Эту лекцию я читаю вам для развлечения. Захотелось посмотреть, что получится, если начать читать в немного ином стиле. В курс она не входит, и не думайте, что это попытка обучить вас в последний час чему-то новому. Я скорее воображаю, будто провожу семинар или будто делаю отчет об исследованиях перед более подготовленной аудиторией, перед людьми, которые в квантовой механике уже многое понимают. Основное различие между семинаром и регулярной лекцией в том, что на семинаре докладчик не приводит все стадии, всю алгебру выкладок. Он просто говорит: «Если вы проделаете то-то и то-то, то получится вот что», а в детали не входит. Вот и в этой лекции будут только высказываться идеи и приводиться результаты расчетов. А вы должны понимать, что вовсе не обязательно во всем немедленно и до конца разбираться, надо только верить, что если проделать все выкладки, то все так и получится.
Но это не все. Главное – что об этом мне хочется говорить. Это такая свежая, актуальная, современная тема, что вполне законно вынести ее на семинар. Тема эта – классический аспект уравнения Шредингера, явление сверхпроводимости.
Обычно та волновая функция, которая появляется в уравнении Шредингера, относится только к одной или к двум частицам. И сама волновая функция классическим смыслом не обладает в отличие от электрического поля, или векторного потенциала, или других подобных вещей. Правда, волновая функция отдельной частицы - это «поле» в том смысле, что она есть функция положения, но классического значения она, вообще говоря, не имеет. Тем не менее бывают иногда обстоятельства, в которых квантовомеханическая волновая функция действительно имеет классическое значение, именно их я и хочу коснуться. Своеобразие квантовомеханического поведения вещества в мелких масштабах обычно не дает себя чувствовать в крупномасштабных явлениях, если не считать стандартных выводов о том, что оно вызывает к жизни законы Ньютона, законы так называемой классической механики. Но существуют порой обстоятельства, в которых особенности квантовой механики могут особым образом сказаться в крупномасштабных явлениях.
При низких температурах, когда энергия системы очень-очень сильно убывает, вместо прежнего громадного количества состоянии в игру включается только очень-очень малое количество состояний - тех, которые расположены неподалеку от основного. При таких условиях квантовомеханический характер этого основного состояния может проявиться на макроскопическом уровне. Вот целью этой лекции и будет продемонстрировать связь между квантовой механикой и крупномасштабными эффектами – не обычное обсуждение пути, по которому квантовая механика в среднем воспроизводится ньютоновой механикой, а специальный случай, когда квантовая механика вызывает свои собственные, характерные для нее эффекты в крупных, «макроскопических» размерах.
Начну с того, что напомню вам кое-какие свойства уравнения Шредингера. Я хочу с помощью уравнения Шредингера описать поведение частицы в магнитном поле, потому что явления сверхпроводимости связаны с магнитными полями. Внешнее магнитное поле описывается векторным потенциалом, и вопрос состоит в том, каковы законы квантовой механики в поле векторного потенциала. Принцип, определяющий квантовомеханическое поведение частицы в поле векторного потенциала, очень прост. Амплитуда того, что частица при наличии поля перейдет по некоторому пути из одного места в другое (фиг. 19.1), равна амплитуде того, что она прошла бы по этому пути без поля, умноженной на экспоненту от криволинейного интеграла от векторного потенциала, умноженного в свою очередь на электрический заряд и деленного на постоянную Планка [см. гл. 15, § 2 (вып. 6)]:
Это исходное утверждение квантовой механики.
Фиг. 19.1. Амплитуда перехода из в по пути пропорциональна 
.
И вот в отсутствие векторного потенциала уравнение Шредингера для заряженной частицы (нерелятивистской, без спина) имеет вид
где – электрический потенциал, так что – потенциальная энергия. А уравнение (19.1) равнозначно утверждению, что в магнитном поле градиенты в гамильтониане нужно каждый раз заменять на градиент минус , так что (19.2) превращается в
Это и есть уравнение Шредингера для частицы с зарядом (нерелятивистской, без спина), движущейся в электромагнитном поле .
Чтобы
стало ясно, что оно правильно, я хочу проиллюстрировать это простым примером,
когда вместо непрерывного случая имеется линия атомов, расставленных на оси на расстоянии друг от друга, и
существует амплитуда того, что электрон перепрыгнет в
отсутствие поля от одного атома к другому. Тогда, согласно уравнению (19.1),
если имеется вектор-потенциал в -направлении, то амплитуда перескока
по сравнению с тем, что было раньше, изменится, ее придется домножить на 
- экспоненту с
показателем, равным произведению на векторный потенциал,
проинтегрированный от одного атома до другого. Для простоты мы будем писать 
, поскольку , вообще говоря,
зависит от .
