Формула- закон Кулона
где к коэффициент пропорциональности
q1,q2 неподвижные точечные заряды
r расстояние между зарядами
3. Напряжённость электри́ческого по́ля - векторная физическая величина, характеризующая электрическое поле в данной точке и численно равная отношению силы действующей на неподвижный пробный заряд, помещенный в данную точку поля, к величине этого заряда : .
Напряжённость электрического поля точечного заряда
[править]В единицах СИ
Для точечного заряда в электростатике верен закона Кулона
Напряженность электрического поля произвольного распределения зарядов
По принципу суперпозиции для напряженности поля совокупности дискретных источников имеем:
где каждое
4. При́нцип суперпози́ции - один из самых общих законов во многих разделах физики. В самой простой формулировке принцип суперпозиции гласит:
· результат воздействия на частицу нескольких внешних сил есть векторная сумма воздействия этих сил.
Наиболее известен принцип суперпозиции в электростатике, в которой он утверждает, что напряженность электростатического поля, создаваемого в данной точке системой зарядов, есть сумма напряженностей полей отдельных зарядов .
Принцип суперпозиции может принимать и иные формулировки, которые полностью эквивалентны приведённой выше:
· Взаимодействие между двумя частицами не изменяется при внесении третьей частицы, также взаимодействующей с первыми двумя.
· Энергия взаимодействия всех частиц в многочастичной системе есть просто сумма энергий парных взаимодействий между всеми возможными парами частиц. В системе нет многочастичных взаимодействий .
· Уравнения, описывающие поведение многочастичной системы, являются линейными по количеству частиц.
Именно линейность фундаментальной теории в рассматриваемой области физики есть причина возникновения в ней принципа суперпозиции.
В электростатике принцип суперпозиции есть следствие того факта, что уравнения Максвелла в вакууме линейны. Именно из этого следует, что потенциальную энергию электростатического взаимодействия системы зарядов можно легко сосчитать, вычислив потенциальную энергию каждой пары зарядов.
5. Работа электрического поля.
6. Электростатический потенциал равен отношению потенциальной энергии взаимодействия заряда с полем к величине этого заряда:
Напряжённость электростатического поля и потенциал связаны соотношением
7. Принцип суперпозиции электростатических полей.Силы или поля от различных зарядов складываются с учетом их позиции или направленности (вектора). Это выражает принцип “суперпозиции” поля или потенциалов:потенциал поля нескольких зарядов равен алгебраической сумме потенциалов отдельных зарядов, φ=φ 1+φ2+…+φn= ∑i nφi. Знак потенциала совпадает со знаком заряда,φ=kq/r .
8. Потенциальная энергия заряда в электрическом поле.
Продолжим сравнение гравитационного взаимодействия тел и электростатического взаимодействия зарядов. Тело массойm
в поле тяжести Земли обладает потенциальной энергией.
Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком:
A = - (W p2 - W p1 ) = mgh .
(Здесь и далее мы будем обозначать энергию буквой W
.)
Точно так же, как тело массой m
в поле силы тяжести обладает потенциальной энергией, пропорциональной массе тела, электрический заряд в электростатическом поле обладает потенциальной энергией W
p , пропорциональной заряду q
. Работа сил электростатического поля А
равна изменению потенциальной энергии заряда в электрическом поле, взятому с противоположным знаком:
9. Теорема о циркуляции вектора напряженности в интегральной форме: 
В дифференциальной форме: 
10. Связь потенциала и напряженности. E = - grad = -Ñ .
Напряжённость в какой-либо точке электрического поля равна градиенту потенциала в этой точке, взятому с обратным знаком . Знак «минус» указывает, что напряженность E направлена в сторону убывания потенциала
11. Поток вектора напряженности
. 
Теорема Гаусса в интегральной форме: где
· 
- поток вектора напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность .
· - полный заряд, содержащийся в объёме, который ограничивает поверхность .
· - электрическая постоянная.
Данное выражение представляет собой теорему Гаусса в интегральной форме.
В дифференциальной форме:
Здесь - объёмная плотность заряда (в случае присутствия среды - суммарная плотность свободных и связанных зарядов), а - оператор набла.
12. Применение закона Гаусса. 1. Напряженность электростатического поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью .
