Теперь стоило бы заняться немного математикой; мы запишем уравнения Максвелла в более простой форме. Вы, пожалуй, сочтете, что мы усложняем их, но если вы наберетесь терпения, то внезапно обнаружите их большую простоту. Хотя вы уже вполне привыкли к каждому из уравнений Максвелла, имеется все же много частей, которые стоит соединить воедино. Вот как раз этим мы и займемся.
Начнем с - простейшего из уравнений. Мы знаем, что оно подразумевает, что - есть ротор чего-то. Поэтому, если вы записали
то считайте, что уже решили одно из уравнений Максвелла. (Между прочим, заметьте, что оно остается верно для другого вектора , если , где - любое скалярное поле, потому что ротор - нуль и - по-прежнему то же самое. Мы говорили об этом раньше.)
Теперь
разберем закон Фарадея 
, потому что он не содержит никаких
токов или зарядов. Если мы запишем как и продифференцируем по , то сможем
переписать закон Фарадея в форме
.
Поскольку мы можем дифференцировать сначала либо по времени, либо по координатам, то можно написать это уравнение также в виде
. (18.17)
Мы видим, что - это вектор, ротор которого равен нулю. Поэтому такой вектор есть градиент чего-то. Когда мы занимались электростатикой, у нас было , и мы тогда решили, что - само градиент чего-то. Пусть это градиент от (минус для технических удобств). То же самое сделаем и для ; мы полагаем
. (18.18)
Мы используем то же обозначение , так что в электростатическом случае, когда ничто не меняется со временем и исчезает, будет нашим старым . Итак, закон Фарадея можно представить в форме
. (18.19)
Мы уже решили два из уравнений Максвелла и нашли, что для описания электромагнитных полей и нужны четыре потенциальные функции: скалярный потенциал и векторный потенциал , который, разумеется, представляет три функции.
Итак, определяет часть , так же как и . Что же произойдет, когда мы заменим на ? В общем, должно было бы измениться, если не принять особых мер. Мы можем, однако, допустить, что изменяется так, чтобы не влиять на поля и (т. е. не меняя физики), если будем всегда изменять и вместе по правилам
. (18.20)
Тогда ни , ни , полученные из уравнения (18.19), не меняются.
Раньше мы выбирали , чтобы как-то упростить уравнения статики. Теперь мы не собираемся так поступать; мы хотим сделать другой выбор. Но подождите немного, прежде чем мы скажем, какой это выбор, потому что позднее станет ясно, почему вообще делается выбор.
Сейчас мы вернемся к двум оставшимся уравнениям Максвелла, которые свяжут потенциалы и источники и . Раз мы можем определить и из токов и зарядов, то можно всегда получить и из уравнений (18.16) и (18.19) и мы будем иметь другую форму уравнений Максвелла.
Начнем с подстановки уравнения (18.19) в ; получаем
;
это можно записать еще в виде
. (18.21)
Таково первое уравнение, связывающее и с источниками.
Наше последнее уравнение будет самым трудным. Мы начнем с того, что перепишем четвертое уравнение Максвелла:
,
а затем выразим и через потенциалы, используя уравнения (18.16) и (18.19):
.
Первый член можно переписать, используя алгебраическое тождество ; мы получаем
. (18.22)
Не очень-то оно простое!
К счастью, теперь мы можем использовать нашу свободу в произвольном выборе дивергенции . Сейчас мы собираемся сделать такой выбор, чтобы уравнения для и для разделились, но имели одну и ту же форму. Мы можем сделать это, выбирая
. (18.23)
Когда мы поступаем так, то второе и третье слагаемые в уравнении (18.22) погашаются, и оно становится много проще:
. (18.24)
И наше уравнение (18.21) для принимает такую же форму:
. (18.25)
Какие красивые уравнения! Они великолепны прежде всего потому, что хорошо разделились - с плотностью заряда стоит , а с током стоит . Далее, хотя левая сторона выглядит немного нелепо - лапласиан вместе с , когда мы раскроем ее, то обнаружим
. (18.26)
Это уравнение имеет приятную симметрию по , , , ; здесь нужно, конечно, потому, что время и координаты различаются; у них разные единицы.