Если обозначить через амплитуду того, что электрон
обнаружится возле атома , расположенного в точке , то скорость
изменения этой амплитуды будет даваться уравнением
В нем три части. Во-первых, у электрона, который находится в точке , есть некоторая энергия . Это, как обычно, дает член . Затем имеется член , т. е. амплитуда того, что электрон от атома , расположенного в , отпрыгнул на шаг назад. Однако если это происходит в присутствии векторного потенциала, то фаза амплитуды обязана сместиться согласно правилу (19.1). Если на расстоянии между соседними атомами заметно не изменяется, то интеграл можно записать попросту в виде значения посредине, умноженного на расстояние. Итак, произведение на интеграл равно . А раз электрон прыгал назад, я этот сдвиг фазы отмечаю знаком минус. Это дает вторую часть. И точно так же имеется некоторая амплитуда того, что будет прыжок вперед, но на этот раз уже берется векторный потенциал с другой стороны от , на расстоянии , и умножается на расстояние . Это дает третью часть. В сумме получается уравнение для амплитуды того, что частица в поле, характеризуемом векторным потенциалом, окажется в точке .
Но
дальше мы знаем, что если функция достаточно плавная (мы берем
длинноволновый предел) и если мы сдвинем атомы потеснее, то уравнение (14.4)
(стр. 80) будет приблизительно описывать поведение электрона в пустоте. Поэтому
следующим шагом явится разложение обеих сторон (19.4) по степеням , считая очень малым. К
примеру, если ,
то правая часть будет равна просто 
, так что в нулевом приближении
энергия равняется . Затем пойдут степени , но из-за того,
что знаки показателей экспонент противоположны, останутся только четные
степени. В итоге, если вы разложите в ряд Тэйлора , и экспоненты и соберете затем члены
с , вы
получите.
А теперь вспомните, что решения в нулевом магнитном поле (см. гл. И, § 3)
изображают частицу с эффективной массой , даваемой формулой
Если
вы затем положите и снова вернетесь к 
, то легко
убедитесь, что (19.6) это то же самое, что первая часть (19.3). (Происхождение
члена с потенциальной энергией хорошо известно, и я не буду им заниматься.)
Утверждение (19.1) о том, что векторный потенциал умножает все амплитуды на
экспоненциальный множитель, равнозначно правилу, что оператор импульса заменяется на , как мы и сделали
в уравнении Шредингера (19.3).
Частица со спином обладает также и определенным «собственным» магнитным моментом . Соответствующий ему квантовомеханический оператор пропорционален оператору спина s, т. е. может быть, записан в виде
где s - величина спина частицы, - характерная для частицы постоянная. Собственные значения проекции магнитного момента равны Отсюда видно, что коэффициент (который и называют обычно просто величиной магнитного момента) представляет собой наибольшее возможное значение достигаемое при проекции спина
Отношение дает отношение собственного магнитного момента частицы к ее собственному механическому моменту (когда оба направлены по оси ). Как известно, для обычного (орбитального) момента это отношение равно (см. II, § 44). Коэффициент же пропорциональности между собственным магнитным моментом и спином частицы оказывается иным. Для электрона он равен - т. е. вдвое больше обычного значения (такое значение получается теоретически из релятивистского волнового уравнения Дирака - см. IV, § 33). Собственный магнитный момент электрона (спин 1/2) равен, следовательно, где
Эту величину называют магнетоном Бора.
Магнитный момент тяжелых частиц принято измерять в ядерных магнетонах, определяемых как где - масса протона. Эксперимент дает для собственного магнитного момента протона значение 2,79 ядерных магнетонов, причем момент направлен по спину. Магнитный момент нейтрона направлен противоположно спину и равен 1,91 ядерного магнетона.
Обратим внимание на то, что величины и s, стоящие в обоих сторонах равенства (111,1), как и следовало, одинаковы по своему векторному характеру: обе являются аксиальными векторами.
Аналогичное же равенство для электрического двпольного момента противоречило бы симметрии по отношению к инверсии координат: при инверсии менялся бы относительный знак обеих сторон равенства.
В нерелятивистской квантовой механике магнитное поле может рассматриваться только в качестве внешнего поля. Магнитное взаимодействие частиц друг с другом является релятивистским эффектом, и его учет требует последовательной релятивистской теории.
В классической теории функция Гамильтона заряженной частицы в электромагнитном воле имеет вид
где - скалярный, А - векторный потенциал поля, - обобщенный импульс частицы (см. II, § 16). Если частица не обладает едином, то переход к квантовой механике производится обычным образом: обобщенный импульс надо заменить оператором и мы получим гамильтониан
Если же частица обладает спином, то такая операция недостаточна. Дело в том, что собственный магнитный момент частицы непосредственно взаимодействует с магнитным полем. В классической функции Гамильтона это взаимодействие вообще отсутствует, поскольку сам спин, будучи чисто квантовым эффектом, исчезает при переходе к классическому пределу. Правильное выражение для гамильтониана получится путем введения (в 111,3) дополнительного члена - соответствующего энергии магнитного момента , в поле Н. Таким образом, гамильтониан частицы, обладающей спином, имеет вид
При раскрытии квадрата надо иметь ввиду, оператор , вообще говоря, не коммутативен с вектором А, являющимся функцией координат. Поэтому надо писать
Согласно правилу коммутации (16,4) оператора импульса с любой функцией координат имеем
Таким образом, и А коммутативны, если , в частности, имеет место для однородного поля, если выбрать его векторный потенциал в виде
(111,7)
Уравнение с гамильтонианом (111,4) представляет собой обобщение уравнения Шредингера на случай наличия магнитного поля. Волновые функции, на которые действует гамильтониан в этом уравнении, - симметричные спиноры ранга
Волновые функции частины в электромагнитном поле обладают неоднозначностью, связанной с неоднозначностью потенциалов поля. Как известно (см. II, § 18), последние определены лишь с точностью до калибровочного преобразования
где - произвольная функция координат и времени. Такое преобразование не отражается на значениях напряженностей поля. Ясно поэтому, что оно не должно существенно изменять также и решений волнового уравнения; в частности, должен оставаться неизменным квадрат Действительно легко убедиться в том, что мы вернемся к исходному уравнению, если одновременно с заменой (111,8) в гамильтониане произвести также и замену волновой функции согласно
(111,9)
Эта неоднозначность волновой функции не сказывается ни на какой имеющей физический смысл величине (в определение которой не входят в явном виде потенциалы).
