☰

Установление истинности сложных высказываний. Значения истинности

Значение истинности

Эта статья или раздел - грубый перевод статьи на другом языке (см. Проверка переводов). Он мог быть сгенерирован программой-переводчиком или сделан человеком со слабыми познаниями в языке оригинала. ¬(Шаблон:Mvar∧Шаблон:Mvar) ⇔ ¬Шаблон:Mvar ∨ ¬Шаблон:Mvar ¬(Шаблон:Mvar∨Шаблон:Mvar) ⇔ ¬Шаблон:Mvar ∧ ¬Шаблон:Mvar

Многозначная логика

Многозначная логика (например, нечеткая логика позволяет более двух значений истинности, возможно, содержащих некоторые внутренние структуры.

Алгебраическая семантика

Не все логические системы истинно-ценностные в том смысле, что логические связки могут быть интерпретированы как истина функций. Например, в интуиционистской логике отсутствует полный набор значений истинности, потому что его семантика, определяется в терминах доказуемости условия, а не непосредственно в терминах обязательной верности формул.

В других теориях

Интуиционистской теории типов использует типы вместо значений истинности.

Топос теории использует значения истинности в особом смысле: истина значения топос является глобальным элементом х подобъектом классификатором. Имея значения истинности в этом смысле не имеет ценностной логики истины.

См. также

Ссылки


Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Значение истинности" в других словарях:

    Содержание, обозначенное тем или иным языковым выражением словом, предложением, знаком и т.п. Вопрос о З. языковых выражений исследуется лингвистикой, семиотикой и логической семантикой. Различают предметное, смысловое и экспрессивное З. языковых … Философская энциклопедия

    Значение истинности (в логике), значение, которое принимает Высказывание (предложение, суждение), рассматриваемое по отношению к отображаемому в нём содержанию. В обычной (классической) логике используются два И. з. «истинно», «ложно»; в… … Большая советская энциклопедия

    Таблица истинности это таблица, описывающая логическую функцию. Под «логической функцией» в данном случае понимается функция, у которой значения переменных (параметров функции) и значение самой функции выражают логическую истинность.… … Википедия

    Таблица, с помощью которой устанавливается истинностное значение сложного высказывания при данных значениях входящих в него простых высказываний. В классической математической логике предполагается, что каждое простое (не содержащее логических… … Словарь терминов логики

    Денотат (от лат. denotatum обозначенное), термин лингвистики и экстенсиональной логики, обозначающий 1) экстенсионал, 2) десигнат, 3) референт и 4) семантическое ядро значения. Содержание 1 Денотат как экстенсионал 2 Денотат как десигнат … Википедия

    Одна из возможных характеристик высказывания с точки зрения соответствия его описываемому фрагменту действительности. Если допускается, что каждое высказывание является либо истинным, либо ложным (т. е. что онолибо соответствует действительности … Словарь терминов логики

    Совокупность логических систем, опирающихся на многозначности принцип. В классической двузначной логике выражения при интерпретации принимают только два значения «истинно» и «ложно», в М.л. рассматриваются и др. значения, напр. «неопределенно»,… … Философская энциклопедия

    - (от лат. factum сделанное, совершившееся) 1) синоним понятий «истина», «событие», «результат»; нечто реальное в противоположность вымышленному; конкретное, единичное в отличие от абстрактного и общего; 2) в философии науки особого рода п … Философская энциклопедия

    - (в л о г и к е) – истинность предложения (суждения, высказывания), обусловленная, в отличие от т.н. логич. истинности, содержанием этого предложения. Иначе говоря, предложение является фактически истинным, когда его истинность зависит от значений … Философская энциклопедия

    Стереометрическая семантика - трактовка логики как науки о получении истинных следствий из истинных посылок все более уступает место более широкой концепции,связанной либо с обобщением понятия следования, основанного на традиционной истинностной оценке и на практических… … Проективный философский словарь

Книги

  • Как искренне поверить в Бога, или Единственное, что имеет значение для развития веры , Враджев В.. Прежде чем сделать первые шаги в духовную жизнь, каждый человек всегда задается вопросом:`Существует ли Бог на самом деле?`И такому человеку, привыкшему воспринимать окружающий мир с помощью…

Пример 1. Установить истинность высказывания · С
Решение. В состав сложного высказывания входят 3 простых высказывания: А, В, С. В таблице заполняются колонки значениями (0, 1). Указываются все возможные ситуации. Простые высказывания от сложных отделяются двойной вертикальной чертой.
При составлении таблицы надо следить за тем, чтобы не перепутать порядок действий; заполняя столбцы, следует двигаться “изнутри наружу”, т.е. от элементарных формул к более и более сложным; столбец, заполняемый последним, содержит значения исходной формулы.

