
Рисунок 5 - График плотности равномерного распределения
В качестве примера равномерно распределенных величин, можно взять ошибки округления. Так, если все табличные значения некоторой функции округлены до одного и того же разряда, то выбирая наугад табличное значение, мы считаем, что ошибка округления выбранного числа - случайная величина, равномерно распределенная в интервале, где.
Непрерывная случайная величина X называется показательно распределенной, если плотность распределения ее вероятностей имеет вид:
В качестве примера, возьмем время Т безотказной работы компьютерной системы, где Т - случайная величина, имеющая показательное распределение с параметром л, физический смысл которого - среднее число отказов в единицу времени, не считая простоев системы для ремонта.
Рисунок 6 - График плотности показательного распределения
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Методы, средства и законы теории вероятностей и математической статистики на протяжении всех этапов формирования дисциплины, являлись актуальным, какими и остаются вплоть до наших дней. Главный принцип методов, позволивший затронуть столь огромное количество отраслей и сфер знания - универсальность. Их с легкостью можно применять в любой дисциплине, и при этом они не теряют своей силы, остаются справедливыми.
Но никогда еще теория вероятностей не была столь востребована, как сегодня. Связано это в первую очередь с невероятными темпами развития и роста вычислительной техники. С каждым годом она становится все сложнее, повышается быстродействие, количество производимых в секунду операций, и все это происходит не без участия математической статистики, которая, в свою помогает оптимизировать работу вычислительных систем и комплексов, повышает точность расчетов, осуществляет прогностическую функцию.
Данная работа частично помогает разобраться в азах дисциплины. Знакомит с фундаментальными понятиями, такими как дискретные и непрерывные случайные величины, поясняет разницу между последними. Знакомит с законами их распределения, с дальнейшим применением всех полученных знаний на практике.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей/ Е.С. Вентцель - М.:Наука, 1969г.
2. Смирнов, Н.В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений./ Н.В. Смирнов, И.В. Дунин-Барковский - М.: «Наука», 1969г.
3. Пустыльник, Е.И. Статистические методы анализа и обработка наблюдений: учебное пособие/ Е.И. Пустыльник. - М.:«Наука», 1968г.
4. Джонсон, Н. Статистика и планирование в науке и технике./ Н. Джонсон, Ф. Лион - М.: «Мир», 1969г.
5.http://www.wikipedia.org/
Аннотация
Загоскин Я.С. «Что такое случайная величина?»
Челябинск: Юургу
Библиогр. Список - 5 наим.
Цель реферата: Познакомиться с базовыми терминами теории вероятностей и математической статистики.
Задачи реферата: Разобраться с понятием случайной величины.
Рассмотрено понятие случайной величины, определена классификация случайных величин, рассмотрены законы их распределения, примеры применения законов и методов на практике, а также проанализирована перспективность дисциплины.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал. Построение графика функции распределения случайной величины. Определение вероятности того, что наудачу взятое изделие отвечает стандарту. Закон распределения дискретной случайной величины.
контрольная работа , добавлен 24.01.2013
Непрерывная случайная величина и функция распределения. Математическое ожидание непрерывной случайной величины. Среднее квадратичное отклонение. Кривая распределения для непрерывной случайной величины. Понятие однофакторного дисперсионного анализа.
контрольная работа , добавлен 03.01.2012
Описание случайных ошибок методами теории вероятностей. Непрерывные случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. Нормальный закон распределения. Понятие функции случайной величины. Центральная предельная теорема. Закон больших чисел.
реферат , добавлен 19.08.2015
Случайные величины. Функция и плотность распределения вероятностей дискретной случайной величины. Сингулярные случайные величины. Математическое ожидание случайной величины. Неравенство Чебышева. Моменты, кумулянты и характеристическая функция.
реферат , добавлен 03.12.2007
Задачи математической статистики. Распределение случайной величины на основе опытных данных. Эмпирическая функция распределения. Статистические оценки параметров распределения. Нормальный закон распределения случайной величины, проверка гипотезы.
курсовая работа , добавлен 13.10.2009
Математическое ожидание случайной величины. Свойства математического ожидания, дисперсия случайной величины, их суммы. Функция от случайных величин, ее математическое ожидание. Коэффициент корреляции, виды сходимости последовательности случайных величин.
лекция , добавлен 17.12.2010
Дискретные системы двух случайных величин. Композиция законов распределения, входящих в систему. Определение вероятности попадания случайной величины в интервал; числовые характеристики функции; математическое ожидание и дисперсия случайной величины.
контрольная работа , добавлен 22.11.2013
Плотность распределения непрерывной случайной величины. Характеристика особенностей равномерного и нормального распределения. Вероятность попадания случайной величины в интервал. Свойства функции распределения. Общее понятие о регрессионном анализе.
контрольная работа , добавлен 26.04.2013
Вычисление математического ожидания, дисперсии, функции распределения и среднеквадратического отклонения случайной величины. Закон распределения случайной величины. Классическое определение вероятности события. Нахождение плотности распределения.
контрольная работа , добавлен 25.03.2015
Функция распределения непрерывной случайной величины. Математическое ожидание непрерывной случайной величины, плотность распределения вероятностей системы. Ковариация. Коэффициент корреляции.
Случайная величина - это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать.
Формальное математическое определение следующее: пусть - вероятностное пространство, тогда случайной величиной называется функция , измеримая относительно и борелевской σ-алгебры на . Вероятностное поведение отдельной (независимо от других) случайной величины полностью описывается её распределением.