В классической механике обобщенный импульс частицы связан с ее скоростью соотношением Для того чтобы найти оператор v в квантовой механике, надо прокоммутировать вектор с гамильтонианом.
Простое вычисление приводит к результату
(111,10)
в точности аналогичному классическому. Для операторов компонент скорости имеют место правила коммутации
которые легко проверить непосредственным вычислением. Мы видим, что в магнитном поле операторы трех компонент скорости частицы (заряженной) оказываются некоммутативными. Это значит, что частица не может иметь одновременно определенных значений скорости по всем трем направлениям.
При движении в магнитном поле симметрия по отношению к обращению времени имеет место лишь при условии изменения знака поля Н (и векторного потенциала А). Это значит (см. § 18 и 60), что уравнение Шредингера должно сохранить свой вид при переходе к комплексно сопряженным величинам и изменении знака Н. Для всех членов в гамильтониане (111,4), за исключением члена - это непосредственно очевидно. Член же
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
И ЕГО ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ (продолжение): прохождение частицы через ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР, Гармонический осциллятор
Прохождение частицы через потенциальный барьер для классического случая нами уже рассматривался в ЛЕКЦИИ 7 ЧАСТИ 1 (см. рис. 7.2). Рассмотрим теперь микрочастицу, полная энергия которой меньше уровня U потенциального барьера (рис. 19.1). В классическом варианте в этом случае прохождение частицы через барьер невозможно. Однако в квантовой физике существует вероятность, что частица пройдет. Причем она не "перепрыгнет" через него, а как бы "просочится", употребив свои волновые качества. Поэтому эффект еще называется "туннельным". Для каждой из областей I, II, III запишем стационарное уравнение Шредингера (18.3).
Для I
и III
: 
, (19.1, а)
для II:
https://pandia.ru/text/78/010/images/image005_107.gif" width="71" height="32">, где a = const.
Тогда 
и y" = . Подстановка y" в (19.1a) дает: Искомое общее решение для области I
запишется в виде суперпозиции
https://pandia.ru/text/78/010/images/image010_62.gif" width="132" height="32 src="> . (19.3)
В этом случае начальная точка распространения волны сдвинута на L , a В 3 = 0 , поскольку в области III имеется только проходящая волна.
В области II (барьер) подстановка y" в (19.1б) дает
https://pandia.ru/text/78/010/images/image012_51.gif" width="177" height="32">.
Вероятность прохождения характеризуется коэффициентом прохождения - отношением интенсивности прошедшей волны к интенсивности падающей:
(0) = y2"(0) , y2"(L ) = y3"(L ); (19.5)
из которых первые два означают "сшивание" функций на левой и на правой границах барьера, а третье и четвертое - гладкость такого перехода. Подставляя в (19.5) функции y1, y2 и y3, получим уравнения
Поделим их на А 1 и обозначим a 2=A 2/A 1; b 1=B 1/A 1; a 3=A 3/A 1; b 2=B 2/A 1.
. (19.6)
Умножим первое уравнение (19.6) на i k и сложим со вторым. Получим 2 i k = a 2(q + i k ) - b 2(q - i k ) . (19.7)
Вторую пару уравнений (19.6) будем рассматривать как систему двух уравнений с неизвестными a 2 и b 2.
Детерминанты этой системы:
https://pandia.ru/text/78/010/images/image017_33.gif" width="319" height="32">,
где e-qL (q+ i k) 2 » 0, т. к. qL >> 1.
Поэтому https://pandia.ru/text/78/010/images/image019_32.gif" width="189" height="63">, и, чтобы найти модуль комплексной величины а 3, умножим числитель и знаменатель полученной дроби на (q + i k )2. После простых преобразований получим
https://pandia.ru/text/78/010/images/image021_30.gif" width="627" height="135 src=">Обычно E/U ~ 90% и весь коэффициент перед "е" имеет порядок единицы. Поэтому вероятность прохождения частицы через барьер определяется следуюшим соотношением:
https://pandia.ru/text/78/010/images/image023_24.gif" width="91" height="44">.
Это означает, что при E < U частица барьера не преодолеет, т. е. туннельный эффект в классической физике отсутствует.