А В С А+ · С
0 1 1 0 0 1 1

Из таблицы видно, что данное высказывание истинно только в случае, когда А=0, В=1, С=1. Во всех остальных случаях оно ложно.

Эквивалентность высказываний.

С помощью таблиц истинности можно установить эквивалентность двух или нескольких высказываний.

Высказывания называются эквивалентными, если соответствующие значения каждого из них совпадают в таблице истинности.

Пример 2. Утверждается, что высказывание А+В· С эквивалентно высказыванию (А+В)· (А+С)
Решение. Проверка ведется путем составления таблицы истинности.

А В С В С А+В· С А+В А+С (А+В)· (А+С)

Сравнивая 5-ю и 8-ю колонки убеждаемся, что все значения, получаемые по формуле А+В· С, совпадают со значениями, получаемыми по формуле (А+В)· (А+С), т.е. высказывания эквивалентны (равносильны). Одно может заменить другое.
Эквивалентные (равносильные) высказывания соединяют знаком º А + В·Сº (А+В)· (А+С).
Отметим различие между эквивалентностью и эквиваленцией.
Эквиваленция является логической операцией, позволяющей по двум заданным высказываниям А и В построить новое А« В.
Эквивалентность же является отношением между двумя составными высказываниями, состоящим в том, что их значения истинности всегда одни и те же.

Тавтология.

Пусть дано высказывание А· и необходимо составить таблицу истинности.
Высказывание А· ложно, истинность его не зависит от истинности высказывания А.

Рассмотрим высказывание В+ .
В этом случае высказывание В+ всегда истинно, независимо от истинности В.

В В+

Высказывания, истинность которых постоянна и не зависит от истинности входящих в них простых высказываний, а определяется только их структурой, называются тождественными или тавтологиями.
Различают тождественно-истинные и тождественно-ложные высказывания.
В формулах каждое тождественно-истинное высказывание заменяется 1, а тождественно-ложное - 0. Закон исключенного третьего.
A· º 0
В+ º 1

Пример 3. Докажите тавтологию (XÙ Y)® (XÚ Y)
Решение.

Т.к. высказывание (XÙ Y)® (XÚ Y) всегда истинно, то оно является тавтологией.

Пример 4. Докажите тавтологию ((X® Y)Ù (Y® Z))® (X® Z)
Решение.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ F1 _ _ _ _ F2 _ _ _ _ _ F

X Y Z X® Y Y® Z X® Z F1Ù F2 (F1Ù F2) ® F3

Из таблицы видно, что исследуемое высказывание - тавтология, т.к. оно истинно постоянно.

Вопросы и задания.

1. Какому из ниже приведенных высказываний:

а) (A+C); б) +B; в) +C); г) A+ ;
эквивалентно высказывание (B+C)

2. Установите с помощью таблиц истинности, какие из следующих формул - тавтологии:
а) « ); б) ; в) ;

г) ; д) (X® Y)« (Y® X); е) (X® Y)« ;

ж) (X® Y)« .

3. Установить истинность высказывания

4. Эквивалентны ли высказывания:
и ?

5. Установить, является ли данное высказывание тавтологией:
а) ; б)

6. Для каждой формулы придумайте формализуемые ими предложения:
а) ; б) ; в) .

7. Из простых высказываний: “Виктор хороший пловец” - А; “Виктор хорошо ныряет” - В; “Виктор хорошо поет” - С, составлено сложное высказывание, формула которого имеет вид:
X=(A+C)· (A+B). Установить, эквивалентно ли высказывание Х высказыванию: “Виктор - хороший пловец и Виктор хорошо поет”.

8.
а) ; б) ;
в) ((X1® X2)® X3)Ù (X3« X1); г) ((X® Y)Ù (Y® Z))® (X® Z).

9. Установить истинность высказываний:
а) , , ;
б) , , ;
в) , , ;
г) , , .