Определение [править]
Пространство элементарных событий [править]
Пространство элементарных событий в случае бросания игральной кости
Если бросается игральная кость, то в результате верхней гранью может оказаться одна из шести граней с количеством точек от одной до шести. Выпадение какой-либо грани в данном случае в теории вероятностей называется элементарным событием , то есть
Множество всех граней 
образует пространство элементарных событий , подмножества которого называются случайными событиями . В случае однократного подбрасывания игровой кости примерами событий являются
Алгебра событий [править]
Множество случайных событий образует алгебру событий , если выполняются следующие условия:
Если вместо третьего условия удовлетворяет другому условию: объединение счётного подсемейства из также принадлежит , то множество случайных событий образует σ-алгебру событий.
Алгебра событий является частным случаем σ-алгебры множеств.
Самая маленькая среди всех возможных -алгебр, элементами которой являются все интервалы на вещественной прямой, называется борелевской σ-алгеброй на множестве вещественных чисел .
Вероятность [править]
Если каждому элементарному событию поставить в соответствие число , для которого выполняется условие:
то считается, что заданы вероятности элементарных событий . Вероятность события, как счётного подмножества пространства элементарных событий, определяется как сумма вероятностей тех элементарных событий, которые принадлежат этому событию. Требование счётности важно, так как, иначе сумма будет не определена.
Рассмотрим пример определения вероятности различных случайных событий. Например, если событие является пустым множеством, то его вероятность равна нулю :
Если событием является пространство элементарных событий, то его вероятность равна единице:
Вероятность события (подмножества пространства элементарных событий) равна сумме вероятностей тех элементарных событий, которые включает в себя рассматриваемое событие.
Определение случайной величины [править]
Случайной величиной называется функция , измеримая относительно и борелевской σ-алгебры на .
Случайную величину можно определить и другим эквивалентным способом . Функция называется случайной величиной, если для любых вещественных чисел и множество событий , таких что 
, принадлежит .
Примеры [править]
равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.
.
,
то есть математическое ожидание не определено.
Классификация [править]
Случайные величины могут принимать дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные значения. Соответственно случайные величины классифицируют на дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные (смешанные).
На схеме испытаний может быть определена как отдельная случайная величина (одномерная/скалярная), так и целая система одномерных взаимосвязанных случайных величин (многомерная/векторная).
- Пример смешанной случайной величины - время ожидания при переходе через автомобильную дорогу в городе на нерегулируемом перекрёстке.
- В бесконечных схемах (дискретных или непрерывных) уже изначально элементарные исходы удобно описывать количественно. Например, номера градаций типов несчастных случаев при анализе ДТП; время безотказной работы прибора при контроле качества и т. п.
- Числовые значения, описывающие результаты опытов, могут характеризовать не обязательно отдельные элементарные исходы в схеме испытаний, но и соответствовать каким-то более сложным событиям.
С одной стороны, с одной схемой испытаний и с отдельными событиями в ней одновременно может быть связано сразу несколько числовых величин, которые требуется анализировать совместно.
- Например, координаты (абсцисса, ордината) какого-то разрыва снаряда при стрельбе по наземной цели; метрические размеры (длина, ширина и т. д.) детали при контроле качества; результаты медобследования (температура, давление, пульс и пр.) при диагностике больного; данные переписи населения (по возрасту, полу, достатку и пр.).
Поскольку значения числовых характеристик схем испытания соответствуют в схеме некоторым случайным событиям (с их определёнными вероятностями), то и сами эти значения являются случайными (с теми же вероятностями). Поэтому такие числовые характеристики и принято называть случайными величинами. При этом расклад вероятностей по значениям случайной величины называется законом распределения случайной величины.
Методы описания [править]
Частично задать случайную величину, описав этим все её вероятностные свойства как отдельной случайной величины, можно с помощью функции распределения, плотности вероятности и характеристической функции, определяя вероятности возможных её значений. Функция распределения F(x) является вероятностью того, что значения случайной величины меньше вещественного числа x. Из этого определения следует, что вероятность попадания значения случайной величины в интервал
Случайная величина, вообще говоря, может принимать значения в любом измеримом пространстве. Тогда её чаще называют случайным вектором или случайным элементом. Например,
См. также [править]
- Случайный процесс
- Функция распределения
- Математическое ожидание
Примечания [править]
- 1 2 Чернова Н. И. Глава 1. § 2. Элементарная теория вероятностей // Теория вероятностей. - Учебное пособие. - Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. - 160 с.
- Чернова Н. И. Глава 3. § 1. Алгебра и сигма-алгебра событий // Теория вероятностей. - Учебное пособие. - Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. - 160 с.
- Чернова Н. И. ГЛАВА 1 § 2. Элементарная теория вероятностей // Теория вероятностей. - Учебное пособие. - Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. - 160 с.
- 1 2 Чернова Н. И. Глава 6. Случайные величины и их распределения § 1. Случайные величины // Теория вероятностей. - Учебное пособие. - Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. - 160 с.
Литература [править]
- Гнеденко Б. В. Курс теории вероятности. - 8-е изд. доп. и испр. - М.: Едиториал УРСС, 2005. - 448 с.
- Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Прохоров Ю. В.. - 2-е изд. - М.: «Советская энциклопедия», 1998. - 847 с.
- Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. - Учебное пособие для ВУЗов. - М.: Радио и связь, 1991. - 608 с. - ISBN 5-256-00789-0
- Чернова Н. И. Теория вероятностей. - Учебное пособие. - Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. - 160 с.