Уравнения Максвелла привели нас к нового типа уравнению для потенциалов и , но с одной и той же математической формой для всех четырех функций , , и . Раз мы научились решать эти уравнения, то можем получить и из и . Мы приходим к другой форме электромагнитных законов, в точности эквивалентной уравнениям Максвелла; с ними во многих случаях обращаться гораздо проще. и
Группой дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, которым должен удовлетворять каждый из векторов поля отдельно, можно получить исключением остальных векторов. Для области поля, которая не содержит свободных зарядов и токов ($\overrightarrow{j}=0,\ \rho =0$) уравнения для векторов $\overrightarrow{B}$ и $\overrightarrow{E}$ имеют вид:
Уравнения (1) и (2) - это обычные уравнения волнового движения, которые обозначают, что световые волны распространяются в среде со скоростью ($v$) равной:
Примечание 1
Надо заметить, что понятие скорости электромагнитной волны имеет определенный смысл лишь в связи с волнами простого вида, например плоскими. Скорость $v$ не является скоростью распространения волны в случае произвольного решения уравнений (1) и (2), так как эти уравнения допускают решения в виде стоячих волн.
В любой волновой теории света элементарным процессом считают гармоническую волну в пространстве и времени. Если частота этой волны лежит в интервале $4\cdot {10}^{-14}\frac{1}{c}\le \nu \le 7,5\cdot {10}^{-14}\frac{1}{c}$, такая волна вызывает у человека физиологическое ощущение определенного цвета.
Для прозрачных веществ диэлектрическая проницаемость $\varepsilon $ обычно больше единицы, магнитная проницаемость среды $\mu $ почти равна единице, получается, в соответствии с уравнением (3) скорость $v$ меньше скорости света в вакууме. Что было впервые экспериментально показано для случая распространения света в воде учеными Фуко и Физо .
Обычно определяют не саму величину скорости ($v$), а отношение $\frac{v}{c}$, для чего пользуются законом преломления . В соответствии с данным законом при падении плоской электромагнитной волны на плоскую границу, которая разделяет две однородные среды, отношение синуса угла ${\theta }_1$ падения к синусу угла преломления ${\theta }_2$ (рис.1) постоянно и равно отношению скоростей распространения волн в двух средах ($v_1\ и{\ v}_2$):
Значение постоянного отношения выражения (4) обычно обозначают как $n_{12}$. Говорят, что $n_{12}$ -- относительный показатель преломления второго вещества по отношению к первому, который испытывает волновой фронт (волна) при прохождении из первой среды во вторую.
Рисунок 1.
Определение 1
Абсолютным показателем преломления (просто показателем преломления) среды $n$ называют показатель преломления вещества по отношению к вакууму:
Вещество, имеющее больший показатель преломления является оптически более плотным. Относительный показатель преломления двух веществ ($n_{12}$) связан с их абсолютными показателями ($n_1,n_2$) как:
Формула Максвелла
Определение 2
Максвелл получил, что показатель преломления среды зависит от ее диэлектрических и магнитных свойств. Если в формулу(5) подставить выражение для скорости распространения света из уравнения (3), то мы получим:
\ \
Выражение (7) называется формулой Максвелла . Для большинства немагнитных прозрачных веществ, которые рассматриваются в оптике магнитная проницаемость вещества приблизительно можно считать равной единице, поэтому часто равенство (7) применяют в виде:
Часто предполагается, что $\varepsilon $ является постоянной величиной. Однако нам хорошо известны опыты Ньютона с призмой по разложению света, в результате этих экспериментов становится очевидным, что показатель преломления зависит от частоты света. Следовательно, если считать, что формула Максвелла справедлива, то следует признать, что диэлектрическая проницаемость вещества зависит от частоты поля. Связь $\varepsilon $ с частотой поля можно объяснить только в том случае, если принять во внимание атомное строение вещества.