Пусть сферическая поверхность радиуса R (рис. 13.7) несет на себе равномерно распределенный заряд q, т.е. поверхностная плотность заряда в любой точке сферы будет одинакова.
a. Заключим нашу сферическую поверхность в симметричную поверхность S с радиусом r>R. Поток вектора напряженности через поверхность S будет равен
По теореме Гаусса
Следовательно
c. Проведем через точку В, находящуюся внутри заряженной сферической поверхности, сферу S радиусом г Напряженность поля равномерно заряженной бесконечной прямолинейной нити
(или цилиндра).
Предположим, что полая цилиндрическая поверхность радиуса R заряжена с постоянной линейной плотностью . Проведем коаксиальную цилиндрическую поверхность радиуса Поток вектора напряженности через эту поверхность По теореме Гаусса Из последних двух выражений определяем напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной нитью: В это выражение не входят координаты, следовательно электростатическое поле будет однородным, а напряженность его в любой точке поля одинакова. 13. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ДИПОЛЬ
. Электрический диполь
- система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов (), расстояние между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля. Потенциал поля диполя:
Напряженность поля диполя на продолжении оси диполя в точке А
: Пусть система состоит из неподвижных точечных зарядов q 1 , q 2 , … Согласно принципу суперпозиции в любой точке поля напряженность Е=Е 1 + Е 2 +., где Е 1 - напряженность поля заряда q 1 и т.д. Тогда можно записать, используя формулу (1.8): где т.е. принцип суперпозиции оказывается справедливым и для потенциала. Таким образом, потенциал системы неподвижных точечных зарядов где r i - расстояние от точечного заряда q,
до интересующей нас точки поля. Здесь также произвольная постоянная опущена. Это полностью соответствует тому факту, что всякая реальная система зарядов ограничена в пространстве, поэтому ее потенциал на бесконечности можно принять равным нулю. Если заряды, образующие систему, распределены непрерывно, то, как обычно, мы считаем, что каждый элементарный объем dV содержит "точечный" заряд сdV, где с - объемная плотность заряда в месте нахождения объема dV. С учетом этого формуле (1.10) можно придать иной вид где интегрирование проводится или по всему пространству, или по той его части, которая содержит заряды. Если заряды расположены только на поверхности S,
то где у -
поверхностная плотность заряда; dS -
элемент поверхности S. Аналогичное выражение будет и в том случае, когда заряды распределены линейно. Итак, зная распределение зарядов (дискретное, непрерывное), мы можем в принципе найти потенциал поля любой системы. Электрическое поле, как известно, полностью описывается векторной функцией Е (r). Зная ее, мы можем найти силу, действующую на интересующий нас заряд в любой точке поля, вычислить работу сил поля при каком угодно перемещении заряда и другое. А что дает введение потенциала? Прежде всего, оказывается, зная потенциал ц (r) данного электрического поля, можно достаточно просто восстановить и само поле Е (r). Рассмотрим этот вопрос более подробно. Связь между ц и Е можно установить с помощью уравнения (1.8). Пусть перемещение dl параллельно оси X,
тогда dl =Ei dx, где i - орт оси X; dx - приращение координаты х.
В этом случае где - проекция вектора E на орт i (а не на перемещение dl). Сопоставив последнее выражение с формулой (1.8), получим где символ частной производной подчеркивает, что функцию ц (х, у, z) надо дифференцировать только по х,
считая у
и z
при этом постоянными. Рассуждая аналогично, можно получить соответствующие выражения для проекций Е у и Е z . А определив Е x , Е y , Е z легко найти и сам вектор Е Величина, стоящая в скобках, есть не что иное, как градиент потенциала ц (grad ц). Т.е. напряженность Е поля равна со знаком минус градиенту потенциала. Это и есть та формула, с помощью которой можно восстановить поле Е, зная функцию ц (r). Введем понятие эквипотенциальной поверхности - поверхности, во всех точках которой потенциал ц имеет одно и то же значение. Убедимся в том, что вектор Е направлен в каждой точке по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону уменьшения потенциалац. В самом деле, из формулы (1.13) следует, что проекция вектора Е на любое направление, касательное к эквипотенциальной поверхности в данной точке, равна нулю. А это значит, что вектор Е нормален к данной поверхности. Далее, возьмем перемещение dxпо нормали к поверхности в сторону уменьшения ц, тогда 5ц<0 и согласно (1.13) E x >0, т.е. вектор Е направлен в сторону уменьшения ц, или в сторону, противоположную вектору grad ц. Эквипотенциальные поверхности наиболее целесообразно проводить так, чтобы разность потенциалов для двух соседних поверхностей была бы одинаковой. Тогда по густоте эквипотенциальных поверхностей можно наглядно судить о значении напряженности поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены гуще ("круче потенциальный рельеф"), там напряженность поля больше. Поле точечного
заряда.
