А. Поверхности вращения общего вида (рис. 157).
Поверхностью вращения общего вида называют поверхность, которая образуется произвольной кривой (плоской или пространственной) при ее вращении вокруг неподвижной оси .
В состав определителя поверхности вращения входит образующая g, ось вращения i и условие о том, что эта образующая вращается вокруг оси i:
Ф (g, i); .
Каждая точка образующей (А, В, С, D, Е) при вращении вокруг оси i описывает окружность с центром на оси вращения. Эти окружности называют параллелями . Наибольшую и наименьшую параллель называют соответственно экватором и горлом (шейкой).
Плоскости α, проходящие через ось поверхности вращения, называют меридиональными , а линии, по которым они пересекают поверхность, - меридианами .
Меридиональную плоскость α 1 , параллельную плоскости проекции, принято называть главной меридиональной плоскостью , а линию ее пересечения с поверхностью вращения - главным меридианом *.
Задание поверхности вращения на эпюре Монжа проекциями геометрических фигур, входящих в состав его определителя, хотя и однозначно определяет поверхность, но обладает одним недостатком, заключающимся в том, что при таком задании трудно представить форму поверхности. Поэтому при задании поверхности вращения обычно указывают проекции ее оси, главного меридиана и экватора (иногда указывают окружность, по которой поверхность вращения пересекается с плоскостью проекции).
При этом указывают только горизонтальную проекцию экватора (или параллели) и фронтальную проекцию главного меридиана**.
Б. Частные виды поверхностей вращения.
В технике, в частности в машиностроении, поверхности вращения находят широкое применение. Это объясняется распространенностью вращательного движения и простотой обработки поверхностей вращения на станках. Особенно распространены поверхности, имеющие в меридиональном сечении кривую второго порядка или две прямые, на которые распадается эта кривая.
Рассмотрим некоторые частные виды поверхностей вращения. Возьмем в качестве образующей окружность. В зависимости от взаимного расположения окружности (или ее дуги) и оси вращения можно получить различные поверхности.
Тором называется поверхность, которая может быть получена при вращении окружности g вокруг оси i, не проходящей через ее центр О ***.
В зависимости от соотношения величин R - радиуса образующей окружности и расстояния t от центра окружности до оси вращения поверхности тора подразделяют на:
открытый тор (или кольцо) при R
закрытый тор при R ≥ t - окружность пересекает ось вращения или касается ее (табл. 7, рис. 158,6).
Сфера образуется в том случае, когда центр окружности принадлежит оси вращения О ∈ i, т. е. сферу можно рассматривать как частный случай тора, у которого t = 0 (табл. 7, рис. 158,в).
3. Глобоид.
Образующей этой поверхности является дуга окружности, плоскость которой может, в общем случае, не совпадать с осью вращения (табл. 7, рис. 158,г). Чертежи на рис. 162 дают представление об ор-
* На рис. 157 показаны не меридиональные плоскости α и α 1 , а полуплоскости, расположенные по одну сторону от оси вращения i. Соответственно на рисунке показаны только половина меридиана и главного меридиана.
** Здесь речь идет о поверхности, ось вращения которой i ⊥ π 1 . Если ось вращения (i ⊥ π 2 , то следует указывать фронтальную проекцию экватора и горизонтальную проекцию главного меридиана.
Поверхность тора может быть получена и в том случае, когда плоскость окружности пересекает ось поверхности. Следует иметь в виду, что в отличие от остальных поверхностей вращения, ббразующая которых - кривая второго порядка (или прямая), поверхность тора является поверхностью не второго, а четвертого порядка.
Таблица 7. Поверхности вращения; частные виды. Подкласс 2. Ф (g, i); .