Однако надо сказать, что формула Максвелла с постоянной диэлектрической проницаемостью вещества, в некоторых случаях может быть использована как хорошее приближение. Примером могут служить газы с простой химической структурой, в которых нет существенной дисперсии света, что означает, слабую зависимость оптических свойств от цвета. Формула (8), также хорошо работает для жидких углеводородов. С другой стороны, у большинства твердых тел, например у стекол, и большой части жидкостей наблюдается сильное отклонение от формулы (8), если считать $\varepsilon $ постоянной.
Пример 1
Задание: Какова концентрация свободных электронов в ионосфере, если известно, что для радиоволн с частотой $\nu$ показатель ее преломления равен $n$.
Решение:
За основу решения задачи возьмем формулу Максвелла:
\[\varepsilon =1+\varkappa =1+\frac{P}{{\varepsilon }_0E}\left(1.2\right),\]
где $\varkappa $ -- диэлектрическая восприимчивость, P - мгновенное значение поляризованности. Из (1.1) и (1.2) следует, что:
В том случае, если концентрация атомов в ионосфере равна $n_0,$ то мгновенное значение поляризованности равно:
Из выражений (1.3) и (1.4) имеем:
где $\omega $ -- циклическая частота. Уравнение вынужденных колебаний электрона без учета силы сопротивления можно записать как:
\[\ddot{x}+{{\omega }_0}^2x=\frac{q_eE_0}{m_e}cos\omega t\left(1.7\right),\]
где $m_e$ -- масса электрона, $q_e$ -- заряд электрона. Решением уравнения (1.7) служит выражение:
\ \
Нам известна частота радиоволн, следовательно, можно найти циклическую частоту:
\[\omega =2\pi \nu \left(1.10\right).\]
Подставим в (1.5) правую часть выражения (1.9) вместо $x_{max}$ и используем (1.10), получим:
Ответ: $n_0=\frac{E_0m_e4\pi ^2\nu ^2}{{q_e}^2}\left(1-n^2\right).$
Пример 2
Задание: Объясните, почему формула Максвелла противоречит некоторым экспериментальным данным.
Решение:
Из классической электромагнитной теории Максвелла следует, что показатель преломления среды можно выразить как:
где в оптической области спектра для большинства веществ можно считать, что $\mu \approx 1$. Получается, что показатель преломления для вещества должен быть постоянной величиной, так как $\varepsilon $ -- диэлектрическая проницаемость среды постоянна. Тогда как эксперимент показывает, что показатель преломления зависит от частоты. Трудности, которые возникли перед теорией Максвелла в данном вопросе, устраняет электронная теория Лоренца. Лоренц рассматривал дисперсию света как результат взаимодействия электромагнитных волн с заряженными частицами, которые входят в состав вещества и совершают вынужденные колебания в переменном электромагнитном поле волны света. Используя свою гипотезу, Лоренц получил формулу, связывающую показатель преломления с частотой электромагнитной волны (см. пример 1).
Ответ: Проблема теории Максвелла в том, что она является макроскопической и не рассматривает структуру вещества.
В основе теории Максвелла лежат рассмотренные четыре уравнения:
1. Электрическое
поле может быть как потенциальным
(e
q),
так и
вихревым (Е
B),
поэтому напряженность суммарного поля
Е
=Е
Q +Е
B .
Так как циркуляция вектора e
q
равна нулю,
а циркуляция вектора Е
B
определяется выражением,
то циркуляция вектора напряженности
суммарного поля
Это уравнение показывает, что источниками
электрического поля могут быть не только
электрические заряды, но и меняющиеся
во времени магнитные поля.
2. Обобщенная теорема
о циркуляции вектора Н
:
Это уравнение показывает, что магнитные
поля могут возбуждаться либо движущимися
зарядами, либо переменными электрическими
полями.