Пусть
имеется один точечный заряд q
.
Это частный случай сферической симметрии.
У нас есть формула:
,
где Поле
системы точечных зарядов. Принцип
суперпозиции.
То,
что поля складываются это совершенно
не очевидно. Это следствие линейности
уравнений Максвелла. Уравнения линейны
по
В
прошлый раз мы остановились на обсуждении
поля, создаваемом системой зарядов. И
мы видели, что поля, создаваемые каждым
зарядом в отдельности в данной точке,
складываются. При этом я подчеркнул,
что это не самая очевидная вещь, - это
свойство электромагнитного взаимодействия.
Физически оно связано с тем, что поле
само для себя не является источником,
формально это следствие того, что
уравнения линейны. Есть примеры физических
полей, которые сами для себя являются
источником. То есть, если в каком-то
объёме это поле есть, так оно создаёт
само поле в окружающем пространстве,
формально это проявляется в том, что
уравнения не линейны. Я там написал
формулу для напряжённости
Потенциал
системы точечных зарядов.
И З Поле,
создаваемое произвольным ограниченным
распределением заряда
1).
Ну,
что тут означает эпитет «ограниченный»?
То, что заряд локализован в конечной
области пространства, то есть мы можем
охватить этот заряд замкнутой поверхностью
такой, что вне этой поверхности заряда
нет. Понятно, что с точки зрения физики
это не ограничение, ну, и, действительно,
мы имеем дело практически всегда только
с ограниченными распределениями, нет
такой ситуации, чтобы заряд был размазан
по всей вселенной, он концентрируется
в определённых областях. В Пусть
нас интересует поле в точке
Этот
рецепт срабатывает железно для любого
предъявленного распределения заряда,
никаких проблем, кроме вычисления
интеграла, нет, но компьютер такую сумму
посчитает. Напряжённость поля находится:
В калибровке Кулона рассчитаны потенциалы поля произвольного распределения зарядов и токов. Показано, что векторный потенциал определяется не только значениями плотности тока в запаздывающие моменты времени, но и предысторией изменения плотности заряда на временном интервале, ограниченном запаздывающим и текущим моментами. Получены различные представления потенциалов Лиенара – Вихерта в калибровке Кулона. Они применены к случаю равномерно и прямолинейно движущегося точечного заряда. Александр Николаевич Фурс, Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Республика Беларусь
доктор физико-математических наук, доцент; профессор кафедры теоретической физики и астрофизики физического факультета 1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. М., 1973. Ключевые слова Калибровочная инвариантность,
калибровки Лоренца и Кулона,
запаздывающие потенциалы,
потенциалы Лиенара – Вихерта Подставив, получаем: где V
- область пространства, где расположены заряды (ненулевая плотность заряда), или всё пространство, - радиус-вектор точки, для которой считаем , - радиус-вектор источника, пробегающий все точки области ^
V
при интегрировании, dV
- элемент объема. Электрическое поле, в котором напряженность одинакова по модулю и направлению в любой точке пространства, называется однородным электрическим полем
.
Приблизительно однородным является электрическое поле между двумя разноименно заряженными плоскими металлическими пластинами. Линии напряженности в однородном электрическом поле параллельны друг другу При равномерном распределении электрического заряда q
по поверхности площади S
поверхностная плотность заряда постоянна и равна 4.Потенц. электростат. поля. Эквипотенц. поверхн. Ур-е эквип. поверхн. Электростатическим полем называется электрическое поле неподвижных в выбранной системе отсчета зарядов. Основными характеристиками электростатического поля являются напряженность и потенциал. Потенциал в какой либо точке эл.стат. поля есть физическая величина, определяемая потенциальной энергией положительного заряда, помещённого в эту точку. Разность потенциалов двух точек равна работе при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2. За нулевой потенциал часто удобно принимать потенциал бесконечно удаленной точки пространства. Потенциал