тогональных проекциях тора (рис. 162,а и б), сферы (рис. 162,в), глобоида (рис. 162,г). Так как поверхности вращения, изображенные на рис. 162, симметричны относительно оси i, то при i ⊥ π 1 их горизонтальные проекции симметричны относительно горизонтальной оси; поэтому можно вычерчивать не всю горизонтальную проекцию, а лишь ее половину, как это сделано на рис. 162 (конечно, если условия задачи не требуют изображать ее полностью).
4. Эллипсоид вращения.
Этот вид поверхности образуется при вращении эллипса вокруг его оси, при этом, если за ось вращения принять малую ось , то получим сжатый эллипсоид вращения (рис. 159,с); когда вращение осуществляется вокруг большой оси [АВ] , образуется поверхность вытянутого эллипсоида вращения (рис. 159,6).
Рассмотренные поверхности вращения: тор, сфера, эллипсоид относятся к замкнутым поверхностям. Кроме замкнутых поверхностей вращения существуют незамкнутые поверхности, которые образуются, в частности, при вращении параболы, гиперболы и прямой (линий, имеющих несобственные точки).
5. Параболоид вращения.
Для того чтобы получить параболоид вращения, в определителе поверхности вращения за образующую g следует принять параболу, а за ось вращения i - ее ось (рис. 160). Для задания параболоида вращения на эпюре Монжа достаточно указать проекции образующей g и оси i.
6. Гиперболоид вращения.
При вращении гиперболы можно получить две различные поверхности:
а) однополостный гиперболоид вращения *, образуется при вращении гиперболы g вокруг ее мнимой оси i 1 (рис. 161,а);
б) двуполостный гиперболоид вращения, образуется при вращении гиперболы вокруг ее действительной оси i (рис. 161,6).
7. Коническая и цилиндрическая поверхности вращения.
Эти поверхности можно получить путем вращения прямой g вокруг оси i. Коническая и цилиндрическая поверхности были подробно рассмотрены в § 35 (см. рис. 147, 151 и 148, 152).
Конус вращения представляет собой частный случай, когда его ось вращения / _L Определитель конуса вращения выражается формулой Ф (/", /), где / - прямолинейная образующая (рис. 152).
Построение точки на поверхности конуса является, как известно, простейшей задачей. Для построения недостающей проекции точки нужно провести линию на поверхности через эту точку. Для поверхностей вращения эти линии являются прямолинейными (для конуса - /) или криволинейными меридианами и круговыми параллелями р. Непрерывное множество меридианов образует непрерывный каркас прямолинейных образующих поверхности конуса. Проекции точек, принадлежащих поверхности конуса, удобно строить с помощью параллелей и меридианов. Если точки Nn М принадлежат образующей конуса SM, совпадающей на фронтальной плоскости проекций П 2 с проекцией оси / 2 , то на горизонтальной плоскости проекций n t следует их строить с помощью параллелир (рис. 152, а). Точно так же для повышения точности графического построения можно построить с помощью параллели р точку А, определенную на эпюре с помощью образующей АВ (рис. 152, б).
Рис. 152
Линии, которые образуются при пересечении поверхности прямого конуса с плоскостью, называются коническими сечениями.
Если плоскость, пересекающая прямой конус вращения, параллельна горизонтальной плоскости проекций П 1? то в сечении конической поверхности будет окружность, т.е. кривая идет по параллели. При пересечении плоскостью, которая не параллельна ни одной из его образующих, в сечении получится эллипс (рис. 153).
Фронтально проецирующая плоскость Е на фронтальной плоскости проекций П 2 рассекает конус по проекции большой оси 1 2 -2 2
Рис. 153
эллипса. Она проецируется без искажений. Точки 1 и 2 являются опорными. Через середину большой оси эллипса проведена вспомогательная секущая плоскость (3 || flj - горизонтальная плоскость уровня, пересекающая конус по параллели р". Эта параллель проецируется на Щ в натуральную величину. Проекционная линия связи в пересечении с проекцией параллели р" отметит на П j малую ось эллипса 3J-4J. На П! она проецируется в натуральную величину. Для построения промежуточных точек 5 и 6 кривой сечения вводим дополнительную секущую горизонтальную плоскость уровня у || П,.