3. Теорема Гаусса
для поля D
:
Если заряд распределен внутри замкнутой
поверхности непрерывно с объемной
плотностью,
то формула запишется в виде
4. Теорема Гаусса
для поля В:
Итак,полная
система уравнений Максвелла в
интегральной форме:
Величины, входящие в уравнения Максвелла,
не являются независимыми и между
ними существует следующая связь:D
= 0 E
,
В=
0 Н,
j
=E
,
где 0
и 0
- соответственно электрическая и
магнитная постоянные,
и
- соответственно
диэлектрическая и магнитная
проницаемости,
- удельная проводимость вещества.
Для стационарных
полей (Е=
const
и В
=const)
уравнения
Максвелла
примут
вид
т. е. источниками электрического поля
в данном случае являются только
электрические заряды, источниками
магнитного - только токи проводимости.
В данном случае электрические и магнитные
поля независимы друг от друга, что и
позволяет изучать отдельно постоянные
электрическое
и магнитное поля.
В
оспользовавшись
известными из векторного анализа
теоремами Стокса и Гаусса можно
представитьполную
систему уравнений Максвелла в
дифференциальной форме
:
Уравнения Максвелла - наиболее общие уравнения для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. Они играют в учении об электромагнетизме такую же роль, как законы Ньютона в механике. Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с порождаемым им магнитным, т. е. электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом - они образуют единое электромагнитное поле.
66. Дифференциальное уравнение электромагнитной волны. Плоские электромагнитные волны.
Для однородной и изотропной среды вдали от зарядов и токов, создающих электромагнитное поле, из уравнений Максвелла следует, что векторы напряженностей Е и Н переменного электромагнитного поля удовлетворяют волновому уравнению типа:
-оператор Лапласа.
Т.е. электромагнитные
поля могут существовать в виде
электромагнитных волн. Фазовая скорость
электромагнитных волн определяется
выражением
(1)
v
- фазовая
скорость, где с= 1/ 0 0 ,
0
и 0
- соответственно электрическая и
магнитная постоянные,
и
- соответственно электрическая и
магнитная проницаемости среды.
В вакууме (при =1 и =1) скорость распространения электромагнитных волн совпадает со скоростью с. Так как > 1, то скорость распространения электромагнитных волн в веществе всегда меньше, чем в вакууме.
При вычислении скорости распространения электромагнитного поля по формуле (1) получается результат, достаточно хорошо совпадающий с экспериментальными данными, если учитывать зависимость и , от частоты. Совпадение же размерного коэффициента в со скоростью распространения света в вакууме указывает на глубокую связь между электромагнитными и оптическими явлениями, позволившую Максвеллу создать электромагнитную теорию света, согласно которой свет представляет собой электромагнитные волны.
С
ледствием
теории Максвелла является поперечность
электромагнитных волн: векторыЕ
и Н
напряженностей электрического и
магнитного полей волны взаимно
перпендикулярны (рис. 227) и лежат в
плоскости, перпендикулярной вектору
v
скорости распространения волны,
причем векторы Е
,
Н
и v
образуют правовинтовую систему. Из
уравнений Максвелла следует также, что
в электромагнитной волне векторы Е
и Н
всегда колеблются в
одинаковых фазах
(см.
рис. 227), причем мгновенные значения
£ и Я в любой точке связаны соотношением
0 = 0 Н.
(2)
Э
тим
уравнениям удовлетворяют, в частности,
плоскиемонохроматические
электромагнитные волны
(электромагнитные
волны одной строго определенной частоты),
описываемые уравнениями Е
у
=Е
0 cos(t-kx+),
(3) H
z
=
H
0
cos
(t-kx+),
(4), где е
0
и Н
0
-
соответственно
амплитуды напряженностей электрического
и магнитного полей волны,
- круговая частота волны, k=/v-
волновое число, -
начальные фазы колебаний в точках с
координатой х=
0.
В уравнениях
(3) и (4)
одинаково, так как колебания электрического
и магнитного векторов в электромагнитной
волне происходят с одинаковой фазой.