– энергетическая характеристика электростатического поля. Если нулевой уровень потенциальной энергии системы зарядов условно выбрать на бесконечности, то выражение представляет собой работу внешней силы по перемещению единичного положительного заряда из бесконечности в рассматриваемую точку В: Поверхность, во всех точках которой потенциал электрического поля имеет одинаковые значения, называется эквипотенциальной поверхностью. Между двумя любыми точками на эквипотзенциальной поверхности разность потенциалов равна нулю, поэтому работа сил электрического поля при любом перемещении заряда по эквипотенциальной поверхности равна нулю. Это означает, что вектор силы Fэ в любой точке траектории движения заряда по эквипотенциальной поверхности перпендикулярен вектору скорости. Следовательно, линии напряженности электростатического поля перпендикулярны эквипотенциальной поверхности. Если потенциал задан как функция координат (x, y, z), то уравнение эквипотенциальной поверхности имеет вид: φ(x, y, z) = const Эквипотенциальными поверхностями поля точечного электрического заряда являются сферы, в центре которых расположен заряд. Эквипотенциальные поверхности однородного электрического поля представляют собой плоскости, перпендикулярные линиям напряженности. 5.Связь между напряж.и потенциалом. Потенциалы полей точечного заряда и произв. заряж. тела. Потенц. однородного поля. Найдем взаимосвязь между напряженностью электростатического поля, являющейся его силовой характеристикой, и потенциалом - энергетической характеристикой поля. Работа по перемещению единичного точечного положительного заряда из одной точки в другую вдоль оси х при условии, что точки расположены бесконечно близко друг к равна А=Exdxq0. Та же работа равна A=(1-2)q0=-d Приравняв оба выражения, можем записать Ex=-д/дx. Анлогично Ey=-д/дy, Ez=-д/z. Следовательно Е= Exi+ Eyj+ Ezk, где i, j, k - единичные векторы координатных осей х, у, z. Тогда Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля, как и в случае ноля тяготения, пользуются эквипотенциальными поверхностями - поверхностями, во всех точках которых потенциал имеет одно и то же значение. Если поле создается точечным зарядом, то его потенциал, согласно, =(1/40)Q/r. Таким образом, эквипотенциальные поверхности в данном случае - концентрические сферы. С другой стороны, линии напряженности в случае точечного заряда - радиальные прямые. Следовательно, линии напряженности в случае точечного заряда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. ^
Потенциал поля точечного заряда
Q
в однородной изотропной среде с диэлектрической проницаемостью : Потенциал однородного поля
: 6. работа сил элктростат. поля по переносу точечного заряда. Циркуляция и ротор электростат. Поля Элементарная работа, совершаемая силой F при перемещении точечного электрического заряда qпр из одной точки электростатического поля в другую на отрезке пути dl , по определению равна где - угол между вектором силы F и направлением движения dl. Если работа совершается внешними силами, то dA=0. Интегрируя последнее выражение, получим, что работа против сил поля при перемещении пробного заряда qпр из точки “а” в точку “b” будет равна… где - кулоновская сила, действующая на пробный заряд qпр в каждой точке поля с напряженностью Е. Тогда работа… Пусть заряд перемещается в поле заряда q из точки “а”, удалённой от q на расстоянии в точку “b”, удаленную от q на расстоянии (рис 1.12). Как видно из рисунка тогда получим Как было сказано выше, работа сил электростатического поля, совершаемая против внешних сил, равна по величине и противоположна по знаку работе внешних сил, следовательно Работа электростатических сил по любому замкнутому контуру равна нулю. т.е. циркуляция электростатического поля по любому контуру равна нулю. Возьмем любую поверхность S
, опирающуюся на контур Г
. По теореме Стокса: так как это для любой поверхности Существует тождество: . т.е. силовые линии электростатического поля не циркулируют в пространстве. 7. т-ма гауса для поля вектора E(r). Диверг. Электростат. Поля. Ур-е Пуасона для потенц. Электростат. Поля ^
Теорема Гаусса
- основная теорема электродинамики, которая применяется для вычисления электрических полей. Она выражает связь между потоком напряжённости электрического поля сквозь замкнутую поверхность и зарядом в объёме, ограниченной этой поверхностью. Поток вектора напряжённости электрического поля через любую, произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности электрическому заряду. , где Для теоремы Гаусса справедлив принцип суперпозиции, то есть поток вектора напряжённости через поверхность не зависит от распределения заряда внутри поверхности. Теорема Гаусса для вектора напряженности электростатического поля может быть сформулирована и в дифференциальной форме. Действительно, рассмотрим поле точечного электрического заряда , расположенного в начале координат: Легко проверить, что для , то есть для точки наблюдения, в которой нет электрического заряда, справедливо соотношение: Уравнение Пуассона
- эллиптическое ду в частных производных, которое, среди прочего, описывает электростатическое поле. Это уравнение имеет вид: где Δ - оператор Лапласа или лапласиан, а f
- действительная или комплексная функция на некотором многообразии. В трёхмерной декартовой системе координат уравнение принимает форму: В декартовой системе координат оператор Лапласа записывается в форме и уравнение Пуассона принимает вид: Если f