Точки 7 и 8 построены как симметричные точкам 5 и 6 относительно малой оси 3-4 эллипса. Натуральная величина кривой сечения эллипса построена при помощи способа замены плоскостей проекций П,/П 2 -> П 2 /П 4 .
Если секущая плоскость - фронтально проецирующая плоскость I ± П 2 - параллельна одной образующей конуса, то в сечении конуса получается парабола (рис. 154).
Опорные точки 1 - вершина парабола, точки 2 и 3 - следы параболы на плоскости у основания конуса. На рис. 154 показана вспомогательная секущая плоскость уровня (3, с помощью которой построены промежуточные точки 4 и 5 аналогично алгоритму построения эллиптического сечения. Натуральная величина параболы построена с помощью способа замены плоскостей проекций.
Рис. 154 146
Гиперболическое сечение конуса получается, если секущая плоскость Е _L П 2 параллельна двум образующим конуса. При прохождении такой плоскости через вершину конуса точку S гипербола вырождается в две прямые (образующие конуса). Секущая плоскость Е параллельна двум образующим конуса SA и SB и пересекает конус по гиперболе (рис. 155).
Рис. 155
Секущая плоскость? пересекает коническую поверхность таким образом, что в сечении получаются две ветви гиперболы, имеющие одну действительную ось i и другую мнимую, перпендикулярную к i ось у. В точке О гипербола имеет две взаимно перпендикулярные асимптоты, которые касаются ветвей гиперболы в двух бесконечно удаленных точках и принадлежат плоскости гиперболы. Асимптоты гиперболы параллельны образующим SA и SB конуса. Проводим горизонтальную плоскость уровня Р || П] и строим точки 5 и 6. Далее строим точки 7 и 8 как симметричные точкам 5 и 6 относительно мнимой оси гиперболы j. Натуральную величину ветвей гиперболы строят с помощью замены плоскостей проекций.
Возможно, самым простым способом создания трехмерной поверхности является вращение двумерного объекта, например прямой или плоской кривой вокруг оси в пространстве. Такие поверхности называются поверхностями вращения. Сначала для простоты предположим, что ось вращения совпадает с осью и положительно направлена. Предположим также, что объекты вращения - отрезок, прямая или плоская кривая - лежат на плоскости . Позднее мы рассмотрим метод, позволяющий избавиться от этих ограничений.
Самый простой объект, который можно вращать вокруг оси, - это точка. При условии, что точка не лежит на оси, вращение на угол породит окружность. Поворот на меньший угол даст дугу окружности.
Следующим по сложности является отрезок, параллельный, но не совпадающий с осью вращения. Вращение на угол породит в этом случае круговой цилиндр. Радиусом этого цилиндра является длина перпендикуляра, опущенного с отрезка на ось вращения. Длина цилиндра равна длине отрезка. Пример изображен на рис. 6-1.
Если отрезок и ось вращения компланарны и отрезок не параллелен оси вращения, то в результате вращения вокруг оси на угол мы получим усеченный круговой конус. Радиусы оснований усеченного конуса - длины перпендикуляров, опущенных с концов отрезка на ось вращения. Высота конуса - это длина спроецированного на ось вращения отрезка. Пример изображен на рис. 6-2.
И снова, если отрезок и ось вращения компланарны и отрезок перпендикулярен оси вращения, то в результате вращения на угол мы получим плоский диск. Если отрезок пересекает (или касается) ось вращения, то получится сплошной диск, в противном случае диск будет иметь круглое отверстие. Примеры изображены на рис. 6-3.
И наконец, если отрезок наклонен к оси вращения, т.е. некомпланарен, то вращение на угол породит однополостный гиперболоид (см. разд. 6-4 и 6-7).