Распространение электромагнитного поля в пространстве - это волновой процесс, описание которого можно получить из уравнений Максвелла. Уравнения Максвелла описывают свойства электромагнитных волн в наиболее общем случае, но их непосредственное использование не всегда удобно. Поэтому для случая линейных и однородных сред можно получить более простые волновые уравнения, из которых следуют все законы геометрической оптики.
1.3.1. Волновые уравнения
В оптике часто рассматривают изменение электрического и магнитного полей независимо друг от друга, и тогда векторный характер поля не является существенным, а электромагнитное поле можно рассматривать и описывать как скалярное (подобно звуковому полю). Скалярная теория значительно проще векторной, и вместе с тем дает возможность достаточно глубоко анализировать распространение световых пучков и процессы образования изображения в оптических системах. В геометрической оптике скалярная теория широко используется именно благодаря тому, что электрическое и магнитное поля в этом случае могут быть описаны независимо друг от друга, а волновые уравнения одинаковы для векторного и скалярного полей.
Рассмотрим вывод волновых уравнений непосредственно из уравнений Максвелла. Возьмем уравнение для ротора электрического поля, определяемого через производную по времени от магнитной индукции:
Векторно домножим это уравнение на :
Учитывая, что (1.5), получим:
Так как дивергенция электрического поля в диэлектрической среде , то в однородной среде , что следует из уравнений Максвелла (4, 5). Тогда получим волновое уравнение для электрической составляющей поля:
| (1.3.1) |
Поскольку , одно векторное уравнение распадается на три скалярных уравнения:
Рассуждая аналогичным образом, можно получить волновое уравнение для магнитной составляющей поля:
| (1.3.3) |
Поскольку , то это векторное уравнение также распадается на три скалярных уравнения:
Из уравнений Максвелла следует, что каждая из составляющих , , вектора подчиняется абсолютно одному и тому же по форме скалярному уравнению. Поэтому, если требуется знать изменение только какой-нибудь одной из составляющих вектора , мы можем рассматривать векторное поле как скалярное. Перед тем, как окончательно перейти к скалярной теории, следует заметить, что составляющие вектора не являются независимыми функциями, что вытекает из условия . Поэтому, хотя скалярные волновые уравнения являются следствием уравнений Максвелла, обратно перейти от них к уравнениям Максвелла нельзя.
Пусть скалярная величина - это любая из составляющих электрического вектора: ( , или ). Иными словами, это возмущение поля в какой-то точке пространства в какой-то момент времени . Тогда можно записать волновое уравнение в общем виде:
| (1.3.5) |
Вторая производная возмущения по времени,
Смысл этого уравнения заключается в том, что волна образуется тогда, когда у некоторого возмущения вторая производная по пространственным координатам пропорциональна второй производной по времени.
Можно показать, что скорость распространения волны для диэлектриков связана с электрической и магнитной постоянной среды следующим образом:
Следовательно, скорость распространения волны в пространстве определяется так:
Тогда общий вид волнового уравнения можно записать следующим образом:
Волновое уравнение для одной оси координат:
Отношение скорости света в вакууме к скорости света в среде называется показателем преломления данной среды по отношению к вакууму (index of refraction ):
- циклическая частота изменения поля во времени,
- фаза поля (функция пространственных координат).
Рис.1.3.1. Изменение монохроматического поля во времени.
Монохроматическое поле также характеризуется периодом колебаний или частотой :
Причем циклическую частоту можно выразить через частоту :
Гармоническую волну характеризуют также пространственный период - длина волны :
И волновое число :
Излучение с определенной длиной волны обладает соответствующим цветом (рис.1.3.2).
Рис.1.3.2. Спектр видимого излучения.
Постоянными характеристиками, не зависящими от показателя преломления, для монохроматического поля являются: частота , циклическая частота и период колебаний . Длина волны и волновое число меняются в зависимости от показателя преломления, так как меняется скорость распространения света в среде . Итак, частота в среде всегда сохраняется, а длина волны изменяется. Длину волны и волновое число в некоторой среде с показателем преломления можно определить так:
Где - длина волны в вакууме, - волновое число в вакууме.