Законы логики

Равносильности формул логики высказываний часто называют законами логики.
Знание законов логики позволяет проверять правильность рассуждений и доказательств.
Нарушения этих законов приводят к логическим ошибкам и вытекающим из них противоречиям.
Перечислим наиболее важные из них:
1. Xº X Закон тождества
2. Закон противоречия
3. Закон исключенного третьего
4. Закон двойного отрицания
5. XÙ Xº X , XÚ Xº C Законы идемпотентности
6. C Ù U º U Ù C , C Ú U º U Ú C Законы коммутативности (переместительности)
7 . (C Ù U) Ù Z ºC Ù (U Ù Z) , (C Ú U) Ú Z º C Ú (U Ú Z) - Законы ассоциативности (сочетательности)
8. C Ù (U Ú Z) º (C Ù U) Ú (C Ù Z) , C Ú (U Ù Z) º (C Ú U) Ù (C Ú Z) - Законы дистрибутивности (распределительности)
9. , Законы де Моргана
10. XÙ 1º C , C Ú 0 º C
11. C Ù 0 º 0 , C Ú 1 º 1
12. C Ù (C Ú U) º C , C Ú (C Ù U) º C Законы поглощения
13. (C Ú U) Ù ( Ú U) º U , (C Ù U) Ú ( Ú U) º U Законы склеивания

1-й закон сформулирован древнегреческим философом Аристотелем. Закон тождества утверждает, что мысль, заключенная в некотором высказывании, остается неизменной на протяжении всего рассуждения, в котором это высказывание фигурирует.

Закон противоречия говорит о том, что никакое предложение не может быть истинно одновременно со своим отрицанием.
“Это яблоко спелое” и “Это яблоко не спелое”.

Закон исключенного третьего говорит о том, что для каждого высказывания имеются лишь две возможности: это высказывание либо истинно либо ложно. Третьего не дано. “Сегодня я получу 5 либо не получу”. Истинно либо суждение, либо его отрицание.

Закон двойного отрицания. Отрицать отрицание какого-нибудь высказывания - то же, что утверждать это высказывание.
“ Неверно, что 2× 2¹ 4”

Законы идемпотентности. В алгебре логики нет показателей степеней и коэффициентов. Конъюнкция одинаковых “сомножителей” равносильна одному из них.

Законы коммутативности и ассоциативности. Конъюнкция и дизъюнкция аналогичны одноименным знакам умножения и сложения чисел.
В отличие от сложения и умножения чисел логическое сложение и умножение равноправны по отношению к дистрибутивности: не только конъюнкция дистрибутивна относительно дизъюнкции, но и дизъюнкция дистрибутивна относительно конъюнкции.

Смысл законов де Моргана (Август де Морган (1806-1871) - шотландский математик и логик) можно выразить в кратких словесных формулировках:
- отрицание логического произведения эквивалентно логической сумме отрицаний множителей.
- отрицание логической суммы эквивалентно логическому произведению отрицаний слагаемых.

Доказать законы логики можно:
1) с помощью таблиц истинности;
2) с помощью равносильностей.
Докажем законы склеивания и поглощения с помощью равносильностей:
1) (C Ú U) Ù ( Ú U) º (C + U) × ( + U) º C × + U × + U × U + C × U ºU × + U + C × U º U × +U (1 + C) º U × + U º U ( + 1) º U (Закон склеивания)

2) C Ù (C Ú U) º C × C +C × U º C +C × U º C (1 + U) º C (Закон поглощения)

Задание. Доказать законы логики с помощью таблиц истинности.

Тождественные преобразования

Упрощение формул.

Пример 1. Упростить формулу (АÚВ)· (АÚС)
Решение.
 а) Раскроем скобки (A Ú B) · (A ÚC) º A · A Ú A · C Ú B · A Ú B · C
б) По закону равносильности A · A º A , следовательно,
A · A Ú A · C ÚB · A Ú B · C º A ÚA · C Ú B · A Ú B · C
в) В высказываниях А и А· C вынесем за скобки А и используя свойство АÚ1º 1, получим АÚА· СÚ B · A Ú B · C º A ·(1 ÚС) Ú B · A Ú B · Сº A ÚB · A Ú B· С
г) Аналогично пункту в) вынесем за скобки высказывание А.
AÚB · A Ú B · Сº A (1ÚB)ÚB · Сº A Ú B · С
Таким образом, мы доказали закон дистрибутивности.

2. Преобразования “поглощение” и “склеивание”

Пример 2. Упростить выражение АÚ A · B

Решение. A ÚA · B º A (1 Ú B) º A - поглощение

Пример 3. Упростить выражение A · B Ú A · - знаки логического сложения;
- знаки логического умножения.
А будут использованы:
- знаки отрицания и логического умножения;
- знаки отрицания и логического сложения.

Пример 5. Преобразовать формулу так, чтобы в ней не использовались знаки логического сложения.
Решение. Воспользуемся законом двойного отрицания, а затем формулой де Моргана.

Пример 6. Преобразовать формулу так, чтобы в ней не использовались знаки логического умножения.
Решение. Используя формулы де Моргана и закон двойного отрицания получим:

Урок №2

Алгебра высказываний. Логические операции.