Рис. 6-1 Цилиндрическая поверхность вращения. (а) Схема построения; (b) результат.
Рис. 6-2 Коническая поверхность вращения. (а) Схема построения; (b) результат.
Рис. 6-3 Диск в качестве поверхности вращения. (а) Схема построения; (b) результат.
Рис. 6-4 Поверхность вращения из замкнутой ломаной. (a) Схема построения; (b) результат.
Рис. 6-5 Бипараметрическая поверхность вращения.
Для создания поверхностей вращения могут быть также использованы замкнутые и незамкнутые ломаные. На рис. 6-4 представлен конус с цилиндрическим отверстием.
Параметрическое уравнение точки на поверхности вращения можно получить, если вспомнить, что параметрическое уравнение вращаемого объекта, например
есть функция одного параметра . Вращение вокруг оси приводит к тому, что координаты зависят также от угла поворота. Таким образом, точка на поверхности вращения определяется двумя параметрами и . Как показано на рис. 6-5, это бипараметрическая функция.
Для рассматриваемого частного случая, т. е. вращения вокруг оси объекта, расположенного в плоскости , уравнение поверхности записывается
Заметим, что здесь координата не меняется. В качестве иллюстрации приведем пример.
|
Пример 6-1 Простая поверхность вращения Рассмотрим отрезок с концами и , лежащий в плоскости . Вращение отрезка вокруг оси породит коническую поверхность. Определим на поверхности координаты точки с параметрами , . Параметрическое уравнение отрезка, соединяющего и , имеет вид с декартовыми координатами
Используя уравнение (6-1), получим точку на поверхности вращения
|
.
.Вращение плоских кривых также порождает поверхности вращения. Как показано на рис. 6-6а, сфера получается в результате вращения вокруг оси расположенной в плоскости полуокружности, центрированной относительно начала координат. Вспомнив параметрическое уравнение окружности (см. разд. 4-5)
получим параметрическое уравнение сферы
Рис. 6-6 Поверхности вращения. (а) Сфера; (b) эллипсоид.
Если вместо окружности подставить параметрическое уравнение центрированного полуэллипса, расположенного в плоскости , получится эллипсоид вращения. Напомнив параметрическое уравнение полуэллипса (см. разд. 4-6)
получим для любой точки эллипсоида следующее параметрическое уравнение:
При уравнение (6-3) превращается в уравнение (6-2) для сферы. Эллипсоид вращения показан на рис. 6-66.
Если ось вращения не проходит через центр окружности или эллипса, то в результате вращения получается тор с сечением в виде окружности или эллипса, соответственно. Параметрическое уравнение эллипса на плоскости с центром, не совпадающим с началом координат, выглядит так
где - это , - координаты центра эллипса, тогда параметрическое уравнение для любой точки тора имеет вид:
где , . Если , то уравнение (6-4) задает тор с сечением в виде окружности. Если , то получится тор с сечением в виде эллипса. На рис. 6-7 представлены оба типа торов.
Рис. 6-7 Торы. (а) С сечением в виде окружности; (b) с сечением в виде эллипса.
Параболоид вращения получается при вращении параметрической параболы (см. разд. 4-7)
Гиперболоид вращения получается при вращении параметрической гиперболы
вокруг оси . Параметрическая поверхность задается уравнением
Примеры показаны на рис. 6-8.
Для создания поверхности вращения можно использовать любую параметрическую кривую, например кубический сплайн, параболический сплайн, кривую Безье и В-сплайн. На рис. 6-9 изображена поверхность вращения, созданная из относительно простого параболического сплайна. На рис. 6-10 изображен бокал, созданный как поверхность вращения с помощью незамкнутого В-сплайна.
Рис. 6-8 Поверхности вращения. (а) Параболоид; (b) гиперболоид.
Рис. 6-9 Поверхность вращения из параболически интерполированной кривой. (а) Создание кривой; (b) поверхность.
