(YСтатистическое толкование волн де Бройля (см. § 216) и соотношение неопределен­ностей Гейзенберга (см. § 215) привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции х ,у, z, t), |Yтак как именно она, или, точнее, величина | 2 , определяет вероятность пребывания частицы в момент времениt в объемеdV, т. е. в области с координатамих иx+dx, у иy+dy, z иz+dz .Taк как искомое уравнение должно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно бытьволновым уравнением , подобно уравнению, описывающему электромагнитные волны.

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г. Э. Шредингером. Уравнение Шредингера, как и все основные уравнения физики (например, уравнения Ньютона в классической механике и уравнения Максвел­ла для электромагнитного поля), не выводится, а постулируется. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью резуль­татов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы. Уравнение Шредин­гера имеет вид

где ћ =h ),p/(2т- -оператор ЛапласаDмасса частицы, i - мнимая единица,U (х, у, z, t) - Yпотенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется,(х, у, z, t) - искомая волновая функция частицы.

Уравнение (217.1) справедливо для любой частицы (со спином, равным 0; см. § 225), движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью, т. е. со скоростью v <<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волно­вая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) производные |Yдолжны быть непрерывны; 3) функция | 2 должна быть интегрируема; это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей (216.3).

Чтобы прийти к уравнению Шредингера, рассмотрим свободно движущуюся частицу, кото­рой, согласно идее де Бройля, сопоставляется плоская волна. Для простоты рассмотрим одномер­ный случай. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, имеет вид (см. § 154) , или в комплексной записи . Следовательно, плоская волна деБройля имеет вид

(учтено, что w = E/ћ, k=p/ћ |Y). В квантовой механике показатель экспоненты берут со знаком минус, но поскольку физический смысл имеет только | 2 , то это (см. (217.2)) несущественно. Тогда

Используя взаимосвязь между энергией Е и импульсомр (E=p 2 /(2m)) и подставляя выражения (217.3), получим дифференциальное уравнение

которое совпадает с уравнением (217.1) для случая U= 0 (мы рассматривали свободную частицу). Если частица движется в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергиейU, то полная энергияЕ складывается из кинетической и потенциальной энергий. Проводя аналогичные рассуждения и используя взаимосвязь междуЕ и р (для данного случаяp 2 /(2m )=E–U ), прядем к дифференциальному уравнению, совпадающему с (217.1).

Приведенные рассуждения не должны восприниматься как вывод уравнения Шредингера. Они лишь поясняют, как можно прийти к этому уравнению. Доказательством правильности уравнения Шредингера является согласие с опытом тех выводов, к кото­рым оно приводит.

Уравнение (217.1) является общим уравнением Шредингера . Его также называютуравнением Шредингера, зависящим от времени от времени, иными словами, найти уравнение Шредингера дляY. Для многих физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (217.1) можно упростить, исключив зависимостьстационарных состояний - состояний с фиксированными значениями энергии. Это возможно, если силовое поле, в котором частица движется, стационарно, т. е. функцияU=U(x, у, z) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая - только времени, причем зависимость от времени выражается множителем , так что

где Е - полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Подставляя (217.4) в (217.1), получим

откуда после деления на общий множитель и соответствующих преобразований придем к уравнению, определяющему функциюy:

Уравнение (217.5) называетсяуравнением Шредингера для стационарныхсостояний . В это уравнение в качестве параметра входит полная энергияЕ частицы. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что подобные уравнения имеют бесчис­ленное множество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл. Для уравнения Шредингера такими условиями являются условия регулярности волновых функций: волновые функции должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными. Таким образом, реальный физический смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциямиy . Но регулярные решения имеют место не при любых значениях параметраЕ, а лишь при определенном их наборе, характерном для данной задачи. Эти значения энергии называютсясобствен­ными. Решения же, которые соответствуютсобственным значениям энергии, называют­сясобственными функциями. Собственные значенияЕ могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят онепрерывном , илисплошном ,спектре , во втором -о дискретном спектре .

Модель атома Томсона и Резерфорда.

Представление об атомах как неделимых мельчайших частиц вещества возникло в Античные времена(Демокрит, Эпикур, Лукреций) К началу 18 века атомистическая теория приобретает все большую популярность, так как к этому времени в работах А.Лавуазье, М.В Ломоносова и Д.Дальтона была доказана реальность существования атомов. Однако вопрос о внутреннем строении атомов даже не возникал, так как атомы по проежнему считались не делимыми. Большую роль в развитии атомистической модели сыграл Менделеев разработавший в 1869 году Периодическую систему элементов, в которой впервые на научной основе был поставлен вопрос о единой природе атомов. Во второй половине 19 в экспериментально доказано, что эдекторон являеется одной из основных составных частей любого вещества. Эти выводы а также экспериментальные данные привели к тому что в начале 20 века серьездно встанр вопрос о строении атома. Первая попытка создания на основе накопленных экспериментальных даннных о модели атома принадлежит Томсану. Согласно этой модели атом представляет собой непрерывно заряженный положительным зарядом шар радиусом порядка м внутри которого около своих положений равновесия колеблются электроны суммарный заряд электронов равен положительному заряду шара, поэтому атом нейтрален. Через несколько лет было доказано, что представление о непрерывно распределенном внутри атома положительном заряде ошибочно.