(урок комбинированный, включающий повторение предыдущей темы,

введение нового материала и закрепление)

Цель урока: Сформировать у учащихся понятия: логическое высказывание, логические операции.

Задачи урока :

Повторить основные материалы 1 урока (формы человеческого мышления: понятие, суждение, умозаключение);

Познакомить с определением алгебры высказываний;

Познакомить с основными логическими операциями.

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

Что изучает алгебра высказываний и что является объектом изучения алгебры высказываний;

Значения понятий: логическое высказывание, логические операции;

Таблицы истинности логических операций.

Учащиеся должны уметь:

Приводить примеры логических высказываний;

Определять значения логических высказываний;

Называть логические операции и строить для них таблицы истинности.

Этапы урока

I. Организационный момент. Постановка цели урока. 2 мин.

II. Повторение. 7мин.

III. Проверка домашнего задания. 5 мин.

IV. Введение нового материала. 20 мин.

V. Закрепление. 7 мин.

VI. Подведение итогов урока. 3 мин.

VII. Постановка домашнего задания. 1 мин.

Ход урока

II. Повторение .

1) Повторение основных определений и понятий 1 урока:

· Понятие – форма мышления, в которой отражены существенные признаки объектов.

o Объём понятия – множество предметов, каждому из которых принадлежат признаки, составляющие содержание понятия.

Привести примеры .

· Суждение (высказывание, утверждение) - форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, их свойствах или отношениях между ними.

o Форма суждения – это его строение, способ связи его составных частей.

· Умозаключение - форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений, называемых посылками, по определенным правилам вывода получаем суждение-заключение (вывод умозаключения)

- Определите, какие из перечисленных фраз являются высказываниями и почему?

1. Как хорошо быть генералом!

2.

3. Познай самого себя.

4. Все медведи живут на севере.

5. Революция не может быть мирной и бескровной.

6.

7.

(Примеры 1 и 3 не являются высказываниями, т. к. являются восклицательным и побудительным предложениями соответственно).

- Теперь определите, простые или составные суждения даны .

(В 5 примере можно разбить на два простых утверждения, значит, оно составное.)

- Определите значения высказываний (истина или ложь).

На 6 примере убеждаемся, что содержание высказывания часто субъективная характеристика. Обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне науки логики. Например, опираясь на свой жизненный опыт, мы присваиваем определённое значение суждению 6.

Русские пословицы как в примере 4 будут всегда истинны, т. к. опираются на жизненный опыт целых поколений людей.

В примере 7 значение высказывания решается в курсе геометрии, а в 5 утверждении в курсе истории.

Результаты оформляются в виде следующей таблицы:

Фразы

Высказывания

Истина или ложь

Простые высказывания

1. Как хорошо быть генералом!

2. Без труда не выловишь и рыбку из пруда.

3. Познай самого себя.

4. Все медведи живут на севере.

5. Революция не может быть мирной и бескровной.

6. Талант всегда пробьёт себе дорогу.

7. Сумма углов треугольника равна 1800.

На прошлом уроке мы говорили, что каждое высказывание состоит из трех элементов:
субъекта, предиката и связки . Субъект (S) - понятие о предмете. Предикат (P) - понятие о свойствах и отношениях предмета. Связка - отношение между субъектом и предикатом.

Определите, что в простых высказываниях является субъектом, предикатом и связкой.

Без труда не выловишь и рыбку из пруда.

Все медведи живут на севере.

Талант всегда пробьёт себе дорогу.

Сумма углов треугольника равна 1800.

III. Проверка домашнего задания:

Карточка для домашней работы

1.Из приведенных простых высказываний составьте и запишите не менее 3-ёх составных высказываний:

1) Поедем на дачу.

2) Хорошая погода.

3) Плохая погода.

4) Мы поедем на пляж.

5) Антон приглашает нас в театр .

2. Выведите, если это возможно, заключение из каждой пары посылок:

А) Все птицы – животные.

Все воробьи – птицы.

Б) Некоторые уроки трудны.

Всё, что трудно, требует внимания.

В) Ни один добрый поступок не является незаконным.

Всё, что законно, можно делать без страха.

А) Тем, кто лыс, расчёска не нужна.

Ни одна ящерица не имеет волос.

Следовательно, ящерицам расчёска не нужна.

Б) Всем, кто отлично закончит 3 четверть, подарят компьютер.

Ты закончил 3 четверть без троек.

Значит, готовься получить в подарок компьютер.