Этот эффект используется в инженерной практике для создания туннельных диодов, широко применяемых в радиотехнических устройствах (см. ЧАСТЬ 3, ЛЕКЦИЯ 3).
Кроме того, оказалось возможным инициировать в земных условиях термоядерную реакцию синтеза, которая на Солнце идет в обычных для Солнца условиях - при температуре T ~ 109 K . На Земле такой температуры нет, однако, благодаря туннельному эффекту, есть вероятность запуска реакции при температуре T ~ 107 K , имеющей место при взрыве атомной бомбы, которая и явилась запальным устройством для водородной . Более подробно об этом в следующей части курса.
Гармонический осциллятор. Классический гармонический осциллятор нами также уже рассматривался (ЛЕКЦИИ 1,2 ЧАСТИ 3). Им, например, является пружинный маятник, полная энергия которого E = mV 2/2 + kx 2/2. Теоретически эта энергия может принимать непрерывный ряд значений, начиная от нуля.
Квантовый гармонический осциллятор - это колеблющаяся по гармоническому закону микрочастица, находящаяся в связанном состоянии внутри атома или ядра. При этом потенциальная энергия остается классической, характеризуя аналогичную упругую возвращающую силу kx
. Учитывая, что циклическая частота 
получим для потенциальной энергии https://pandia.ru/text/78/010/images/image026_19.gif" width="235" height="59">. (19.9)
В математическом отношении задача эта еще более сложная, чем предыдущие. Поэтому ограничимся констатацией того, что получится в результате. Как и в случае с одномерной ямой, мы получим дискретный
спектр собственных функций и собственных энергий, и одному собственному значению энергии будет соответствовать одна волновая функция: En
Û yn
(нет вырождения состояний, как в случае с трехмерной ямой). Плотность вероятности |yn|2 также представляет собой осциллирующую функцию, однако высота "горбов" различна. Это уже не банальный sin
2
, а более экзотические полиномы Эрмита Hn
(x
). Волновая функция имеет вид
, где С
n
- зависящая от n
константа. Спектр собственных значений энергий:
, (19.10)
где квантовое число n = 0, 1, 2, 3 ... . Таким образом, существует и "нулевая энергия" , выше которой спектр энергий образует "этажерку", где полочки расположены на одинаковом расстоянии друг от друга (рис. 19.2). На том же рисунке для каждого уровня энергии показана соответствующая плотность вероятности |yn|2, а также потенциальная энергия внешнего поля (пунктирная парабола).
Существование отличной от нуля минимально возможной энергии осциллятора имеет глубокий смысл. Это означает, что колебания микрочастиц не прекращаются никогда , что в свою очередь означает недостижимость абсолютного нуля температуры.
1. , Бурсиан физика: Курс лекций с компьютерной поддержкой: Учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений: В 2 т. – М.: Изд-во ВЛАДОС-ПРЕСС, 2001.
В принципе ничего особенного, их можно найти в таблицах и даже построить графики.
где – оператор Гамильтона – аналог классической функции Гамильтона
в которой и заменены операторами импульса x , y , z и координаты , , :
х → = х, y → = y, z → = z,
| (4.2) |
Уравнение ШредингераЗависящее от времени уравнение Шредингера: где – гамильтониан системы. Разделение переменных. Запишем Ψ(,t) = ψ()θ(t), где ψ является функцией координат, а θ – функция времени. Если не зависит от времени, тогда уравнение ψ = iћψ принимает вид θψ = iћψθ или Левая часть является функцией только координат, а правая не зависит от переменной x. Поэтому обе части последнего уравнения должны быть равны одной и той же постоянной, которую обозначим E
Следовательно, θ(t) = exp(−iEt/ћ), ψ() = Eψ() и Ψ(,t) = ψ()exp(−iEt/ћ). Уравнение ψ() = Eψ() называют стационарным уравнением Шредингера. Для одномерной системы с массой m в поле с потенциалом U(x) оно принимает вид:
Для трехмерной системы с массой m в поле с потенциалом U(): −(ћ 2 /2m)Δψ() + U()ψ() = Eψ(), где Δ – лапласиан. |
или
Так как уравнение Шредингера является линейным уравнением первого порядка по времени, то с его помощью по заданному значению волновой функции Ψ(x, y, z, 0) в момент времени t = 0 можно найти её значение в произвольный момент времени t − Ψ(x, y, z, t).
Уравнение Шредингера для стационарного состояния, когда потенциальная энергия частицы не зависит от времени, имеет вид
| ψ() = Eψ(). | (4.3) |
Это уравнение называют стационарным уравнением Шредингера.
Так как в стационарном состоянии
| Ψ(,t) = ψ()exp(−iEt/ћ) | (4.4) |
и вероятность найти частицу в момент t в точке x, y, z пропорциональна |Ψ(,t)|, то она ~ |ψ(x,y,z)| 2 , т.е. не зависит от времени. Аналогично, вероятность обнаружить значение физической величины, характеризующей систему, также не изменяется со временем, поскольку выражается через квадрат модуля волновой функции.