Заметим, что бокал имеет как внутреннюю, так и внешнюю стороны. Вращение производится относительно оси .
Рис. 6-10 В-сплайн поверхность вращения. (а) Вершины ломаной; (b) В-сплайн; (с) поверхность.
Напомним, что в матричной форме параметрическая пространственная кривая (см. уравнения (5-27), (5-44), (5-67) и (5-94)) задается следующим образом:
,
где , и - соответственно матрица параметров, матрица функций смешивания и геометрическая матрица. Таким образом, в общей форме матричное уравнение поверхности вращения записывается в виде:
, (6-7)
где представляет вклад вращения вокруг оси на угол . Для частного случая вращения вокруг оси имеем:
. (6-8)
Эти методы иллюстрируются в следующем примере.
|
Пример 6-2 Поверхность вращения, созданная по параболической кривой Рассмотрим параболическую кривую, заданную точками , , , . Будем вращать эту кривую вокруг оси на угол , чтобы получить поверхность вращения. Найдем на поверхности точку с параметрами , . Из уравнений (6-7) и (6-8) получим параметрическое уравнение поверхности вращения
где , , и задаются уравнениями (5-44), (5-52) и (5-53) соответственно. Конкретнее,
Рис. 6-11 Поверхность вращения вокруг произвольной оси. Результаты изображены на рис. 6-9. Такая поверхность может быть результатом разработки кубка или даже газового канала двигателя или ракетного сопла. |
,
.
Предыдущие результаты были получены путем вращения точки, отрезка, ломаной или кривой вокруг координатной оси, а именно вокруг оси . К более общему случаю поворота вокруг произвольной оси в пространстве поверхность вращения, полученную в более удобной локальной системе координат, можно свести с помощью переносов и поворотов, приводящих поверхность в нужное положение.
На рис. 6-11 показана параметрическая кривая , повернутая вокруг произвольной оси в пространстве, проходящей через точки и и направленной от к . После того как поверхность создана в удобной системе координат для приведения поверхности вращения в нужное положение, нужно совершить следующие действия:
1. Перенести точку в начало координат.
2. Выполнить повороты, необходимые для совмещения осей и (см. разд. 5-9).
3. Повернуть вокруг оси на угол для совмещения осей и .
Эти три шага необходимы только для того, чтобы найти обратное преобразование, размещающее поверхность вращения в нужном месте в трехмерном пространстве. Получив поверхность вращения вокруг оси , приведем ее в нужное положение в пространстве:
1. Сдвинуть по оси , чтобы переместить центр поверхности вращения в нужное положение на оси .
2. Применить к поверхности вращения преобразование, обратное к суммарному преобразованию поворотов.
3. Применить к поверхности вращения обратный перенос точки .
Точка на поверхности вращения тогда задается уравнением:
где , , задаются уравнениями (3-22)-(3-24). задается уравнением (3-8), и матрица задается в форме уравнения (6-7) с геометрической матрицей , представленной в однородных координатах. теперь является матрицей , заданной в виде
. (6-10)
Данный метод иллюстрируется на следующем примере.
|
Пример 6-3 Поверхность вращения вокруг произвольной оси Найдем координаты точки с параметрами , на поверхности вращения, образованной вращением эллипса с главной осью, наклоненной относительно оси вращения. Ось вращения проходит через центр эллипса и лежит в плоскости эллипса. Угол наклона . Полуоси эллипса , . Ось проходит через точки и . Центр эллипса находится в точке . |
Формальное дифференцирование уравнения (6-7) дает параметрические производные для поверхности вращения. А именно, производная в осевом направлении равна
а производная в радиальном направлении
, (6-12)
где штрих обозначает соответствующее дифференцирование.
Нормаль к поверхности задается векторным произведением параметрических производных, т.е.
Если перемещение образующей линии представляет собой вращение вокруг некоторой неподвижной прямой (оси), то образованная в этом случае поверхность называется поверхностью вращения .