В развитии представлений о строении атома велико значение опытов английского физика Резерфорда по рассеянию альфа частиц в веществе. Альфа частицы возникают при радтоактивных превращения, они являются положительно заряженными частицами с зарядом 2е и массой примерно 7300 раз большей массы электрона. Пучки альфа частиц обладают высокой монохроматичностью. на основании своих исследований Резерфорд в 1911г предложил ядерную (планетарную) модель атома. Согласно этой модели, вокруг положительного заряда, имеющийся заряд Ze (Z- порядковый номер элемента в системе Менделеева е – элементарный заряд размер - и массу практически равную массе атома,в области с линейными размерами порядка м по замкнутым орбитам движутся электроны, образуя электронную оболочку атома. Так как атомы нейтральны, то заряд равен суммарному заряду электронов, т.е вокруг ядра должно превращаться Z электронов. Для простоты предположим, что электрон движется вокруг ядра по круговой орбите радиусом r . При этом кулоноская сила взаимодествия между ядром и электроном сообщает электрону нормальное ускорение. Уравнение описывающее движение электрона в атоме по окружности под действием кулоновской силы = где ε0-электрическая постоянная me-и v-масса и скорость электрона на орбите радиусом r. Уравнение содержит два неизвестных r и v. Следовательно, существует бесчисленное множество значений радиуса и соответсвующих ему значений скорости, удовлетворяющих этому уравнению. Поэтому величины r и v могут меняться непрерывно, т.е может испускаться любая, а не вполне определенная порция энергии. Тогда спектры атомов должны быть сплошными. В действительности же опыт показывает, что атомы имеют линейчатый спектр. Согласно классической электродинамике, ускоренно движущиеся электроны должны излучать электромагнитные волны и вследствие этого непрерывно терять энергию. В результате электроны будут приближаться к ядру и в конце концов упадут на него. Таким образом, атом Резерфорда оказывается неустойчивой системой, что опять –таки противоречит действительности. Попытки построить модель атома в рамках классической физики не привели к успеху модель томсона была опровергнута опытами Резерфорда, ядерная же модель оказалась неустойчивой электодинамически противоречила опытным данным. Преодоление возникших трудностей потребовало создание качественно новой – квантовой теории атома

Линейчатый спектр водорода

Исследование спектров излучения заряженных газов показали каждому газу присущ определенный линейчатый спектр, состоящий из отдельных спиральных линий. Самым изученым являются спектр наиболее простого атома – атома водорода. Швецарский ученный Бальмер подобрал эмпирическую формулу описывающую все известные в то время спектральные линии атома водорода в видимой области спектра где Rштрих= -постоянная Ридберга. В дальнейшем в спектре атома водорода было обнаружено еще нескольких серий. В ультрафиолетовой области спектра находится серия Лаймана

В инфракрасной области спектра были также обнаружены

Серия Пашена

Серия Брэкета

v=R(1/4^2 -1/n^2) (n=5,6,7…...)

серия Пфунда

v=R(1/5^2 -1/n^2) (n=6,7,8…...)

серия Хемфри

v=R(1/6^2 -1/n^2) (n=7,8,9…...)

Все приведенные выше серии в спектре атома водорода могут быть описаны одной формулой называемой обобщенной формулой Бальмера где m имеет в кадой серии постоянное значение m=1,2,3,4,5,6(определяет серию) n, принемает целочисленные значения начиная с m+1 (определяет отдельные линии этой серии)

Постулаты Бора

Первая попытка построить качественно новую – квантовую теорию атома была предпринята в 1913 г датским физиком Нильсом Бором. Он поставил перед собой цель связать в единое целое эмпирические закономерности линейчатых спектров, ядерную модель атома Резерфорда и квантовый характер излучения и поглощения света. В основу своей теории Бор положил два постулата.

1 постулат (постулат стационарных состояний) в атоме существуют стационарные состояния в которых он не излучает энергии, эти состояния характеризуются определенными дискретными значениями энергии. Стационарные состояния атома соответстуют стационарные орбиты по которым движутся электроны. Движение электронов по стационарным орбитам не сопровождается излучением электромагнитных волн. В стационарном состоянии атома электрпон двигаясь по круговой орбите, должен иметь дискретные квантовые значения момента импульса, удовлетворяющие условию

Где me-масса электрона v- скорость

2 постулат (правило частот) при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается один фотон с энергией

Равной разностьи энергии соответствующих стационарных состояний E_m-соответственно энергии стационарных состояний атома до и после излучения. При - происходит излучение при - его поглощение.набор возможных дискретных частот квантовый переходов и определяет линейчатый спектр атома.

О. Штерн и В Герлах проводят прямые измерения магнитных моментов и обнаружили в 1922г что узкий пучок атомов водорода заведомо находящийся в s состоянии в неоднородном магнитном поле расщипляется на два пучка. В этом состоянии момент импульса электрона равен нулю. Магнитный момент атома связанный с орбитальным движением электрона, пропорционален механическому моменту, поэтому он равен нулю и магнитное поле не должно оказывать влияние на движение атомов водорода в основном состоянии, т.е расщипления не должно быть. однако в дальнейшем при применении спектральных приборов с большой разрешающей способностью было доказано, что спектральные линии атома водорода обнаруживают тонкую структуру, даже в отсутствии магнитного поля.Для объяснения тонкой структуры спектральных линий,а также ряда других трудностей в атомной физике Уленбек и Гаудсмит предложили, что электрон обладает собственным неуничтожимым механическим моментом импульса, не связанным с движение электрона в пространстве спином. Спин электрона –квантовая величина, у нее нет классического аналога, это внутреннее неотъемлемое свойство электрона подобное его массу и заряду. Если электрону приписывается собственный механический момент импульса то ему соответствует собственный магнитный момент Согласно общим выводам квантовой механике, спин квантуется по закону где s- спиновое квантовое число.