стремится к нулю, то уравнение Пуассона превращается в ур-е Лапласа: В области пространства, где нет непарной плотности заряда, имеем: =0 и уравнение для потенциала превращается в уравнение Лапласа: Электростатическое поле - поле, созданное неподвижными в пространстве и неизменными во времени электрическими зарядами (при отсутствии электрических токов). Если в пространстве имеется система заряженных тел, то в каждой точке этого пространства существует силовое электрическое поле. Оно определяется через силу, действующую на пробный заряд, помещённый в этом поле. Пробный заряд должен быть малым, чтобы не повлиять на характеристику электростатического поля. В силу принципа суперпозиции потенциал всей совокупности зарядов равен сумме потенциалов, создаваемых в данной точке поля каждым из зарядов в отдельности: : Величинаназывается электрическим дипольным моментом системы зарядов. ^
Электрич. дипольным моментом
или просто дипольным моментом
системы зарядов q i называется сумма произведений величин зарядов на их радиус-векторы . Обычно дипольный момент обозначается латинской буквой d или латинской буквой p. Дипольный момент имеет чрезвычайное значение в физике при изучении нейтральных систем. Действие электрического поля на нейтральную систему зарядов и электрическое поле создано нейтральной системой определяются в первую очередь дипольным моментом. Это, в частности, касается атомов и молекул. Нейтральные системы зарядов с отличным от нуля дипольным моментом называют диполями.
Свойства:
Всего определенный выше дипольный момент зависит от системы отсчета. Однако для нейтральной системы сумма всех зарядов равна нулю, поэтому зависимость от системы отсчета исчезает. Самый диполь состоит из двух одинаковых по абсолютной величине, но противоположных по направлению зарядов + q и-q, которые находятся на определенном расстоянии r друг от друга. Дипольный момент тогда равна по абсолютной величине qr и направлен от положительного до отрицательного заряда. В случае непрерывного распределения заряда с плотностью дипольный момент определяется интегрированием 9. Диполь во внешнем электростат. Поле. Момент сил, действующий на диполь, потенц. Энергия диполя в однородном поле. Электрическим диполем называют систему двух одинаковых по величине разноименных точечных зарядов и , расстояние между которыми значительно меньше расстояния до тех точек, в которых определяется поле системы. Прямая, проходящая через оба заряда, называется осью диполя. В соответствии с принципом суперпозиции потенциал поля в некоторой точке А равен: . Вектор направлен по оси диполя от отрицательного заряда к положительному. Таким образом, произведение в формуле для является дипольным моментом и соответственно: Поместим диполь в электрическое поле. Пусть направление диполя составляет с направлением вектора напряженности некоторый угол . На отрицательный заряд действует сила , направленная против поля, на положительный заряд действует сила , направленная вдоль поля. Эти силы образуют пару сил
с вращающим моментом: В векторном виде: ^
Диполь в однородном внешнем поле поворачивается под действием вращающего момента
таким образом, чтобы сила, действующая на положительный заряд диполя, совпадала по направлению с вектором и осью диполя. Этому положению соответствует и 10. Диэлектрики в электростат. Поле. Векторы поляризованности и эл. Смещения. Диэл. Восприимч. И прониц. Среды. Связь между ними. Диэлектрики – вещества, не имеющие практически свободных носителей заряда. Поэтому они не проводят ток, заряды не переходят, но поляризуются. диэлектрики – это вещества молекулярного строения, силы связи их зарядов внутри больше сил внешнего поля и они связаны, замкнуты внутри молекул и вовнешнем поле лишь частично сдвигаются, вызывая поляризацию. При наличии внешнего электростатического поля напряженностью молекулы диэлектрика деформируются. Положительный заряд смещается по направлению внешнего поля, а отрицательный – в противоположном направлении, образуя диполь – связанный заряд. В диэлектриках, имеющих дипольные молекулы, их электрические моменты под влиянием внешнего поля частично ориентируются по направлению поля. У большинства диэлектриков направление вектора поляризованности совпадает с направлением вектора напряженности внешнего поля, а направление вектора напряженности поляризованных зарядов противоположно направлению вектора напряженности внешнего поля (от + Q
к – Q
). Вектор поляризованности
определяют по геометрической сумме электрических моментов диполей в единице объема. Для большинства диэлектриков где k – относительная диэлектрическая восприимчивость. В электротехнических расчетах используется также вектор электрического смещения (индукции):