Образующая линия может быть плоской или пространственной кривой, а также прямой. Каждая точка образующей линии при вращении вокруг оси описывает окружность, которая располагается в плоскости перпендикулярной оси вращения (рис. 42).
Эти окружности называются параллелями . Следовательно, плоскости, перпендикулярные оси, пересекают поверхность вращения по параллелям . Линия пересечения поверхности вращения плоскостью Σ , проходящей через ось, называется меридианом .
Меридиан, который является результатом пересечения поверхности вращения с плоскостью уровня, называетсяглавным . Проекция главного меридиана на плоскость, которой параллельна плоскость уровня, является очерковой линией соответствующей проекции поверхности вращения.
М
Рис.
42 Элементы поверхности вращения
При проектировании различных инженерных сооружений, машин и механизмов наибольшее распространение получили поверхности, образующиеся вращением прямой линии и кривых второго порядка.
Вращением прямой линии образуются:
– цилиндр вращения , если прямая l параллельна оси i (рис. 43 а );
– конус вращения , если прямая l пересекает ось i (рис. 43 б );
– однополостный гиперболоид , если прямая l скрещивается с осью i (рис. 43 в ).
|
|
||
|
Рис. 43 Линейчатые поверхности вращения |
||
К поверхностям вращения, образованным вращением кривых второго порядка вокруг оси относятся:
– сфера образуется вращением окружности вокруг ее диаметра (рис. 44 а );
– эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг большой или малой оси (44 б , в );
– тор образуется вращением окружности вокруг внешней оси (рис. 44 г );
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 44 Поверхности вращения второго порядка |
||
–параболоид вращения образуется вращением параболы вокруг ее оси (рис. 44 д );
– однополостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси. Эта поверхность образуется также вращением прямой (рис. 44 е ).
Каналовые и циклические поверхности
Каналовой называют поверхность, образованную непрерывным каркасом замкнутых плоских сечений, определенным образом ориентированных в пространстве. Площади этих сечений могут оставаться постоянными или монотонно изменяться в процессе перехода от одного сечения к другому. На рис. 45 приведены два изображения каналовой поверхности. В инженерной практике наибольшее распространение получили два способа ориентирования плоскостей образующих:
– параллельно какой-либо плоскости – каналовые поверхности с плоскостью параллелизма ;
– перпендикулярно к направляющей линии – прямые каналовые поверхности .
Каналовая поверхность может быть использована для создания переходных участков между двумя поверхностями типа трубопроводов, имеющих:
– различную форму, но одинаковую площадь нормального сечения;
– одинаковую форму, но различные площади сечения;
– различную форму и различные площади поперечных сечений.
Циклическую поверхность можно рассматривать как частный случай каналовой поверхности. Она образуется с помощью окружности, центр которой перемещается по криволинейной направляющей. В процессе движения радиус окружности монотонно меняется. Пример циклической поверхности показан на рис. 46.
Трубчатая поверхность относится к группе нелинейчатых поверхностей с образующей постоянного вида и является частным случаем циклической и каналовой поверхностей. Она обладает свойствами, присущими этим видам поверхностей. У циклической поверхности она позаимствовала форму образующей, а у каналовой – закон движения этой образующей. На рис. 47 приведен пример трубчатой поверхности.
8.ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
Если перемещение образующей линии представляет собой вращение вокруг некоторой неподвижной прямой (оси), то образованная в этом случае поверхность называется поверхностью вращения (рис.2.3.45).