4.2 . Частица в одномерной прямоугольной яме с бесконечными стенками
Потенциальная энергия U(x) в прямоугольной яме удовлетворяет следующим условиям:
Частица находится в области 0 ≤ x ≤ L. Вне этой области ψ(x) = 0. Уравнение Шредингера для частицы, находящейся в области 0 ≤ x ≤ L
где k = (2mE/ћ 2) 1/2 . Из граничных условий ψ(0) = 0, ψ(L) = 0 и условий непрерывности волновой функции следует
Частица может находиться в
каком-то одном из множества дискретных состояний, доступных для неё.
Каждому значению энергии E n соответствует
волновая функция ψ n (x), которая с учетом
условия нормировки
имеет вид
 |
(4.10) |
В отличие от классической, квантовая частица в прямоугольной яме не может
иметь энергию
E < ћ 2 π 2 /(2mL 2).
Состояния частицы ψ n в
одномерном поле бесконечной потенциальной ямы полностью описывается с помощью
одного квантового числа n. Спектр энергий дискретный.
Рис. 4.2. Уровни энергии и волновые функции частицы Ψ в бесконечной прямоугольной яме. Квадрат модуля волновой функции |Ψ| 2 определяет вероятность нахождения частицы в различных точках потенциальной ямы.
4.3 . Гармонический осциллятор
Положение уровней частицы в потенциальной яме зависит от вида потенциальной ямы. В одномерной потенциальной яме гармонического осциллятора потенциальная энергия имеет вид
Допустимые значения полной энергии определяются формулой
| E n = ћω 0 (n + 1/2), n = 0, 1, 2, | (4.13) |
В отличие от бесконечной прямоугольной ямы, спектр уровней гармонического
осциллятора эквидистантный.
С увеличением массы частицы или размеров области ее локализации квантовое
описание частицы переходит в классическое.
4.4 . Частица в поле с центральной симметрией
В сферических координатах стационарное уравнение Шредингера для частицы в центральном потенциале U(r) имеет вид
где радиальная функция R nl (r) и угловая функция Y lm (θ,φ), называемая сферической, удовлетворяют уравнениям
| 2 Y lm (θ,φ) = ћ 2 l (l +1)Y lm (θ,φ) | (4.16) |
 Y lm (θ,φ)
= ћ 2 l
(l
+1)Y lm (θ,φ) |
(4.17) |
Уравнение (4.16) определяет возможные собственные значения
l
и собственные функции Y lm (θ,φ) оператора
квадрата момента 2 .
Уравнение (4.17) определяет собственные значения энергии Е и радиальные
собственные функции R nl (r),
от которых зависит энергия системы (рис. 4.3).
Схема уровней (последовательность и абсолютные значения энергий) зависит от
радиальной функции R nl (r),
которая в свою очередь определяется потенциалом U(r),
в котором находится частица.
Рис. 4.3. Радиальное распределение вероятности нахождения электрона в
кулоновском поле протона (атом водорода). Расстояния даны в боровских радиусах
r 0 = ћ 2 /m e e 2 ≈
0.529·10 8 cм.
4.5 . Орбитальный момент количества движения
Собственные значения L 2 и L z являются решением уравнений
2 Y lm (θ,φ) = L 2 Y lm (θ,φ) и z Y lm (θ,φ) = L z Y lm (θ,φ).
Они имеют следующие дискретные значения
L 2 =
ћ 2 l(l
+ 1), где l = 0, 1, 2, 3, …,
L z =
ћm,
где m = 0, ± 1,
± 2, ± 3,…,
± l.
Для характеристики состояний с различными значениями орбитального момента l обычно используют следующие обозначения:
Спектроскопические названия орбитальных моментов l
| l = 0 | s-состояние |
| l = 1 | p-состояние |
| l = 2 | d-состояние |
| l = 3 | f-состояние |
| l = 4 | g-состояние |
| l = 5 | h-состояние |
| и. т. д. |
Состоянию с l = 0 отвечает сферически симметричная
волновая функция. В тех случаях, когда l ≠ 0
волновая функция не имеет сферической симметрии. Симметрия волновой функции
определяется симметрией сферических функций Y lm (θ,φ).
Имеет место интересное квантовое явление, когда решение сферически симметричной
задачи (потенциал описывает сферически симметричную систему) приводит к
состояниям, не обладающим сферической симметрией. Таким образом, симметрия
уравнений не обязательно должна отражаться в симметрии каждого отдельно взятого
решения этих уравнений, а лишь во всей совокупности
этих решений.
Для частицы, находящейся в сферически симметричном потенциале, величина
орбитального момента количества движения L:
| (4.18) |
Обычно, для упрощения, когда говорят о величине орбитального момента количества движения, называют этой величиной квантовое число l, имея в виду, что между l и L имеется однозначная связь (4.18).
Так как величина l может принимать только целочисленные значения 0, 1, 2, 3,…, то и орбитальный момент количества движения L квантуется. Например, для частицы с l = 2 момент количества движения
=
= 6.58·10 -22 √6
МэВ·сек ≈ 2.6·10 - 34
Дж·сек.