Иногда при описании монохроматического поля вместо фазы используют другие понятия. Введем в выражение для волнового возмущения волновое число вместо циклической частоты :
Тогда волновое возмущение запишется так:
Слово "эйконал" происходит от греческого слова (эйкон - образ). В русском языке этому соответствует слово "икона".
В отличие от фазы поля эйконал более удобная величина для оценки изменения фазы от луча к лучу, так как непосредственно связан с геометрической длиной хода луча.
Оптическая длина луча (optical path difference, OPD ) - это произведение показателя преломления на геометрическую длину пути .
Приращение эйконала равно оптической длине луча:
| (1.3.20) |
Если фаза изменяется на , то эйконал изменяется на : ;
если фаза изменяется на , то эйконал изменяется на : ;
если фаза изменяется на , то эйконал изменяется на : .
Эйконал имеет огромное значение в теории оптического изображения, так как понятие эйконала позволяет, во-первых, описать весь процесс образования изображения с позиций волновой теории света, а во-вторых, наиболее полно проанализировать искажения передачи изображения оптическими приборами. Теория эйконала, разработанная в XIX веке Петцвалем, Зейделем и Шварцшильдом, явилась важным фундаментальным достижением геометрической оптики, благодаря которому стало возможным создание оптических систем высокого качества. . При сложении полей их комплексные амплитуды складываются, а временной экспоненциальный множитель можно вынести за скобки и не учитывать:
1.3.4. Уравнение Гельмгольца
Если поле монохроматическое, то дифференцирование по времени, сводится к умножению скалярной амплитуды на мнимый множитель . Таким образом, если подставить в волновое уравнение (1.3.18) описание монохроматического поля (1.3.23), то после преобразований мы получим волновое уравнение для монохроматического поля, в которое будет входить только комплексная амплитуда (уравнение Гельмгольца).
Уравнение Гельмгольца (Helmgolz equation ):
Любой колебательный контур излучает энергию. Изменяющееся электрическое поле возбуждает в окружающем пространстве переменное магнитное поле, и наоборот. Математические уравнения, описывающие связь магнитного и электрического полей, были выведены Максвеллом и носят его имя. Запишем уравнения Максвелла в дифференциальной форме для случая, когда отсутствуют электрические заряды () и токи (j = 0 ):
|
|
Величины и - электрическая и магнитная постоянные, соответственно, которые связаны со скоростью света в вакууме соотношением
Постоянные и характеризуют электрические и магнитные свойства среды, которую мы будем считать однородной и изотропной.
В отсутствие зарядов и токов невозможно существование статических электрического и магнитного полей. Однако переменное электрическое поле возбуждает магнитное поле, и наоборот, переменное магнитное поле создает электрическое поле. Поэтому имеются решения уравнений Максвелла в вакууме, в отсутствие зарядов и токов, где электрические и магнитные поля оказываются неразрывно связанными друг с другом. В теории Максвелла впервые были объединены два фундаментальных взаимодействия, ранее считавшихся независимыми. Поэтому мы говорим теперь об электромагнитном поле .
Колебательный процесс в контуре сопровождается изменением окружающего его поля. Изменения, происходящие в окружающем пространстве, распространяются от точки к точке с определенной скоростью, то есть колебательный контур излучает в окружающее его пространство энергию электромагнитного поля.
При строго гармоническом изменении во времени векторов и электромагнитная волна называется монохроматической.
Получим из уравнений Максвелла волновые уравнения для векторов и .
Волновое уравнение для электромагнитных волн
Как уже отмечалось в предыдущей части курса, ротор (rot) и дивергенция (div) - это некоторые операции дифференцирования, производимые по определенным правилам над векторами. Ниже мы познакомимся с ними поближе.