Образующая линия может быть плоской или пространственной кривой, а также прямой. Каждая точка, например В(В 1 , В 2), образующей линии l(l 1 , l 2)при вращении вокруг оси i(i 1 , i 2) описывает окружность, которая располагается в плоскости, перпендикулярной оси вращения (рис. 2.3.45). Эти окружности называются параллелями. Следовательно, плоскости, перпендикулярные оси, пересекают поверхность вращения по параллелям. Линия, например, m(m 1 , m 2) пересечения поверхности вращения плоскостью ( 1), проходящей через ось, называется меридианом. Все меридианы поверхности вращения конгруэнтны. Меридиан l(l 1 , l 2), который является результатом пересечения поверхности вращения с плоскостью уровня ( 1), называется главным. Проекция главного меридиана на плоскость, которой параллельна плоскость уровня, является очерковой линией соответствующей проекции поверхности вращения. Множество всех параллелей или меридианов представляет собой непрерывный каркас поверхности вращения. Через каждую точку поверхности проходит одна параллель и один меридиан. Проекции точки располагаются на соответствующих проекциях параллели или меридиана. Задать точку на поверхности или построить вторую проекцию точки, если одна задана, можно при помощи параллели или меридиана, которые проходят через эту точку. Геометрическая часть определителя поверхности вращения состоит из оси вращения i и образующей линии l. Чертеж поверхности вращения будет простейшим, если ось вращения расположить перпендикулярно одной из плоскостей проекций, а в качестве образующей линии взять главный меридиан (рис. 2.3.45, б). Алгоритмическая часть определителя поверхности вращения состоит из операции вращения образующей l вокруг оси i и построения каркаса параллелей необходимой плотности. При проектировании различных инженерных сооружений, машин и механизмов наибольшее распространение получили поверхности, образующиеся вращением прямой линии и кривых второго порядка.
а. Поверхности, образуемые вращением прямой (линейчатые поверхности вращения)
Вращением прямой линии образуются: 1) цилиндр вращения, если прямая l параллельна оси i (рис. 2.3.46); 2)конус вращения, если прямая l пересекает ос i (рис. 2.3.47); 3)однополостный гиперболоид вращения, если прямая l(ВС) скрещивается с осью i (рис. 2.3.48).
Р
ис.
2.3.46
Поверхность (рис. 2.3.48) имеет две образующие линии l(ВС) и l"(В"С"), наклоненные в разные стороны и пересекающиеся в точке (А), принадлежащей наименьшей параллели. Отрезок ОА является кратчайшим расстоянием между образующей и осью. Таким образом, на поверхности однополостного гиперболоида располагаются два семейства прямолинейных образующих. Все образующие одного семейства - скрещивающиеся прямые.
Р
ис.
2.3.47
Каждая образующая одного семейства пересекает все образующие другого. Через каждую точку поверхности проходят две образующие разных семейств. Меридианом поверхности является гипербола. Все рассмотренные линейчатые поверхности вращения являются поверхностями второго порядка. Построение проекций точки, принадлежащей каждой из них, можно выполнить при помощи параллели или прямолинейной образующей, проходящих через нее.
Р
ис.
2.3.48
б. Поверхности, образуемые вращением кривых второго порядка вокруг их осей
1. Сфера образуется вращением окружности вокруг ее диаметра (рис. 2.3.49). 2. Эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг большой или малой оси. 3. Параболоид вращения образуется вращением параболы вокруг ее оси.
Р
ис.
2.3.49
4. Однополостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси. Эта поверхность образуется также вращением прямой (рис. 2.3.48 справа). 5. Двуполостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы вокруг ее действительной оси. При вращении асимптот гиперболы образуется конус вращения, который называется асимптотическим по отношению к поверхности гиперболоида. Все рассмотренные поверхности вращения являются поверхностями второго порядка. Построение проекции точки, принадлежащей каждой из них, можно выполнить при помощи параллели, проходящей через эту точку. в. Поверхности, образуемые вращением кривых второго порядка вокруг оси, не являющейся осью кривой, но расположенной в ее плоскости Существует теорема: "При вращении плоской или пространственной алгебраической кривой n-го порядка вокруг произвольной оси образуется алгебраическая поверхность вращения, имеющая в общем случае порядок 2n". Из этой теоремы следует, что при вращении кривой второго порядка вокруг оси, не являющейся осью кривой, но расположенной в ее плоскости, образуется поверхность четвертого порядка. Наиболее распространенной поверхностью четвертого порядка является тор.