,где .Вектор зависит как от свободных, так и от связанных зарядов. Диэлектрическая проницаемость
среды ε показывает, во сколько раз сила взаимодействия двух электрических зарядов в среде меньше, чем в вакууме. Диэлектрическая восприимчивость
(поляризуемость
) вещества - физическая величина, мера способности вещества поляризоваться под действием электрического поля. Поляризуемость связана с диэлектрической проницаемостью ε соотн: 11. т-ма Гаусса для полей векторов P(r) и D(r) в интегр. И деф. Формах Теорема Гаусса для вектора :поток вектора поляризованности сквозь замкнутую поверхность равна взятому с противоположным знаком избыточному связанному заряду диэлектрика в объеме, охватываемом поверхностью . Дифференциальная форма: дивергенция вектора поляризованности равна взятой с противоположным знаком объемной плотности избыточного связанного заряда в этой же точке. Точки, где - источники поля (из них линии поля расходятся), и наоборот, точки, где - стоки поля . Плотность; , когда: 1) - диэлектрик неоднороден; 2) - поле неоднородно. При поляризации однородного изотропного диэлектрика появляются только поверхностные связанные заряды, а объемные – нет. ^
Теорема Гаусса для вектора D
Поток вектора электрического смещения D сквозь замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме свободных зарядов, расположенных в объеме, ограниченном этой поверхностью, т. е. (1) Если не зависит от координат (изотропная среда), то Из ур-я (1) следует, что когда заряд расположен вне объема, ограниченного замкнутой поверхностью S
,
поток вектора D сквозь поверхность S равен нулю. Применяя к левой части (1) теорему Гаусса - Остроградского и выражая q
через объемную плотность заряда р, получаем: Дифференциальная форма
теоремы Гаусса - Остроградского (2-78) утверждает, что источниками вектора электрического смещения являются электрические заряды. В тех областях пространства, где р=0, источников вектора электрического смещения нет и, следовательно, силовые линии не имеют разрывов, т. к. div D=0. Для сред с абсолютной диэлектрической проницаемостью, ие зависящей от координат, можно записать: В металлических проводниках имеются свободные носители заряда – электроны проводимости (свободные электроны), которые могут под действием внешнего электрического поля перемещаться по всему проводнику. В отсутствие внешнего поля электрические поля электронов проводимости и положительных ионов металла взаимно компенсируются. Если металлический проводник внести во внешнее электростатическое поле, то под действием этого поля электроны проводимости перераспределяются в проводнике таким образом, чтобы в любой точке внутри проводника электрическое поле электронов проводимости и положительных ионов скомпенсировало внешнее поле. ^
Явлением электростатической индукции
называется перераспределение зарядов в проводнике под влиянием внешнего электростатического поля. При этом на проводнике возникают заряды, численно равные друг другу, но противоположные по знакам – индуцированные (наведенные) заряды, которые исчезают, как только проводник удаляется из электрического поля. Поскольку внутри проводника E=-grad фи=0 то потенциал будет постоянной величиной. Нескомпенсированные заряды располагаются в проводнике только на его поверхности. при помещении нейтрального проводника во внешнее поле свободные заряды начнут перемещаться: положительные – по полю, а отрицательные – против поля. На одном конце проводника будет избыток положительных зарядов, на другом – отрицательных. Окончательно внутри проводника напряженность поля станет равна нулю, а линии напряженности вне проводника – перпендикулярными его поверхности. для шара
радиусом R У паралельно соединённых кон-ров разность потенциалов одинакова, у последовательно соединённых кон-ров заряды всех обкладок равны по модулю. 14.Энергия заряженного конденсатора. Энергия и плотность энергии электростатического поля. Как всякий заряженный проводник, конденсатор обладает энергией, которая равна W = C ()2/2=Q/2=Q2/(2C), (1) где Q - заряд конденсатора, С - его емкость, - разность потенциалов между обкладками. Используя выражение (1), можно найти механическую силу, с которой пластины конденсатора притягивают друг друга. Для этого предположим, что расстояние х между пластинами меняется, например, на величину Ах. Тогда действующая сила совершает работу dA=Fdx , вследствие уменьшения потенциальной энергии системы Fdx=-dW, откуда F=dW/dx. (2) Производя дифференцирование при конкретном значении энергии найдем искомую силу: где знак минус указывает, что сила F является силой притяжения. ^
Энергия электростатического поля.