Уравнением движения микрочастицы в различных силовых полях является волновое уравнение Шредингера.

Для стационарных состояний уравнение Шредингера будет таким:

M – масса частицы, h – постоянная Планка, E – полная энергия, U – потенциальная энергия.

Уравнение Шредингера является дифференциальным уравнением второго порядка и имеет решение, которое указывает на то, что в атоме водорода полная энергия должна иметь дискретный характер:

Эта энергия находится на соответствующих уровнях n =1,2,3,…по формуле:

Самый нижний уровень E соответствует минимальной возможной энергии. Этот уровень называют основным, все остальные – возбужденными.

По мере роста главного квантового числа n энергетические уровни располагаются теснее, полная энергия уменьшается, и при n =E>0 электрон становится свободным, несвязанным с конкретным ядром, а атом – ионизированным.

Полное описание состояния электрона в атоме, помимо энергии, связано с четырьмя характеристиками, которые называются квантовыми числами. К ним относятся: главное квантовое число п, орбитальное квантовое число l, магнитное квантовое число m1, магнитное спиновое квантовое число ms.

трона в пространстве, то есть волновая функция в пространстве характеризуется тремя системами. Каждая из них имеет свои квантовые числа: п, l, ml.

Каждой микрочастице, в том числе и электрону, также свойственно собственное внутреннее сложное движение. Это движение может характеризоваться четвертым квантовым числом ms. Поговорим об этом подробнее.

A. Главное квантовое число п, согласно формуле, определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать значения п = 1, 2, 3…

Б. Орбитальное квантовое число /. Из решения уравнения Шредингера следует, что момент импульса электрона (его механический орбитальный момент) квантуется, то есть принимает дискретные значения, определяемые формулой

где Ll – момент импульса электрона на орбите, l – орбитальное квантовое число, которое при заданном п принимает значение i = 0, 1, 2… (n – 1) и определяет момент импульса электрона в атоме.B. Магнитное квантовое число ml.

Из решения уравнения Шредингера следует также, что вектор Ll (момент импульса электрона) ориентируется в пространстве под влиянием внешнего магнитного поля. При этом вектор развернется так, что его проекция на направление внешнего магнитного поля будет

где ml называется магнитным квантовым числом, которое может принимать значения ml = 0, ±1, ±2,±1, то есть всего (2l + 1) значений.

Учитывая сказанное, можно сделать заключение о том, что атом водорода может иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях (n – одно и то же, а l и ml– разные).

При движении электрона в атоме электрон заметно проявляет волновые свойства. Поэтому квантовая электроника вообще отказывается от классических представлений об электронных орбитах. Речь идет об определении вероятного места нахождения электрона на орбите, то есть местонахождение электрона может быть представлено условным «облаком». Электрон при своем движении как бы «размазан» по всему объему этого «облака». Квантовые числа n и l характеризуют размер и форму электронного «облака», а квантовое число ml– ориентацию этого «облака» в пространстве.

В 1925 г. американские физики Уленбек и Гаудсмит доказали, что электрон также обладает собственным моментом импульса (спином), хотя мы не считаем электрон сложной микрочастицей. Позднее выяснилось, что спином обладают протоны, нейтроны, фотоны и другие элементарные частицы

Опыты Штерна, Герлаха и других физиков привели к необходимости характеризовать электрон (и микрочастицы вообще) добавочной внутренней степенью свободы. Отсюда для полного описания состояния электрона в атоме необходимо задавать четыре квантовых числа: главное – п, орбитальное – l, магнитное – ml, магнитное спиновое число – ms.

В квантовой физике установлено, что так называемая симметрия или асимметрия волновых функций определяется спином частицы. В зависимости от характера симметрии частиц все элементарные частицы и построенные из них атомы и молекулы делятся на два класса. Частицы с полуцелым спином (например, электроны, протоны, нейтроны) описываются асимметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Ферми-Дирака. Эти частицы называются фермионами. Частицы с целочисленным спином, в том числе и с нулевым, такие как фотон (Ls =1) или л-мезон (Ls = 0), описываются симметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Бозе– Эйнштейна. Эти частицы называются бозонами. Сложные частицы (например, атомные ядра), составленные из нечетного числа фермионов, также являются фермионами (суммарный спин – полуцелый), а составленные из четного – бозонами (суммарный спин – целочисленный).

Если перейти от рассмотрения движения одной микрочастицы (одного электрона) к многоэлектронным системам, то проявляются особые свойства, не имеющие аналогов в классической физике. Пусть квантово-механическая система состоит из одинаковых частиц, например электронов. Все электроны имеют одинаковые физические свойства – массу, электрический заряд, спин и другие внутренние характеристики (например квантовые числа). Такие частицы называют тождественными.

Необходимые свойства системы одинаковых тождественных частиц проявляются в фундаментальном принципе квантовой механики – принципе неразличимости тождественных частиц, согласно которому невозможно экспериментально различить тождественные частицы.

В классической механике даже одинаковые частицы можно различить по положению в пространстве и импульсам. Если частицы в какой-то момент времени пронумеровать, то в следующие моменты времени можно проследить за траекторией любой из них. Классические частицы, таким образом, обладают индивидуальностью, поэтому классическая механика систем из одинаковых частиц принципиально не отличается от классической механики систем из различных частиц.