Возьмем ротор от обеих частей уравнения
При этом воспользуемся доказываемой в курсе математики формулой:
где - введенный выше лапласиан. Первое слагаемое в правой части равно нулю в силу другого уравнения Максвелла:
Получаем в итоге:
|
|
Выразим rotB через электрическое поле с помощью уравнения Максвелла:
|
|
и используем это выражение в правой части (2.93). В результате приходим к уравнению:
|
|
Учитывая связь
и вводя показатель преломления среды
запишем уравнение для вектора напряженности электрического поля в виде:
|
|
Сравнивая с (2.69), убеждаемся, что мы получили волновое уравнение, где v - фазовая скорость света в среде :
|
|
Взяв ротор от обеих частей уравнения Максвелла
и действуя аналогичным образом, придем к волновому уравнению для магнитного поля:
|
|
Полученные волновые уравнения для и означают, что электромагнитное поле может существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость которых равна
В отсутствие среды (при ) скорость электромагнитных волн совпадает со скоростью света в вакууме.
Основные свойства электромагнитных волн
Рассмотрим плоскую монохроматическую электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль оси х:
|
|
Возможность существования таких решений следует из полученных волновых уравнений. Однако напряженности электрического и магнитного полей не являются независимыми друг от друга. Связь между ними можно установить, подставляя решения (2.99) в уравнения Максвелла. Дифференциальную операцию rot , применяемую к некоторому векторному полю А можно символически записать как детерминант:
|
|
Подставляя сюда выражения (2.99), зависящие только от координаты x , находим:
|
|
Дифференцирование плоских волн по времени дает:
|
|
Тогда из уравнений Максвелла следует:
|
|
Отсюда следует, во-первых, что электрическое и магнитное поля колеблются в фазе:
Иными словами и в изотропной среде,
Тогда можно выбрать координатные оси так, чтобы вектор был направлен вдоль оси у (рис. 2.27):
Рис. 2.27. Колебания электрического и магнитного полей в плоской электромагнитной волне
В этом случае уравнения (2.103) приобретают вид:
|
|
Отсюда следует, что вектор направлен вдоль оси z:
Иначе говоря, векторы электрического и магнитного поля ортогональны друг другу и оба - направлению распространения волны. С учетом этого факта уравнения (2.104) еще более упрощаются:
|
|
Отсюда вытекает обычная связь волнового вектора, частоты и скорости:
|
|
а также связь амплитуд колебаний полей:
|
|
Отметим, что связь (2.107) имеет место не только для максимальных значений (амплитуд) модулей векторов напряженности электрического и магнитного поля волны, но и для текущих - в любой момент времени.
Итак, из уравнений Максвелла следует, что электромагнитные волны распространяются в вакууме со скоростью света. В свое время этот вывод произвел огромное впечатление. Стало ясно, что не только электричество и магнетизм являются разными проявлениями одного и того же взаимодействия. Все световые явления, оптика, также стали предметом теории электромагнетизма. Различия в восприятии человеком электромагнитных волн связаны с их частотой или длиной волны.
Шкала электромагнитных волн представляет собой непрерывную последовательность частот (и длин волн) электромагнитного излучения. Теория электромагнитных волн Максвелла позволяет установить, что в природе существуют электромагнитные волны различных длин, образованные различными вибраторами (источниками). В зависимости от способов получения электромагнитных волн их разделяют на несколько диапазонов частот (или длин волн).
На рис. 2.28 представлена шкала электромагнитных волн.
Рис. 2.28. Шкала электромагнитных волн
Видно, что диапазоны волн различных типов перекрывают друг друга. Следовательно, волны таких длин можно получить различными способами. Принципиальных различий между ними нет, поскольку все они являются электромагнитными волнами, порожденными колеблющимися заряженными частицами.
Уравнения Максвелла приводят также к выводу о поперечности электромагнитных волн в вакууме (и в изотропной среде): векторы напряженности электрического и магнитного полей ортогональны друг другу и направлению распространения волны.
Дополнительная информация
http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0560.html – Волновое уравнение. Материал из Физической Энциклопедии.
http://fvl.fizteh.ru/courses/ovchinkin3/ovchinkin3-10.html – Уравнения Максвелла. Видеолекции.
http://elementy.ru/trefil/24 – Уравнения Максвелла. Материал из «Элементов».
http://nuclphys.sinp.msu.ru/enc/e092.htm – Очень кратко об уравнениях Максвелла.
http://telecomclub.org/?q=node/1750 – Уравнения Максвелла и их физический смысл.
http://principact.ru/content/view/188/115/ – Кратко об уравнениях максвелла для электромагнитного поля.