VI. Объяснение нового материала

Алгебра высказываний

Идею о возможности математизации логики высказал еще в XVII веке. Он пытался создать универсальный язык, с помощью которого каждому понятию и высказыванию можно было бы дать числовую характеристику и установить такие правила оперирования с этими числами, которые позволили бы сразу определить, истинно данное высказывание или ложно. То есть споры между людьми можно было бы разрешать посредством вычислений. Идея Лейбница оказалось ложной, так как невозможно (не найдены способы) свести человеческое мышление к некоторому математическому исчислению.

Однако, подлинный прогресс этой науки был достигнут в середине XIX века прежде всего благодаря трудам Дж. Буля "Математический анализ логики". Он перенес на логику законы и правила алгебраических действий, ввёл логические операции, предложил способ записи высказываний в символической форме.

В развитии математической логики приняли участие многие выдающиеся математики и логики конца XIX и XX веков, в том числе К. Гедель (австр.), Д. Гильберт (нем.), С. Клини (амер.), Э. Пост (амер.), А. Тьюринг (анг.), А. Чёрч (амер.), и многие другие.

Современная математизированная формальная логика представляет собой обширную научную область, которая находит широкое применение как внутри математики (исследование оснований математики), так и вне ее (синтез и анализ автоматических устройств, теоретическая кибернетика, в частности, искусственный интеллект).

Таким образом, объектами изучения алгебры логики являются высказывания.

Под высказыванием (суждением) будем понимать повествовательное предложение, относительно которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Обозначать высказывания будем большими латинскими буквами. Если высказывание А истинное, то будем писать "А = 1" и говорить: "А - истинно". Если высказывание Х ложно, то будем писать "Х = 0" и говорить "Х ложно".

Обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне алгебры логики. Например, истинность или ложность высказывания «Сумма углов треугольника равно 180о» устанавливается геометрией, причём в геометрии Евклида это высказывание является истинным, а в геометрии Лобачевского – ложным.

Алгебра логики отвлекается от смыслового содержания высказываний. Её интересует только один факт – истинно или ложно данное высказывание. Такое суждение интересов даёт возможность изучать высказывания алгебраическими методами.

Логические операции

В алгебре логики над высказываниями можно производить различные операции (как и в алгебре действительных чисел определены операции сложения, деления, возведения в степень над числами). Мы рассмотрим только некоторые, наиболее важные из них:

    Дизъюнкция (логическое сложение) Импликация (логическое следование) Эквивалентность (логическое равенство)

1) Инверсия (логическое отрицание)

Инверсия (логическое отрицание) – это логическая операция, которая каждому данному высказыванию ставит в соответствие новое высказывание, которое истинно, если данное высказывание – ложно, и ложно, если данное высказывание истинно.

Логические операции задаются таблицами истинности и могут быть графически проиллюстрированы с помощью кругов Эйлера , названных в честь великого математика, физика и астронома Леонарда Эйлера ()

Обозначение инверсии: ; неА ; А; NOT А

0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

А

Образуется из простого высказывания с помощью добавления частицы НЕ к сказуемому или использованием оборота речи "НЕВЕРНО, ЧТО...".

Пример: А = "На улице дождь"

= "Неверно, что на улице дождь"

Задание 1. Приведите пример высказывания и его отрицания.

Определите истинность каждого.

Итак, инверсия высказывания истинна, когда высказывание ложно.

2) Конъюнкция (логическое умножение)

истинно тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

Обозначение конъюнкции: А &В , А andВ , А LВ , А В .

Таблица истинности:

А &В

Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «И»

Пример: А = "На улице дождь"

В= "Небо голубое"

А &В = "На улице дождь и небо голубое"

Задание 2. а) Приведите примеры двух высказываний и получите составное высказывание используя логическую связку "И".

Итак, конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

3) Дизъюнкция (логическое сложение) – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, которое

истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из двух исходных высказываний истинно.

Обозначение дизъюнкции: А V В , А OR В , А +В .

0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

А V В

Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «ИЛИ»

Пример: А = "На улице дождь"

В= "Небо голубое"

А V В = "На улице дождь или небо голубое"

Задание 3. а) Приведите примеры двух высказываний и получите составное высказывание используя связку "ИЛИ".

Итак, дизъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда хотя бы одно из двух исходных высказываний истинно.

4) Импликация (логическое следование) – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, которое

ложно тогда и только тогда, когда первое высказывание (условие) истинно, а второе высказывание (следствие) ложно.

Обозначение дизъюнкции: А ® В .