В квантовой механике положение иное. Из соотношения неопределенности вытекает, что для микрочастиц вообще неприменимо понятие траектории; состояние микрочастицы описывается волновой функцией, позволяющей лишь вычислять вероятность нахождения микрочастицы в окрестностях той или иной точки пространства. Если же волновые функции двух тождественных частиц в пространстве перекрываются, то разговор о том, какая частица находится в данной области, вообще лишен смысла: можно говорить лишь о вероятности нахождения в данной области одной из тождественных частиц. Таким образом, в квантовой механике тождественные частицы полностью теряют свою индивидуальность и становятся неразличимыми. Следует подчеркнуть, что принцип неразличимости тождественных частиц не является просто следствием вероятной интерпретации волновой функции, а вводится в квантовую механику как новый принцип, как указывалось выше, является фундаментальным.

Принимая во внимание физический смысл величины, принцип неразличимости тождественных частиц можно записать в следующем виде: , (8.1.1)

где и – соответственно, совокупность пространственных и силовых координат первой и второй частиц. Из выражения (8.1.1) вытекает, что возможны два случая:

т.е. принцип неразличимости тождественных частиц ведет к определенному свойству симметрии волновой функции. Если при перемене частиц местами волновая функция не меняет знака, то она называется симметричной, если меняет – антисимметричной. Изменение знака волновой функции не означает изменения состояния, т.к. физический смысл имеет лишь квадрат модуля волновой функции.

В квантовой механике доказывается, что характер симметрии волновой функции не меняется со временем. Это не является доказательством того, что свойства симметрии или антисимметрии – признак данного типа микрочастиц.

Установлено, что симметрия или антисимметрия волновых функций определяется спином частиц. В зависимости от характера симметрии все элементарные частицы и построенные из них системы (атомы, молекулы) делятся на два класса: частицы с полуцелым спином (например электроны, нейтроны и протоны) описываются антисимметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Ферми–Дирака; эти частицы называются фермионами. Частицы с нулевым, или целочисленным, спином (например фотоны, мезоны) описываются симметричными функциями (волновыми) и подчиняются статистике Бозе–Эйнштейна; эти частицы называются бозонами.

Сложные частицы (например атомные ядра), составленные из нечетного числа фермионов, являются фермионами (суммарный спин – полуцелый), а из четного – бозонами (суммарный спин – целый).

Зависимость характера симметрии волновых функций системы тождественных частиц от спина частиц теоретически обоснована швейцарским физиком В. Паули, что явилось еще одним доказательством того, что спины являются фундаментальной характеристикой микрочастиц.

Взучив свойства элементов, расположенных в ряд по возрастанию значений их атомных масс, великий русский ученый Д.И. Менделеев в 1869 г. вывел закон периодичности:

свойства элементов, а потому и свойства образуемых ими простых и сложных тел стоят в периодической зависимости от величины атомных весов элементов.

Согласно этому закону изменение свойств химических элементов по мере возрастания их атомных масс имеет периодический характер, т.е. через определенное число элементов (разное для различных периодов) свойства элементов повторяются в той же последовательности, хотя и с некоторыми качественными и количественными различиями. Лишь в трех случаях Менделеев нарушил порядок следования элементов - поставил аргон впереди калия, кобальт впереди никеля, а теллур впереди иода. Этого требовало сходство свойств химических элементов.

Графическим отображением периодического закона является таблица элементов Д.И. Менделеева. Каждому элементу в ней отвечает порядковый, номер. В таблице весь ряд элементов разбит на отдельные отрезки, внутри которых начинаются и заканчиваются циклы периодического изменения свойств. Вертикальные отрезки называются группами, а горизонтальные периодами.

Первые три периода, содержащие 2, 8 и 8 элементов называются малыми, остальные, содержащие 18, 18 и 32 элемента большими. Большие периоды подразделяются на ряды, малые же периоды совпадают с соответствующими рядами.

В каждой группе элементы больших периодов подразделяются на две подгруппы - главную и побочную. К главной подгруппе относятся сходные элементы, включающие элементы малых и больших периодов. К побочной подгруппе относятся сходные элементы, включающие только элементы больших периодов. Максимально возможная валентность элементов в группе равна номеру группы. Хотя некоторые элементы и не проявляют максимальной валентности, например, кислород, фтор, неон, с другой стороны валентность золота - элемента побочной подгруппы I группы может превышать единицу, она достигает трех.

Открытие Периодического закона побудило физиков искать его объяснение с позиций теории строения атомов и наоборот Периодический закон стал средством проверки истинности предлагаемых моделей строения атомов.

Основываясь на открытии Дж. Томсоном в 1897 г. электрона, английский физик Э. Резерфорд в 1911 г. предположил, что атом состоит из положительно заряженного ядра и вращающихся вокруг него по круговым орбитам электронов. При этом положительный заряд ядра нейтрализуется суммарным отрицательным зарядом электронов, что делает атом в целом электронейтральным. Резерфорд экспериментально доказал, что заряд ядра численно равен порядковому номеру элемента в периодической системе.

Только тогда удалось объяснить причину нарушения порядка следования элементов в таблице Менделева (аргон впереди калия, кобальт впереди никеля, а теллур впереди иода). Перечисленные элементы оказались расставлены в соответствии с изменением зарядов их ядер. Таким образом, оказалось, что основной величиной, от которой зависят свойства элемента является заряд ядра. Отсюда следует и современная формулировка периодического закона Менделеева:

Свойства химических элементов, а также формы и свойства соедине ний элементов находятся в периодической зависимости от заряда их ядер.