Р
ис.
2.3.50
Тором называется поверхность, образованная вращением окружности вокруг оси, принадлежащей плоскости окружности, но не проходящей через ее центр. При этом ось вращения может пересекать окружность, касаться ее и располагаться вне окружности. В первых двух случаях тор называется закрытым, в последнем - открытым, или кольцом. На рис. 2.3.50 изображены проекции тора-кольца. Являясь поверхностью четвертого порядка, тор пересекается произвольной прямой в четырех точках, произвольной плоскостью по кривой четвертого порядка.
Рис. 2.3.50,1(анимационный) Эта кривая распадается на две окружности (параллели), если плоскость перпендикулярна оси тора (плоскость на рис. 2.3.50), на две окружности (меридиан), если плоскость проходит через ось тора(плоскости Г и Г" на рис. 2.3.50), на две окружности, если плоскость проходит через центр тора и касается его меридиана (плоскость). Проекции точки, например М, принадлежащей поверхности тора, можно построить при помощи параллели (рис. 2.3.50). На рис. 2.3.51 показана динамическая сцена формообразования поверхности тора.
Линия пересечения двух поверхностей второго порядка в общем случае представляет собой алгебраическую кривую четвертого порядка. В частных случаях она может распадаться на линии низших порядков, сумма порядков которых равна четырем: а) на четыре прямые - 1 + 1 + 1 + 1 (рис. 4.56, a). Общие образующие m, m", n, n", по которым пересекаются два цилиндра с параллельными осями, являются частями распавшейся кривой;
б) на две прямые и кривую второго порядка - 1 + 1 +2 (рис. 4.56, б); в) на прямую и кривую третьего порядка - 1 + 3; г) на две кривые второго порядка - 2+2 (рис. 4.57, 4.58, 4.59). Признаки распадения кривой четвертого порядка на две кривые второго порядка сформулированы в следующих теоремах: Теорема 1 . Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой (1 - 5 - 2 - 6 на рис. 4.57), то они пересекаются еще по одной кривой, которая тоже будет плоской (3 - 5 - 4 - 6 на рис. 4.57).
Примечание. Плоская кривая, принадлежащая поверхности второго порядка, является кривой второго порядка. Теорема 2. Если две поверхности второго порядка имеют касание в двух точках (1 и 2 на рис. 4.58), то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания. Сфера, имеющая двойное касание с поверхностью второго порядка (рис. 4.59), может быть использована для нахождения круговых сечений тех поверхностей второго порядка, которые их имеют. Пусть требуется найти круговые сечения эллиптического цилиндра (рис. 4.59). Проведем сферу с центром на оси цилиндра и диаметром, равным длине отрезка /1 - 2/ - большой оси эллипса. Эта сфера будет касаться двух образующих цилиндра в точках 1 и 2. Линия пересечения со сферой распадается на две окружности, расположенные в профильно проецирующих плоскостях и". Полученные окружности определяют два семейства круговых сечений эллиптического цилиндра.Теорема 3 (теорема Монжа ). Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в не<(рис. 4.60), то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания (прямая 5 - 6). Теорема Монжа является частным случаем теоремы 2. Построение проекций указанных выше кривых второго порядка (рис. 4.58, 4.58, 4.59, 4.60) ясно из чертежей.
Заканчивая рассмотрение второй позиционной задачи на пересечение поверхностей, приведем несколько динамических сцен, демонстрирующих процесс взаимного пересечения поверхностей. На рис.4.61 показано пересечение поверхностей сферы и эллиптическогo цилиндра. На рис. 4.62 сфера пересекается с пирамидой, а на рис. 4.63 показано пересечение двух кривых поверхностей.