Преобразуем формулу (1), выражающую энергию плоского конденсатора посредством зарядов и потенциалов, воспользовавшись выражением для емкости плоского конденсатора (C = 0/d) и разности потенциалов между его обкладками ( =Ed). Тогда получим где V=Sd - объем конденсатора. Данная ф-ла показывает, что энергия конденсатора выражается через величину, характеризующую электростатическое поле,- напряженность Е. Объемная плотность энергии электростатического поля
(энергия единицы объема) w=W/V=0E2/2 = ED/2. (95.8) Выражение (95.8) справедливо только для изотропного диэлектрика, для которого выполняется соотношение Р=0Е. Формулы (1) и (95.7) соответственно связывают энергию конденсатора с зарядом на его обкладках и с напряженностью поля. Магнитная индукция однородного магнитного поля определяется максимальным вращающим моментом действующим на рамку с магн. моментом равным единице, когда нормаль перпендикулярна направлению поля. ^
Принцип суперпозиции магнитных полей
: если магнитное поле создано несколькими проводниками с токами, то вектор магнитной индукции в какой-либо точке этого поля равен векторной сумме магнитных индукций, созданных в этой точке каждым током в отдельности: Модуль силы Лоренца равен произведению модуля индукции магнитного поля B(вектор), в котором находится заряженная частица, модуля заряда q этой частицы, ее скорости υ и синуса угла между направлениями скорости и вектора индукции магнитного поля Так как сила Лоренца перпендикулярна вектору скорости частицы, то она не может изменить значение скорости, а изменяет только ее направление и, следовательно, не совершает работы. ^
Движение заряженных частиц в магнитном поле.
Если заряженная частица движется в магн. поле перпендикулярно вектору В, то сила Лоренца постоянна по модулю и нормальна к траектории движения частицы. ^
Электрический ток
- это упорядоченное движение заряженных частиц в проводнике. Чтобы он возник, следует предварительно создать электрическое поле, под действием которого вышеупомянутые заряженные частицы придут в движение. ^
Закон Ома
-Сила тока в однородном участке цепи прямо пропорциональна напряжению, приложенному к участку, и обратно пропорциональна электрическому сопротивлению этого участка.
Сила тока - скалярная физическая величина, определяемая отношением заряда Δq, проходящего через поперечное сечение проводника за некоторый промежуток времени Δt, к этому промежутку времени. 
Плечо диполя
- вектор , направленный по оси диполя (прямой, проходящей через оба заряда) от отрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между зарядами.
Электрический момент диполя (дипольный момент):
.
Напряженность поля диполя
в произвольной точке (согласно принципу суперпозиции):
где и - напряженности полей, создаваемых соответственно положительным и отрицательным зарядами.
.
Напряженность поля диполя на перпендикуляре, восставленном к оси из его середины в точке B
:
.
Потенциал поля системы зарядов
Связь между потенциалом и напряженностью поля
Эквипотенциальные поверхности
– заряд внутри сферы радиусаr
,
но если заряд точки, то для точечного
заряда
,
при любомr
.
Понятно почему, на любом радиусе внутри
сферы точка остаётся точкой. И для
точечного заряда
.
Это поле точечного заряда. Потенциал
поля точечного заряда:
.
Пусть
мы имеем систему зарядов
,
тогда напряжённость поля, создаваемая
системой точечных зарядов, в любой точке
равна сумме напряжённостей, создаваемых
каждым из зарядов. Я мог бы сразу написать
,
если бы вы свободно читали формулы.
Учитесь читать формулы повествовательно.
Заряд
умножьте на вектор
,
и разделите на модуль этого вектора, а
что такое модуль вектора это длина. Эта
вся штука даёт вектор, направленный
вдоль вектора
.
.
Это означает, что, если вы нашли два
решения, то они складываются. Бывают ли
поля, для которых не выполняется принцип
суперпозиции? Бывают. Гравитационное
поле не в ньютоновской теории, а в
правильной, не удовлетворяет принципу
суперпозиции. Земля создаёт в некоторой
точке определённую напряжённость. Луна
тоже. Поставили Землю и Луну, напряжённость
в точке не равна сумме напряжённостей.
Уравнение поля не линейно, физически
это означат, что гравитационное поле
является само себе источником. Так. Всё,
конец.
,
напишем ещё формулу для потенциала.
меется
система зарядов
и
т.д. И тогда для некоторой точки
мы напишем такую формулу:
.
Значит, вот такой рецепт для потенциала.