Таблица истинности: Диаграмма Эйлера:

«ЕСЛИ …, ТО …»

Если клятва дана, то она должна выполняться.

Если число делится на 9, то оно делится и на 3.

Пример: А = " На улице дождь"

В= "Небо голубое"

А ® В = "Если на улице дождь, то небо голубое"

Задание 4 . а) Приведите примеры двух высказываний и получите составное высказывание, используя связку "ЕСЛИ, ТО...".

б) Определите истинность или ложность каждого из трех высказываний

Итак, импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда первое высказывание (условие) истинно, а второе высказывание (следствие) ложно.

5) Эквивалентность (логическое равенство) – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, которое

истинно тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.

Обозначение дизъюнкции: А « В, А = В, А≡В .

Таблица истинности: Диаграмма Эйлера:


Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «…ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА…»

Угол называется прямым тогда и только тогда, когда он равен 900

Все законы математики, физики, все определения – эквивалентность высказываний

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда они не пересекаются.

Пример: А = "На улице дождь"

В= "Небо голубое"

А « В = "На улице дождь тогда и только тогда, когда небо голубое"

Задание 5. а) Приведите примеры двух высказываний и получите составное высказывание используя связку речи «…ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА…»

б) Определите истинность или ложность каждого из трех высказываний.

Итак, эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.

VI. Закрепление изученного.

1. Объясните, почему следующие предложения не являются высказываниями :

· Какого цвета этот дом?

· Число Х не превосходит единицы.

· Посмотрите в окно.

· Пейте томатный сок!

· Эта тема скучна.

· Вы были в театре?

2. Объясните, почему формулировка любой теоремы является высказыванием.

3. Приведите по 2 примера истинных и ложных высказываний из математики, биологии, истории, информатики, литературы.

4. Из следующих предложений выбрать те, которые являются высказываниями:

    Коля спросил: «Как пройти к Большому театру?» Как пройти в библиотеку? Картины Пикассо слишком абстрактны. Решение задачи – информационный процесс. Число 2 является делителем числа 7 в некоторой системе счисления.

5. Выбрать истинные высказывания:

· “Число 28 является совершенным числом”

· “Без труда не выловишь и рыбку из пруда”

· “Талант всегда пробьёт себе дорогу”

· “Некоторые животные мыслят”

· “Информатика - наука об алгоритмах”

· “2+3*5=30”

· “Все ученики любят информатику”

6.

7. Какая логическая операция соответствует данной таблице истинности?

8. Какая логическая операция соответствует данной таблице истинности?

9. Какая логическая операция соответствует данной таблице истинности?

10. Какая логическая операция соответствует данной таблице истинности?

Итог урока:

    Вы познакомились с основными понятиями алгебры логики. Рассмотрели логические операции. Разобрали для каждой логической операции таблицу истинности и проиллюстрировали ЛО с помощью кругов Эйлера.

2. Выучить все определения в тетради из конспекта урока .

3. Подобрать высказывания для каждой логической операциипримера)

Ложное и истинное высказывание часто употребляется в языковой практике. Первая оценка воспринимается как отрицание истинности (неистинности). В реальности используют и иные виды оценки: неопределенность, недоказуемость (доказуемость), неразрешимость. Рассуждая над тем, для какого числа x истинно высказывание, необходимо рассмотреть законы логики.

Возникновение «многозначной логики» привело к использованию неограниченного числа показателей истинности. Ситуация с элементами истинности запутана, усложнена, поэтому важно внести в нее ясность.

Принципы теории

Истинное высказывание - это значение свойства (признака), рассматривается всегда для определенного действия. Что такое истина? Схема следующая: «Высказывание Х обладает значением истинности Y в том случае, когда истинно высказывание Z».

Давайте рассмотрим пример. Нужно понять, для какого из приведенных истинно высказывание: «Предмет а имеет признак В». Это высказывание неверно в том, что у предмета есть признак В, и неверно в том, что а не обладает признаком в». Термин «неверно» в данном случае употребляется в качестве внешнего отрицания.

Определение истинности

Как определяется истинное высказывание? Вне зависимости от структуры высказывания Х допускается только следующее определение: «Высказывание Х истинно тогда, когда есть Х, только Х».

Данное определение дает возможность ввести в язык термин «истинно». Оно определяет акт принятия согласия или высказывания с тем, о чем говорится в нем.

Простые высказывания

В них истинное высказывание без определения. Можно ограничиться при высказывании «Не-Х» общим определением, если это высказывание не является истинным. Истинна конъюнкция "X и Y", если будут истинны X и Y.