Пространственное квантование
. Орбитальный момент количества движения является
векторной величиной. Так как величина орбитального момента количества движения
квантуется, то и направление
по
отношению к выделенному направлению z, например, к
внешнему магнитному полю, также квантуется и принимает дискретные значения
Lz =
ћm,
где m изменяется от +l до –l,
т. е. имеет 2l + 1 значений. Например, при
l = 2 величина m принимает
значения +2, +1, 0, -1, -2 (см. рис. 4.4). Вместе с тем энергия системы не
зависит от m, т. е. от направления вектора
,
что является очевидным следствием сферической симметрии системы.
Состояние частицы, находящейся в сферически симметричном поле, полностью
описывается тремя квантовыми числами: n,
l и m.
Появление квантовых чисел связано со свойствами симметрии системы. Характер
этой симметрии определяет возможные значения квантовых чисел. Очевидно, что
система, описываемая функцией e im φ , примет прежнее
значение только тогда, когда азимутальный угол φ в результате поворота вокруг
оси z примет прежнее значение φ. Этому условию функция
e im φ удовлетворяет только в случае, когда величина
mφ кратна 2π. Т.е. величина m
должна иметь целые значения. Так как необходимо учитывать вращение в двух
противоположных направлениях и отсутствие вращения, единственно возможными
значениями оказываются m = 0, ±1, ±2, … .
4.6 . Спин
Спин − собственный момент количества движения частицы. Между значением вектора спина и квантовым числом спина s выполняется такое же соотношение, как между величиной значением вектора орбитального момента и орбитальным квантовым числом l:
| 2 = ћ 2 s(s + 1) | (4.19) |
В отличие от орбитального квантового числа l,
которое может быть лишь целым числом или нулем, спиновое квантовое число
s (в дальнейшем просто спин) может быть как целым
(включая нуль), так и полуцелым, т. е. s = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2,
… , но при этом для каждой элементарной частицы спин может принимать
единственное присущее этому типу частиц значение
. Так, спины π-мезонов и К-мезонов
равны 0. Спины электрона, протона, нейтрино, кварков и их античастиц равны 1/2.
Спин фотона равен 1. Бозоны составляют класс частиц с целым значением спина,
спин фермионов имеет полуцелое значение. Спин частицы невозможно изменить, также
как её заряд или массу. Это её неизменная квантовая характеристика.
Как и в случае других квантовых векторов, проекция вектора спина
на
любое фиксированное направление в пространстве (например, на ось
z) может принимать 2s + 1
значение:
s z ћ = ±sћ, ±(s − 1)ћ, ±(s − 2)ћ,..., ±1/2ћ или 0.
Число s z − это квантовое число проекции спина. Максимальная величина s z совпадает с s. Так как спин электрона равен 1/2, то проекция этого спина может принимать лишь два значения s z = ±1/2. Если проекция +1/2, то говорят, что спин направлен вверх, если проекция -1/2, то говорят, что спин направлен вниз.
4.7 . Полный момент количества движения
Полный момент количества движения частицы или системы частиц является векторной суммой орбитального и спинового моментов количества движения.
Квадрат полного момента имеет значение:
2 = ћ 2 j(j + 1).
Квантовое число полного момента j, соответствующее сумме двух векторов и , может принимать ряд дискретных значений, отличающихся на 1:
j = l + s, l + s −1,..., |l − s|
Проекция на выделенную ось J z также принимает дискретные значения:
J z = ћj z ; = -j, -j + 1,..., j − 1, j.
Число значений проекции J z равно 2j + 1. Если для и определены единственные значения проекций на ось z l z и s z , то j z также определена однозначно: j z = l z + s z .
4.8 . Квантовые числа
Квантовые числа – это целые или дробные числа, которые определяют все возможные значения физической величины, характеризующей различные квантовые системы – атомы, атомные ядра, кварки и другие частицы.
Таблица квантовых чисел
| n | Радиальное квантовое число. Определяет число узлов волновой функции и энергию системы. n = 1, 2, …, ∞. |
| J, j | Полный угловой момент J и его квантовое число j. Последнее никогда не бывает отрицательным и может быть целым или полуцелым в зависимости от свойств рассматриваемой системы. 2 = ћ 2 j(j + 1). |
| L, l | Орбитальный угловой момент L и его квантовое число l. Интерпретация l такая же, как j, но l может принимать только целые значения, включая нуль: l = 0, 1, 2,…. L 2 = ћ 2 l(l + 1). |
| m | Магнитное квантовое число. Проекция полного или орбитального углового момента на выделенную ось (обычно ось z) равна mћ. Для полного момента m = ±j, ±(j-1), …, ±1/2 или 0. Для орбитального m = ± l, ± (l-1), …, ±1, 0. |
| S, s | Спиновый угловой момент S и его квантовое число s. Оно может быть либо положительным целым (включая нуль), либо полуцелым. s – неизменная характеристика частицы определенного типа. S 2 = ћ 2 s(s + 1). |
| s z | Квантовое число проекции спинового момента частицы на выделенную ось. Эта проекция может принимать значения s z ћ, где s z = ± s, ± (s -1), …, ±1/2 или 0. |
| P или π | Пространственная четность. Характеризует поведение системы при пространственной инверсии → - (зеркальном отражении). Полная четность частицы Р = π(-1) l , где π – её внутренняя четность, а (-1) l – её орбитальная четность. Внутренние четности кварков положительные, антикварков - отрицательные. |
| I | Изоспин. Характеризует свойство зарядовой инвариантности сильных взаимодействий |
Для обозначения спинового момента часто используют букву J.