Напряжённость равна сумме напряжённостей,
потенциал равен сумме потенциалов.
амечание.
Практически всегда удобнее вычислять
потенциал, а не напряжённость, по понятным
причинам: напряжённость – это вектор,
и векторы надо складывать по правилу
сложения векторов, ну, правилу
параллелограмма, это занятие, конечно,
более скучное, чем складывать числа,
потенциал – это скалярная величина.
Поэтому, практически всегда, когда мы
имеем достаточно плотное распределение
заряда, ищем потенциал, напряжённость
поля потом находим по формуле:
. 1)
от
такая проблема: областьзанята
зарядом, по этой области размазан
электрический заряд, мы должны полностью
охарактеризовать этот заряд и найти
создаваемое им поле. Что значит полностью
охарактеризовать распределение заряда?
Возьмём элемент объёма
,
положение этого элемента задаётся
радиус-вектором
,
в этом элементе сидит заряд
.
Для того, чтобы найти поле, нам нужно
знать заряд каждого элемента объёма,
это означает, что нам нужно знать
плотность заряда в каждой точке. Вот
эта функция
предъявлена, она для нашей цели
исчерпывающе характеризует распределение
заряда, больше ничего знать не надо.
.
А дальше принцип суперпозиции. Мы можем
считать зарядdq
,
который сидит в этом элементе объёма,
точечным 2).
Мы можем написать сразу выражение для
потенциала, который создаёт этот элемент
в этой точке:
,
это потенциал, создаваемый элементом
в точке
.
А теперь понятно, что полный потенциал
в этой точке мы найдём суммированием
по всем элементам. Ну, и напишем эту
сумму как интеграл:
. 3)
.
Когда интеграл вычислен, то напряжённость
находится просто дифференцированием.Аннотация
Биография автора
Литература
2. Джексон Дж. Классическая электродинамика. М., 1965.
3. Бредов М. М., Румянцев В. В., Топтыгин И. Н. Классическая электродинамика. М., 1985.
4. Гайтлер В. Квантовая теория излучения. М., 1956.
5. Гинзбург В. Л. Теоретическая физика и астрофизика. Дополнительные главы. М., 1980.
6. Wundt B. J., Jentschura U. D. Sources, potentials and fields in Lorenz and Coulomb gauge: Cancellation of instantaneous interactions for moving point charges // Ann. Phys. 2012. Vol. 327, № 4. P. 1217–1230.
7. Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. М., 1969.
где каждое 
Для непрерывного распределения аналогично:
;
т. е. напряженность Е поля равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус определяется тем, что вектор напряженности Е поля направлен в сторону убывания потенциала.
φ = W п / q = -E x x + C
Значение потенциала в данной точке зависит от выбора нулевого уровня для отсчёта потенциала. Этот уровень выбирают произвольно.
Из соотношения следует
(1.55)
Математическая операция в левой части соотношения (1.55) имеет специальное название "дивергенция векторного поля и специальное обозначение 
где Ф - электростатический потенциал, - объёмная плотность заряда, а - диэлектрическая проницаемость вакуума.
*
Пусть точка А выбрана так, что длина намного меньше расстояний и . В этом случае можно положить, что ; и формулу для потенциала диполя можно переписать: 
где - угол между осью диполя и направлением к точке А, проведенным от диполя. Произведение называется электрическим моментом диполя
или дипольным моментом
.
Момент сил, действующий на диполь во внешнем электрическом поле.
, или.
Так как объем выбран произвольно, то подынтегральные ф-ции равны:
Емкость уединённого проводника
определяется зарядом сообщение которого проводнику изменяет его потенциал на единицу. С=Q/.
^
Электроемкость уединенного проводника.
Конденсаторы - устройства способные накапливать значительные по величине заряды. Емкость конденсатора – физическая величина равная отношению заряда Q накопленного в конденсаторе к разности потенциалов между его обкладками. C=Q/( 1 - 2). для плоского кон-ра
.
Конденсаторы.
Вектор магнитной индукции является количественной характеристикой магнитного поля.
Электромагни́тное по́ле
-
тензор электромагнитного поля
.
^
Вектор магнитной индукции.
Сила действующая на эл. заряд Q движущийся в магн. поле со скоростью v называется силой Лоренца. F=Q. Направление силы Лоренца определяется по правилу левой руки. Магнитное поле не действует на покоящийся заряд. Если на движущийся заряд помимо магн. поля действует эл. поле то результирующая сила равна векторной сумме сил. F=QE+Q.
Сила Лоренца.