Обще уравнение Шредингера. Уравнение Шредингера для стационарных состояний

Статистическое толкование волн де Бройля (см. § 216) и соотношение неопределенностей Гейзенберга (см. 5 215) привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции Ψ (х, у, z, t), так как именно она, или, точнее, величина |Ψ| 2 , определяет вероятность пребывания частицы в момент времени t в объеме dV, т. е. в области с координатами x и x+dx, y иy+dy, z и z+dz. Так как искомое уравнение должно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно быть волновым уравнением, подобно уравнению, описывающему электромагнитные волны.

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г. Э. Шредингером. Уравнение Шредингера,как и все основные уравнения физики (например, уравнения Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла для электромагнитного поля), не выводится, а постулируется. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы. Уравнение Шредингера имеет вид

где h=h/(2π), m-масса частицы, ∆ -оператор Лапласа (),

i - мнимая единица, U (х, у, z, t) - потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, Ψ (х, у, z, t) - искомая волновая функция частицы.

Уравнение (217.1) справедливо для любой частицы (со спином, равным 0; см. § 225), движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью, т. е. со скоростью υ<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) производные

должны быть непрерывны; 3) функция |Ψ| 2 должна быть интегрируема; это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей (216.3).

Чтобы прийти к уравнению Шредингера, рассмотрим свободно движущуюся частицу, которой, согласно идее де Бройля, сопоставляется плоская волна. Для простоты рассмотрим одномерный случай. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, имеет вид (см. § 154)

Или в комплексной записи . Следовательно, плоская волна де Бройля имеет вид

(217.2)

(учтено, что ω = E/h, k=p/h). В квантовой механике показатель экспоненты берут со знаком минус, но поскольку физический смысл имеет только |Ψ| 2 , то это (см. (217.2)) несущественно. Тогда

,

; (217.3)

Используя взаимосвязь между энергией Е и импульсом p (E = p 2 /(2m)) и подставляя выражения (217.3), получим дифференциальное уравнение

которое совпадает с уравнением (217.1) для случая U= 0 (ми рассматривали свободную частицу).

Если частица движется в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U, то полная энергия Е складывается из кинетической и потенциальной энергий. Проводя аналогичные рассуждения используя взаимосвязь между Еи р (для данного случая р 2 /(2m)=E -U), прядем к дифференциальному уравнению, совпадающему с (217.1).

Приведенные рассуждения не должны восприниматься как вывод уравнения Шредингера. Они лишь поясняют, как можно прийти к этому уравнению. Доказательством правильности уравнения Шредингера является согласие с опытом тех выводов, к которым оно приводит.

Уравнение (217.1) является общим уравнением Шредингера. Его также называют уравнением Шредингера, зависящем от времени. Для многих физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (217.1) можно упростить, исключив зависимость Ψ от времени, иными словами, найти уравнение Шредингера для стационарных состоянии - состоянии с фиксированными значениями энергии. Это возможно, если силовое поле, в котором частица движется, стационарно, т. е. функция U = U(х, у, z) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая - только времени, причем зависимость от времени выражается множителем

,

где Е - полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Подставляя (217.4) в (217.1), получим

откуда после деления на общий множитель е – i (E/ h) t и соответствующих преобразований придем к уравнению, определяющему функцию ψ:

(217.5)

Уравнение (217.5) называетсяуравнением Шредингера для стационарных состояний.

В это уравнение в качестве параметра входит полная энергия Е частицы. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что подобные уравнения имеют бесчисленное множество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл. Для уравнения Шредингера такими условиями являются условия регулярности волновых функций: волновые функции должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными. Таким образом, реальный физический смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциями ψ. Но регулярные решения имеют место не при любых значениях параметра Е, а лишь при определенном их наборе, характерном для данной задачи. Эти значения энергии называютсясобственными. Решения же, которые соответствуютсобственным значениям энергии, называютсясобственными функциями. Собственные значения Е могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном, или сплошном, спектре, во втором - о дискретном спектре.

Согласно фольклору, столь распространенному среди физиков, случилось это так: в 1926 году физик-теоретик по имени выступал на научном семинаре в Цюрихском университете. Он рассказывал о странных новых идеях, витающих в воздухе, о том, что объекты микромира часто ведут себя скорее как волны, нежели как частицы. Тут слова попросил пожилой преподаватель и сказал: «Шрёдингер, вы что, не видите, что всё это чушь? Или мы тут все не знаем, что волны - они на то и волны, чтобы описываться волновыми уравнениями?» Шрёдингер воспринял это как личную обиду и задался целью разработать волновое уравнение для описания частиц в рамках квантовой механики - и с блеском справился с этой задачей.

Тут необходимо сделать пояснение. В нашем обыденном мире энергия переносится двумя способами: материей при движении с места на место (например, едущим локомотивом или ветром) - в такой передаче энергии участвуют частицы - или волнами (например, радиоволнами, которые передаются мощными передатчиками и ловятся антеннами наших телевизоров). То есть в макромире, где живём мы с вами, все носители энергии строго подразделяются на два типа - корпускулярные (состоящие из материальных частиц) или волновые. При этом любая волна описывается особым типом уравнений - волновыми уравнениями. Все без исключения волны - волны океана, сейсмические волны горных пород, радиоволны из далеких галактик - описываются однотипными волновыми уравнениями. Это пояснение нужно для того, чтобы было понятно, что если мы хотим представить явления субатомного мира в терминах волн распределения вероятности (см. Квантовая механика), эти волны также должны описываться соответствующим волновым уравнением.