Эффект Доплера для электромагнитных волн
Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета К распространяется плоская электромагнитная волна. Фаза волны имеет вид:
|
|
Наблюдатель в другой инерциальной системе отсчета К" , движущейся относительно первой со скоростью V вдоль оси x , также наблюдает эту волну, но пользуется другими координатами и временем: t", r". Связь между системами отсчета дается преобразованиями Лоренца:
|
|
Подставим эти выражения в выражение для фазы , чтобы получить фазу волны в движущейся системе отсчета:
|
|
Это выражение можно записать как
|
|
где и - циклическая частота и волновой вектор относительно движущейся системы отсчета. Сравнивая с (2.110), находим преобразования Лоренца для частоты и волнового вектора:
|
|
Для электромагнитной волны в вакууме
Пусть направление распространения волны составляет в первой системе отсчета угол с осью х:
Тогда выражение для частоты волны в движущейся системе отсчета принимает вид:
|
|
Это и есть формула Доплера для электромагнитных волн .
Если , то наблюдатель удаляется от источника излучения и воспринимаемая им частота волны уменьшается:
|
|
Если , то наблюдатель приближается к источнику и частота излучения для него увеличивается:
|
|
При скоростях V << с можно пренебречь отклонением квадратного корня в знаменателях от единицы, и мы приходим к формулам, аналогичным формулам (2.85) для эффекта Доплера в звуковой волне.
Отметим существенную особенность эффекта Доплера для электромагнитной волны. Скорость движущейся системы отсчета играет здесь роль относительной скорости наблюдателя и источника. Полученные формулы автоматически удовлетворяют принципу относительности Эйнштейна, и с помощью экспериментов невозможно установить, что именно движется - источник или наблюдатель. Это связано с тем, что для электромагнитных волн отсутствует среда (эфир), которая играла бы ту же роль, что и воздух для звуковой волны.
Заметим также, что для электромагнитных волн имеет место поперечный эффект Доплера . При частота излучения изменяется:
|
|
в то время как для звуковых волн движение в направлении, ортогональном распространению волны, не приводило к сдвигу частот. Этот эффект прямо связан с релятивистским замедлением времени в движущейся системе отсчета: наблюдатель на ракете видит увеличение частоты излучения или, в общем случае, ускорение всех процессов, происходящих на Земле.
Найдем теперь фазовую скорость волны
в движущейся системе отсчета. Имеем из преобразований Лоренца для волнового вектора:
|
|
Подставим сюда соотношение:
|
|
Получаем:
|
|
Отсюда находим скорость волны в движущейся системе отсчета:
|
|
Мы обнаружили, что скорость волны в движущейся системе отсчета не изменилась и по-прежнему равна скорости света с . Отметим всё же, что, при корректных выкладках, это не могло не получиться, так как инвариантность скорости света (электромагнитных волн) в вакууме есть основной постулат теории относительности уже «заложенный» в использованные нами преобразования Лоренца для координат и времени (3.109).
Пример 1. Фотонная ракета движется со скоростью V = 0.9 с , держа курс на звезду, наблюдавшуюся с Земли в оптическом диапазоне (длина волны мкм ). Найдем длину волны излучения, которую будут наблюдать космонавты.
Длина волны обратно пропорциональна частоте колебаний. Из формулы (2.115) для эффекта Доплера в случае сближения источника света и наблюдателя находим закон преобразования длин волн:
|
|
откуда следует результат:
|
|
По рис. 2.28 определяем, что для космонавтов излучение звезды сместилось в ультрафиолетовый диапазон.
Энергия и импульс электромагнитного поля
Объемная плотность энергии w электромагнитной волны складывается из объемных плотностей электрического и магнитного полей.