Пример высказывания

Как понять, для каких x истинно высказывание? Чтобы ответить на этот вопрос, используем выражение: «Частица а находится в области пространства b». Рассмотрим для этого высказывания следующие случаи:

  • невозможно наблюдать частицу;
  • можно наблюдать частицу.

Второй вариант предполагает определенные возможности:

  • частица реально находится в определенной области пространства;
  • ее нет в предполагаемой части пространства;
  • частица движется так, что сложно определить область ее расположения.

В данном случае можно использовать четыре термина значений истинности, которые соответствуют приведенным возможностям.

Для сложных структур уместно использование большего количества терминов. Это свидетельствует о неограниченности значений истинности. Для какого числа истинно высказывание, зависит от практической целесообразности.

Двузначности принцип

В соответствии с ним, любое высказывание либо ложно, либо истинно, то есть, характеризуется одним из двух вероятных истинностных значений - «ложно» и «истинно».

Данный принцип является основой классической логики, которую именуют двузначной теорией. Двузначности принцип использовался Аристотелем. Этот философ, рассуждая над тем, для какого числа х истинно высказывание, считал его неподходящим к тем высказываниям, которые касаются будущих случайных событий.

Он устанавливал логическую взаимосвязь между фатализмом и принципом двузначности, положением о предопределенности любых действий человека.

В последующие исторические эпохи ограничения, которые накладывались на данный принцип, объяснялись тем, что он существенно затрудняет анализ высказываний о планируемых событиях, а также о несуществующих (ненаблюдаемых) объектах.

Задумываясь о том, какие высказывания истинные, этим методом не всегда можно было найти однозначный ответ.

Появляющиеся сомнения в логических системах были развеяны только после того, как была разработана современная логика.

Чтобы понять, для какого из приведенных чисел истинно высказывание, подходит двухзначная логика.

Принцип многозначности

Если переформулировать вариант двухзначного высказывания для выявления истинности, можно превратить его в частный случай многозначности: любое высказывание будет иметь одно п значение истинности, если п равно либо больше 2, или же меньше бесконечности.

В качестве исключений дополнительных значений истинности (выше «ложно» и «истинно») выступают многие логические системы, базирующиеся на принципе многозначности. Двузначная классическая логика характеризует типичные варианты использования некоторых логически знаков: «или», «и», «не».

Многозначная логика, претендующая на их конкретизацию, не должна противоречить результатам двузначной системы.

Ошибочным считают то убеждение, согласно которому, принцип двузначности всегда приводит к констатации фатализма и детерминизма. Также неверна и мысль, согласно которой, многократную логику рассматривают в качестве необходимого средства осуществления индетерминистических рассуждений, что принятие ее соответствует отказу от использования строгого детерминизма.

Семантика логических знаков

Чтобы понять, для какого числа Х истинно высказывание, можно вооружиться таблицами истинности. Семантика логическая представляет раздел металогики, который исследует отношение к обозначаемым объектам, их содержанию разнообразных языковых выражений.

Данная проблема рассматривалась уже в античном мире, но в виде полноценной самостоятельной дисциплины она была сформулирована только на рубеже XIX—XX веков. Работы Г. Фреге, Ч. Пирса, Р. Карнапа, С. Крипке позволили выявить суть данной теории, ее реалистичность и целесообразность.

На протяжении длительного временного периода семантическая логика опиралась в основном на анализ формализованных языков. Только в последнее время большая часть исследований стала посвящаться естественному языку.

В данной методике выделяют две основные области:

  • теорию обозначения (референции);
  • теорию смысла.

Первая предполагает исследование отношения разнообразных языковых выражений к обозначаемым объектам. В качестве ее основных категорий можно представить: «обозначение», «имя», «модель», «интерпретация». Данная теория является основой для доказательств в современной логике.

Теория смысла занимается поиском ответа на вопрос относительно того, что представляет собой смысл языкового выражения. Она объясняет их тождественность по смыслу.

Существенную роль теория смысла имеет при обсуждении семантических парадоксов, при решении которых любой критерий приемлемости считается важным и актуальным.

Логическое уравнение

Данный термин используется в метаязыке. Под логическим уравнением можно представить запись F1=F2, в которой F1и F2 являются формулами расширенного языка логических высказываний. Решить такое уравнение означает, определить те наборы истинных значений переменных, которые будут входить в одну из формул F1 либо F2, при которых будет соблюдаться предложенное равенство.

Знак равенства в математике в некоторых ситуациях свидетельствует о равенстве исходных объектов, а в ряде случаев он ставится для демонстрации равенства их значений. Запись F1=F2 может свидетельствовать о том, что речь идет об одной и той же формуле.