Шрёдингер применил к понятию волн вероятности классическое дифференциальное уравнение волновой функции и получил знаменитое уравнение, носящее его имя. Подобно тому как обычное уравнение волновой функции описывает распространение, например, ряби по поверхности воды, уравнение Шрёдингера описывает распространение волны вероятности нахождения частицы в заданной точке пространства. Пики этой волны (точки максимальной вероятности) показывают, в каком месте пространства скорее всего окажется частица. Хотя уравнение Шрёдингера относится к области высшей математики, оно настолько важно для понимания современной физики, что я его все-таки здесь приведу - в самой простой форме (так называемое «одномерное стационарное уравнение Шрёдингера»). Вышеупомянутая волновая функция распределения вероятности, обозначаемая греческой буквой («пси»), является решением следующего дифференциального уравнения (ничего страшного, если оно вам не понятно; главное - примите на веру, что это уравнение свидетельствует о том, что вероятность ведёт себя как волна):

где - расстояние, - постоянная Планка , а , и - соответственно масса, полная энергия и потенциальная энергия частицы.

Картина квантовых событий, которую дает нам уравнение Шрёдингера, заключается в том, что электроны и другие элементарные частицы ведут себя подобно волнам на поверхности океана. С течением времени пик волны (соответствующий месту, в котором скорее всего будет находиться электрон) смещается в пространстве в соответствии с описывающим эту волну уравнением. То есть то, что мы традиционно считали частицей, в квантовом мире ведёт себя во многом подобно волне.

Когда Шрёдингер впервые опубликовал свои результаты, в мире теоретической физики разразилась буря в стакане воды. Дело в том, что практически в то же время появилась работа современника Шрёдингера - Вернера Гейзенберга (см. Принцип неопределенности Гейзенберга), в которой автор выдвинул концепцию «матричной механики», где те же задачи квантовой механики решались в другой, более сложной с математической точки зрения матричной форме. Переполох был вызван тем, что ученые попросту испугались, не противоречат ли друг другу два в равной мере убедительных подхода к описанию микромира. Волнения были напрасны. Сам Шрёдингер в том же году доказал полную эквивалентность двух теорий - то есть из волнового уравнения следует матричное, и наоборот; результаты же получаются идентичными. Сегодня используется в основном версия Шрёдингера (иногда его теорию называют «волновой механикой»), так как его уравнение менее громоздкое и его легче преподавать.

Однако представить себе и принять, что нечто вроде электрона ведёт себя как волна, не так-то просто. В повседневной жизни мы сталкиваемся либо с частицей, либо с волной. Мяч - это частица, звук - это волна, и всё тут. В мире квантовой механики всё не так однозначно. На самом деле - и эксперименты это вскоре показали - в квантовом мире сущности отличаются от привычных нам объектов и обладают другими свойствами. Свет, который мы привыкли считать волной, иногда ведёт себя как частица (которая называется фотон), а частицы вроде электрона и протона могут вести себя как волны (см. Принцип дополнительности).

Эту проблему обычно называют двойственной или дуальной корпускулярно-волновой природой квантовых частиц, причем свойственна она, судя по всему, всем объектам субатомного мира (см. Теорема Белла). Мы должны понять, что в микромире наши обыденные интуитивные представления о том, какие формы может принимать материя и как она себя может вести, просто неприменимы. Сам факт, что мы используем волновое уравнение для описания движения того, что привыкли считать частицами, - яркое тому доказательство. Как уже отмечалось во Введении, в этом нет особого противоречия. Ведь у нас нет никаких веских оснований полагать, будто то, что мы наблюдаем в макромире, должно с точностью воспроизводиться на уровне микромира. И тем не менее дуальная природа элементарных частиц остается одним из самых непонятных и тревожащих аспектов квантовой механики для многих людей, и не будет преувеличением сказать, что все беды начались с Эрвина Шрёдингера.

Энциклопедия Джеймса Трефила «Природа науки. 200 законов мироздания».

Джеймс Трефил - профессор физики университета Джорджа Мэйсона (США), один из наиболее известных западных авторов научно-популярных книг.

Комментарии: 0

Макс Планк - один из основоположников квантовой механики - пришел к идеям квантования энергии, пытаясь теоретически объяснить процесс взаимодействия между недавно открытыми электромагнитными волнами и атомами и, тем самым, разрешить проблему излучения черного тела. Он понял, что для объяснения наблюдаемого спектра излучения атомов нужно принять за данность, что атомы излучают и поглощают энергию порциями (которые ученый назвал квантами) и лишь на отдельных волновых частотах.

Абсолютно черное тело, полностью поглощающее электромагнитное излучение любой частоты, при нагревании излучает энергию в виде волн, равномерно распределенных по всему спектру частот.

Слово «квант» происходит от латинского quantum («сколько, как много») и английского quantum («количество, порция, квант»). «Механикой» издавна принято называть науку о движении материи. Соответственно, термин «квантовая механика» означает науку о движении материи порциями (или, выражаясь современным научным языком науку о движении квантующейся материи). Термин «квант» ввел в обиход немецкий физик Макс Планк для описания взаимодействия света с атомами.

Один из фактов субатомного мира заключается в том, что его объекты - такие как электроны или фотоны - совсем не похожи на привычные объекты макромира. Они ведут себя и не как частицы, и не как волны, а как совершенно особые образования, проявляющие и волновые, и корпускулярные свойства в зависимости от обстоятельств. Одно дело - это заявить, и совсем другое - связать воедино волновые и корпускулярные аспекты поведения квантовых частиц, описав их точным уравнением. Именно это и было сделано в соотношении де Бройля.