Все состояния, в которых может находиться квантовая система, описываются с помощью полного набора квантовых чисел. Так в случае протона в ядре состояние протона описывается с помощью четырех квантовых чисел, соответствующих четырем степеням свободы – трем пространственным координатам и спину. Это
- Радиальное квантовое число n (1, 2, …, ∞),
- Орбитальное квантовое число l (0, 1, 2, …),
- Проекция орбитального момента m (± l, ± (l-1), …, ±1, 0),
- Спин протона s =1/2.
Для описания сферически-симметричных систем в квантовой физике используются различные сферически симметричные потенциалы с различной радиальной зависимостью:
где U 0 ,
а и R – положительные константы (R
– радиус ядра). Во всех случаях сферически симметричные системы можно
описать с помощью набора квантовых чисел n,
l, j,
j z ,
однако, в зависимости от радиального вида потенциала энергетический спектр
состояний системы будет различным.
Существование сохраняющихся во времени физических величин тесно связано со
свойствами симметрии гамильтониана системы. Например, в случае, если квантовая
система обладает центральной симметрией U = U(r),
то этой системе соответствует сохранение орбитального момента количества
движения l и одной из его проекций
m. При этом из-за сферической симметрии задачи энергия состояний не будет
зависеть от величины m, т. е. состояния будут
вырожденными по m.
Наряду с пространственными симметриями, связанными с непрерывными
преобразованиями, в квантовой физике существуют и другие симметрии –
дискретные. Одной из них является зеркальная симметрия волновой функции
относительно инверсии координат (→
-).
Оператору инверсии соответствует квантовое число четность, которое может
принимать два значения +1 и -1 в зависимости от того, сохраняется ли знак
волновой функции при инверсии или меняется на противоположный.
Система тождественных частиц характеризуется еще одной симметрией –
симметрией относительно перестановок тождественных частиц. Эта симметрия
определяется свойствами частиц, образующих систему. Системы частиц с целым
спином (бозонов) описываются симметричными волновыми функциями, системы частиц с полуцелым
спином (фермионов) − антисимметричными волновыми функциями.
Движение микрочастиц в различных силовых полях описывается в рамках нерелятивистской квантовой механики с помощью уравнения Шредингера, из которого вытекают наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Это уравнение, как и все основные уравнения физики, не выводятся, а постулируется. Его правильность подтверждается согласием результатов расчета с опытом. Волновое уравнение Шредингера имеет следующий общий вид :
- (ħ 2 / 2m) ∙ ∆ψ + U (x, y, z, t) ∙ ψ = i ∙ ħ ∙ (∂ψ / ∂t)
где ħ = h / 2π, h = 6,623∙10 -34 Дж ∙ с - постоянная Планка;
m - масса частицы;
∆ - оператор Лапласа (∆ = ∂ 2 / ∂x 2 + ∂ 2 / ∂y 2 + ∂ 2 / ∂z 2);
ψ = ψ (x, y, z, t) - искомая волновая функция;
U (x, y, z, t) - потенциальная функция частицы в силовом поле, где она движется;
i - мнимая единица.
Это уравнение имеет решение лишь при условиях, накладываемых на волновую функцию:
- ψ (x, y, z, t) должна быть конечной, однозначной и непрерывной;
- первые производные от нее должны быть непрерывны;
- функция | ψ | 2 должна быть интегрируема, что в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей.
∆ψ + (2m / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0
где ψ = ψ (x, y, z) - волновая функция только координат;
E - параметр уравнения - полная энергия частицы.
Для этого уравнения реальный физический смысл имеют лишь такие решения, которые выражаются регулярными функциями ψ (называемыми собственными функциями), имеющими место только при определенных значениях параметра E, называемого собственным значением энергии. Эти значения E могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд, т.е. как сплошной, так и дискретный спектр энергий.
Для какой-либо микрочастицы при наличии уравнения Шредингера типа (8.2) задача квантовой механики сводится к решению этого уравнения, т.е. нахождению значений волновых функций ψ = ψ (x, y, z), соответствующих спектру собственных энергией E. Далее находится плотность вероятности | ψ | 2 , определяющая в квантовой механике вероятность нахождения частицы в единичном объеме в окрестности точки с координатами (x, y, z).
Одним из простейших случаев решения уравнения Шредингера является задача о поведении частицы в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" с бесконечно высокими "стенками". Такая "яма" для частицы, движущейся только вдоль оси Х, описывается потенциальной энергией вида
где l - ширина "ямы", а энергия отсчитывается от ее дна (рис. 8.1).
Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде:
∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2m / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0
В силу того, что "стенки ямы" бесконечно высокие, частица не проникает за пределы "ямы". Это приводит к граничным условиям:
ψ (0) = ψ (l) = 0
В пределах "ямы" (0 ≤ x ≤ l) уравнение (8.4) сводится к виду:
∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2m / ħ 2) ∙ E ∙ ψ = 0
∂ 2 ψ / ∂x 2 + (k 2 ∙ ψ) = 0
где k 2 = (2m ∙ E) / ħ 2
Решение уравнения (8.7) с учетом граничных условий (8.5) имеет в простейшем случае вид:
ψ (x) = A ∙ sin (kx)
где k = (n ∙ π)/ l
при целочисленных значениях n.
Из выражений (8.8) и (8.10) следует, что
E n = (n 2 ∙ π 2 ∙ ħ 2) / (2m ∙ l 2) (n = 1, 2, 3 ...)
т.е. энергия стационарных состояний зависит от целого числа n (называемого квантовым числом) и имеет определенные дискретные значения, называемые уровнями энергии.
Следовательно, микрочастица в "потенциальной яме" с бесконечно высокими "стенками" может находится только на определенном энергетическом уровне E n , т.е. в дискретных квантовых состояниях n.
Подставив выражение (8.10) в (8.9) найдем собственные функции
ψ n (x) = A ∙ sin (nπ / l) ∙ x
Постоянная интегрирования А найдется из квантовомеханического (вероятностного) условия нормировки
которое для данного случая запишется в виде:
Откуда в результате интегрирования получим А = √ (2 / l) и тогда имеем
ψ n (x) = (√ (2 / l)) ∙ sin (nπ / l) ∙ x (n = 1, 2, 3 ...)
Графики функции ψ n (х) не имеют физического смысла, тогда как графики функции | ψ n | 2 показывают распределение плотности вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от "стенок ямы"(рис. 8.1). Как раз эти графики (как и ψ n (х) - для сравнения) изучаются в данной работе и наглядно показывают, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны.
Из выражения (8.11) вытекает, что энергетический интервал между двумя соседними уровнями равен
∆E n = E n-1 - E n = (π 2 ∙ ħ 2) / (2m ∙ l 2) ∙ (2n + 1)
Отсюда видно, что для микрочастиц (типа электрона) при больших размерах "ямы" (l≈ 10 -1 м), энергетические уровни располагаются настолько тесно, что образуют практически непрерывный спектр. Такое состояние имеет место, например, для свободных электронов в металле. Если же размеры "ямы" соизмеримы с атомными (l ≈ 10 -10 м), то получается дискретный спектр энергии (линейчатый спектр). Эти виды спектров также могут быть изучены в данной работе для различных микрочастиц.
Другим случаем поведения микрочастиц (как, впрочем, и микросистем - маятников), часто встречаемым на практике (и рассматриваемым в этой работе), является задача о линейном гармоническом осцилляторе в квантовой механике.
Как известно, потенциальная энергия одномерного гармонического осциллятора массой m равна
U (x) = (m ∙ ω 0 2 ∙ x 2)/ 2
где ω 0 - собственная частота колебаний осциллятора ω 0 = √ (k / m);
k - коэффициент упругости осциллятора.
Зависимость (8.17) имеет вид параболы, т.е. "потенциальная яма" в данном случае является параболической (рис. 8.2).
Квантовый гармонический осциллятор описывается уравнением Шредингера (8.2), учитывающим выражение (8.17) для потенциальной энергии. Решение этого уравнения записывается в виде :
ψ n (x) = (N n ∙ e -αx2 / 2) ∙ H n (x)
где N n - постоянный нормирующий множитель, зависящий от целого числа n;
α = (m ∙ ω 0) / ħ;
H n (x) - полином степени n, коэффициенты которого вычисляются при помощи рекуррентной формулы при различных целочисленных n.
В теории дифференциальных уравнений можно доказать, что уравнение Шредингера имеет решение (8.18) лишь для собственных значений энергии:
E n = (n + (1 / 2)) ∙ ħ ∙ ω 0
где n = 0, 1, 2, 3... - квантовое число.
Это значит, что энергия квантового осциллятора может принимать лишь дискретные значения, т.е. квантуется. При n = 0 имеет место E 0 = (ħ ∙ ω 0) / 2, т.е. энергия нулевых колебаний, что является типичным для квантовых систем и представляет собой прямое следствие соотношения неопределенности.
Как показывает детальное решение уравнения Шредингера для квантового осциллятора , каждому собственному значению энергии при разных n соответствует своя волновая функция, т.к. от n зависит постоянный нормирующий множитель
а также H n (x) - полином Чебышева-Эрмита степени n.
При том первые два полинома равны:
H 0 (x) = 1;
H 1 (x) = 2x ∙ √ α
Любой последующий полином связан с нми по следующей рекуррентной формуле:
H n+1 (x) = 2x ∙ √ α ∙ H n (x) - 2n ∙ H n-1 (x)
Собственные функции типа (8.18) позволяют найти для квантового осциллятора плотность вероятности нахождения микрочастицы как | ψ n (х) | 2 и исследовать ее поведение на различных уровнях энергии. Решение этой задачи затруднительно ввиду необходимости использования рекуррентной формулы. Эта задача успешно может решаться лишь с использованием ЭВМ, что и делается в настоящей работе.