В литературе довольно часто под формальной логикой подразумевают такой синоним, как «язык логических высказываний». В качестве «правильных слов» выступают формулы, служащие семантическими единицами, используемыми для построения рассуждений в неформальной (философской) логике.

Высказывание выступает в качестве предложения, которое выражает конкретное суждение. Иными словами, оно выражает мысль о присутствии некоего положения дел.

Данный факт стал основой пропозициональной логики. Существует подразделение высказываний на простые и сложные группы.

При формализации простых вариантов высказываний применяют элементарные формулы языка нулевого порядка. Описание сложных высказываний возможно только с применением формул языка.

Логические связки необходимы для обозначения союзов. При их применении простые высказывания превращаются в сложные виды:

  • «не»,
  • «неверно, что…»,
  • «или».

Заключение

Формальная логика помогает выяснять, для какого имени истинно высказывание, предполагает конструирование и анализ правил преобразования определенных выражений, которые сохраняют их истинное значение независимо от содержания. В качестве отдельного раздела философской науки она появилась только в конце девятнадцатого века. Вторым направлением является неформальная логика.

Основной задачей этой науки является систематизация правил, которые позволяют выводить новые утверждения на основе доказанных утверждений.

Фундаментом логики является возможность получения каких-то идей в качестве логического следствия иных утверждений.

Подобный факт позволяет адекватно описывать не только определенную проблему в математической науке, но и переносить логику в художественное творчество.

Логическое исследование предполагает отношение, которое существует между посылками и заключениями, выводимыми из них.

Его можно отнести к числу исходных, фундаментальных понятий современной логики, которую часто именуют наукой «что из него следует».

Сложно представить себе без подобных рассуждений доказательство теорем в геометрии, объяснение физических явлений, пояснение механизмов протекания реакций в химии.

План

    Высказывания с внешним отрицанием.

    Конъюнктивные высказывания.

    Дизъюнктивные высказывания.

    Строго-дизъюнктивные высказывания.

    Высказывания об эквивалентности.

    Импликативные высказывания.

Высказывания с внешним отрицанием.

Высказывание с внешним отрицанием - это высказывание (суждение), в котором утверждается отсутствие некоторой ситуации. Оно чаще всего выражается предложением, начинающимся словосочетанием “неверно, что...” или “неправильно, что...”. Внешнее отрицание обозначается символом “ù ”, называемым знаком отрицания. Этот знак определяется следующей таблицей истинности:

В высказываниях с внешним отрицанием отрицается ситуация в А. Например, если А: “Волга впадает в Черное море”, то ùА: “Неверно, что Волга впадает в Черное море”.

Конъюнктивные высказывания.

Конъюнктивными высказываниями являются такие, в которых утверждается одновременное наличие двух ситуаций. Конъюнктивные высказывания образуются из двух высказываний при помощи союзов “и”, “а”, “но”. Форма конъюнктивного высказывания: (А&В). Каждое из высказываний А и В может принимать как значение “истина”, так и значение “ложь”. Эти значения для краткости обозначаются буквами и, л . Таблица истинности для конъюнктивных высказываний имеет следующий вид:

В конъюнктивных высказываниях утверждается, что ситуация, описанная в А и в В имеют место одновременно. Примеры конъюнктивных высказываний: “Земля - планета, а Луна - спутник”; “Петров хорошо освоил логику, но Сидоров освоил логику плохо”; “На улице темно, и в аудитории горит свет”; “Петров всучил чиновнику взятку деньгами, а Сидоров - бутылкой”.

Дизъюнктивные высказывания.

Дизъюнктивные высказывания - это высказывания, в которых утверждается наличие по крайней мере одной из двух ситуаций, описанных в А и В. Дизъюнкция обозначается символом V и выражается в естественном языке союзом “или”.

Табличное определение знака дизъюнкции имеет следующий вид:

Пример дизъюнктивного высказывания: “Роман Сергеевич Иванов является преподавателем, или Роман Сергеевич Иванов является аспирантом”.

Строго-дизъюнктивные высказывания .

Строго-дизъюнктивными называются высказывания, в которых утверждается наличие ровно одной из двух ситуаций, описанных в А и В. Такие высказывания чаще всего осуществляются посредством предложений с союзом “или..., или...” (“либо..., либо...”). Строгая дизъюнкция обозначается символом V* (читается “либо..., либо...”).

Табличное определение знака строгой дизъюнкции имеет следующий вид:

Пример строго-дизъюнктивного высказывания: “Либо на улице солнечно, либо идет дождь”.