В повседневной жизни имеется два способа переноса энергии в пространстве - посредством частиц или волн. В обыденной жизни между двумя механизмами передачи энергии видимых противоречий не наблюдается. Так, баскетбольный мяч - это частица, а звук - это волна, и всё ясно. Однако в квантовой механике всё обстоит отнюдь не так просто. Даже из простейших опытов с квантовыми объектами очень скоро становится понятно, что в микромире привычные нам принципы и законы макромира не действуют. Свет, который мы привыкли считать волной, порой ведет себя так, будто состоит из потока частиц (фотонов), а элементарные частицы, такие как электрон или даже массивный протон, нередко проявляют свойства волны.

Больше всего Эйнштейн протестовал против необходимости описывать явления микромира в терминах вероятностей и волновых функций, а не с привычной позиции координат и скоростей частиц. Вот что он имел в виду под «игрой в кости». Он признавал, что описание движения электронов через их скорости и координаты противоречит принципу неопределенности. Но, утверждал Эйнштейн, должны существовать еще какие-то переменные или параметры, с учетом которых квантово-механическая картина микромира вернется на путь целостности и детерминизма. То есть, настаивал он, нам только кажется, будто Бог играет с нами в кости, потому что мы не всё понимаем. Тем самым он первым сформулировал гипотезу скрытой переменной в уравнениях квантовой механики. Она состоит в том, что на самом деле электроны имеют фиксированные координаты и скорость, подобно ньютоновским бильярдным шарам, а принцип неопределенности и вероятностный подход к их определению в рамках квантовой механики - результат неполноты самой теории, из-за чего она и не позволяет их доподлинно определить.

Юлия Зотова

Вы узнаете: Какие технологии называются квантовыми и почему. В чем преимущество квантовых технологий перед классическими. Что может и что не может квантовый компьютер. Как физики делают квантовый компьютер. Когда он будет создан.

Французский физик Пьер Симон Лаплас поставил важный вопрос, о том, всё ли в мире предопределено предыдущим состоянием мира, либо же причина может вызвать несколько следствий. Как и предполагается философской традицией сам Лаплас в своей книге «Изложение системы мира» не задавал никаких вопросов, а сказал уже готовый ответ о том, что да, всё в мире предопределено, однако как часто и случается в философии предложенная Лапласом картина мира не убедила всех и тем самым его ответ породил дискуссию вокруг того вопроса, которая продолжается и по сей день. Несмотря на мнение некоторых философов от том, что квантовая механика разрешила данный вопрос в пользу вероятностного подхода, тем не менее, теория Лапласа о полной предопределенности или как её иначе называют теория лапласовского детерминизма обсуждаема и сегодня.

Гордей Лесовик

Некоторое время назад мы с группой соавторов начали выводить второй закон термодинамики с точки зрения квантовой механики. Например, в одной из его формулировок, гласящей, что энтропия замкнутой системы не убывает, типично растет, а иногда остается постоянной, если система энергетически изолирована. Используя известные результаты квантовой теории информации, мы вывели некоторые условия, при которых это утверждение справедливо. Неожиданно выяснилось, что эти условия не совпадают с условием энергетической изолированности систем.

Профессор физики Джим Аль-Халили исследует наиболее точную и одну из самых запутанных научных теорий - квантовую физику. В начале 20-го века учёные проникли в скрытые глубины материи, в субатомные строительные блоки мира вокруг нас. Они обнаружили явления, которые отличаются от всего увиденного ранее. Мир, где всё может находится во многих местах одновременно, где действительность по-настоящему существует, лишь когда мы наблюдаем за ней. Альберт Эйнштейн противился одной только мысли о том, что в основе сущности природы лежит случайность. Квантовая физика подразумевает, что субатомные частицы могут взаимодействовать быстрее скорости света, а это противоречит его теории относительности.

Для частиц квантового мира действуют другие законы, чем для объектов классической механики. Согласно предположению де Бройля, микрообъекты обладают свойствами и частицы, и волны – и, действительно, при рассеивании пучка электронов на отверстии наблюдается дифракция, характерная для волн.

Поэтому можно говорить не о движения квантовых частиц, а о вероятности того, что частица будет находиться в конкретной точке в некий момент времени.

Что описывает уравнение Шредингера

Уравнение Шрёдингера предназначено для описания особенностей движения квантовых объектов в полях внешних сил. Зачастую частица передвигается сквозь силовое поле, не зависящее от времени. Для этого случая записывается стационарное уравнение Шрёдингера:

В представленном уравнении m и Е – и соответственно энергия частицы, пребывающей в силовом поле, а U – этого поля. — оператор Лапласа. — постоянная Планка, равная 6,626 10 -34 Дж с.

(её также называют амплитудой вероятности, или пси-функцией) – это и есть функция, позволяющая узнать, в каком месте пространства, скорее всего, будет находиться наш микрообъект. Физический смысл имеет не сама функция, а её квадрат. Вероятность того, что частица находится в элементарном объеме :

Следовательно, найти функцию в конечном объеме можно с вероятностью:

Так как пси-функция – вероятность, то она не может быть ни меньше нуля, ни превышать единицу. Полная вероятность найти частицу в бесконечном объеме – это условие нормировки:

Для пси-функции работает принцип суперпозиции: если частица или система может находиться в ряде квантовых состояний , то для нее возможно и состояние, определяемое их суммой:

Стационарное уравнение Шрёдингера имеет множество решений, однако при решении следует учесть граничные условия и отобрать только собственные решения – те, которые обладают физическим смыслом. Такие решения существуют только для отдельных значений энергии частицы Е, которые и образуют дискретный энергетический спектр частицы.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Волновая функция описывает расстояние электрона до ядра водорода: r – расстояние между электроном и ядром, a – первый Боровский радиус. На каком расстоянии от ядра электрон, скорее всего, находится?
Решение	1) Выразив объем через радиус ядра, найдем вероятность того, что электрон находится в пределах некоторого расстояния от ядра: 2) Вероятность того, что электрон находится в пределах элементарного «кольца» dr: 3) Чтобы найти наиболее вероятное расстояние, найдем из последнего выражения: Решив это уравнение, получим r = a – самое вероятное расстояние между электроном и ядром.
Ответ	r = a – с наибольшей вероятностью ядро находится на расстоянии первого Боровского радиуса от ядра.

ПРИМЕР 2

Задание

Найти уровни энергии частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме.

Решение

Пусть частица движется по оси абсцисс. Ширина ямы – l. Энергию мы отсчитываем от дна ямы и описываем функцией: Запишем одномерное стационарное уравнение Шрёдингера: Рассмотрим граничные условия. Так как мы считаем, что частица не может проникнуть за стенки, то за пределами ямы =0. На границе ямы пси-функция также равна нулю: В яме потенциальная энергия U=0. Тогда уравнение Шрёдингера, записанное для ямы, упростится: По форме это – ДУ гармонического осциллятора:

В развитие идеи де-Бройля о волновых свойствах вещества Э. Шрёдингер получил в 1926 г. свое знаменитое уравнение. Шрёдингер сопоставил движению микрочастицы комплексную функцию координат и времени, которую он назвал волновой функцией и обозначил греческой буквой «пси» (). Мы будем называть ее пси-функцией.

Пси-функция характеризует состояние микрочастицы. Вид функции получается из решения уравнения Шрёдингера, которое выглядит следующим образом:

Здесь - масса частицы, i - мнимая единица, - оператор Лапласа, результат действия которого на некоторую функцию представляет собой сумму вторых частных производных по координатам:

Буквой U в уравнении (21.1) обозначена функция координат и времени, градиент которой, взятый с обратным знаком, определяет силу, действующую на частицу. В случае, когда функция U не зависит явно от времени, она имеет смысл потенциальной энергии частицы.

Из уравнения (21.1) следует, что вид пси-функции определяется функцией U, т. е. в конечном счете характером сил, действующих на частицу.

Уравнение Шрёдингера является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики. Оно не может быть выведено из других соотношений. Его следует рассматривать как исходное основное предположение, справедливость которого доказывается тем, что все вытекающие из него следствия самым точным образом согласуются с опытными фактами.

Шрёдингер установил свое уравнение, исходя из оптико-механической аналогии. Эта аналогия заключается в сходстве уравнений, описывающих ход световых лучей, с уравнениями, определяющими траектории частиц в аналитической механике. В оптике ход лучей удовлетворяет принципу Ферма (см. § 115 2-го тома), в механике вид траектории удовлетворяет так называемому принципу наименьшего действия.

Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно, то функция V не зависит явно от времени и имеет, как уже отмечалось, смысл потенциальной энергии. В этом случае решение уравнения Шрёдингера распадается на два множителя, один из которых зависит только от координат, другой - только от времени:

Здесь Е - полная энергия частицы, которая в случае стационарного поля остается постоянной. Чтобы убедиться в справедливости выражения (21.3), подставим его в уравнение (21.1). В результате получим соотношение

Сократив на общий множитель придем к дифференциальному уравнению, определяющему функцию

Уравнение (21.4) называется уравнением Шрёдингера для стационарных состояний. В дальнейшем мы будем иметь дело только с этим уравнением и для краткости будем называть его просто уравнением Шрёдингера. Уравнение, (21.4) часто пишут в виде

Поясним, как можно прийти к уравнению Шрёдингера. Для простоты ограничимся одномерным случаем. Рассмотрим свободно движущуюся частицу.

Согласно идее де-Бройля ей нужно сопоставить плоскую волну

(в квантовой механике принято показатель экспоненты брать со знаком минус). Заменив в соответствии с (18.1) и (18.2) через Е и , придем к выражению

Продифференцировав это выражение один раз по t, а второй раз дважды по х, получим

В нерелятивистской классической механике энергия Е и импульс свободной частицы связаны соотношением

Подставив в это соотношение выражения (21.7) для Е и и сократив затем на , получим уравнение

которое совпадает с уравнением (21.1), если в последнем положить

В случае частицы, движущейся в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U, энергия Е и импульс связаны соотношением

Распространив и на этот случай выражения (21.7) для Е и получим

Умножив это соотношение на , перенеся член влево, придем к уравнению

совпадающему с уравнением (21.1).

Изложенные рассуждения не имеют доказательной силы и не могут рассматриваться как вывод уравнения Шрёдингера. Их цель - пояснить, каким образом можно было прийти к установлению этого уравнения.

В квантовой механике большую роль играет понятие Под оператором подразумевают правило, посредством которого одной функции (обозначим ее ) сопоставляется другая функция (обозначим ее ). Символически это записывается следующим образом:

Здесь - символическое обозначение оператора (с таким же успехом можно было взять любую другую букву с «шляпкой» над ней, например и т. д.). В формуле (21.2) роль Q играет роль - функция F, а роль f - правая часть формулы.