Многое из физики иногда остаётся непонятным. И дело не всегда в том, что человек просто мало прочитал по этой теме. Иногда материал дан так, что понять его человеку, не знакомому с основами физики, просто невозможно. Одним довольно интересным разделом, который не всегда люди понимают с первого раза и способны осмыслить, являются периодические колебания. Прежде чем объяснить теорию периодических колебаний, поговорим немного об истории обнаружения этого явления.

История

Теоретические основы периодических колебаний были известны ещё в древнем мире. Люди видели, как равномерно двигаются волны, как вращаются колёса, проходя через определённый промежуток времени через одну и ту же точку. Именно из этих простых, на первый взгляд, явлений пошло понятие колебаний.

Первых свидетельств описания колебаний не сохранилось, однако доподлинно известно, что один из самых распространённых их видов (а именно электромагнитные) теоретически предсказал Максвелл в 1862 году. Через 20 лет его теория получила подтверждение. Тогда провёл серию опытов, доказывающих существование электромагнитных волн и наличие определённых свойств, присущих только им. Как оказалось, свет также является электромагнитной волной и подчиняется всем соответствующим законам. За несколько лет до Герца нашёлся человек, который продемонстрировал научному обществу генерацию электромагнитных волн, но в силу того, что он не был силён в теории так же, как Герц, не смог доказать, что успех опыта объясняется именно колебаниями.

Мы немного отошли от темы. В следующем разделе рассмотрим основные примеры периодических колебаний, которые мы можем встретить в повседневной жизни и в природе.

Виды

Эти явления происходят везде и постоянно. И кроме уже приведённых в пример волн и вращения колёс, мы можем заметить периодические колебания в нашем организме: сокращения сердца, движение лёгких и так далее. Если увеличивать масштаб и переходить к более крупным объектам, чем наши органы, можно увидеть колебания и в такой науке, как биология.

Примером могут служить периодические колебания численности популяций. В чём смысл этого явления? В любой популяции всегда происходит то её увеличение, то уменьшение. И связано это бывает с разными факторами. В силу ограниченности пространства и многих других факторов популяция не может бесконечно расти, поэтому с помощью естественных механизмов природа научилась уменьшать численность. При этом и происходят периодические колебания численности. То же самое происходит и с человеческим обществом.

Теперь обсудим теорию этого понятия и разберём немного формул, касающихся такого понятия, как периодические колебания.

Теория

Периодические колебания - очень интересная тема. Но, как и в любой другой, чем дальше погружаешься - тем больше непонятного, нового и сложного. В этой статье мы не будем углубляться, лишь расскажем кратко об основных свойствах колебаний.

Основными характеристиками периодических колебаний являются период и частота показывает, какое время требуется волне, чтобы вернуться в исходное положение. Фактически это время, за которое волна проходит расстояние между её соседними гребнями. Есть ещё одна величина, которая тесно связана с предыдущей. Это частота. Частота обратна периоду и имеет такой физический смысл: это количество гребней волн, которые прошли через определённую область пространства за единицу времени. Частота периодических колебаний, если представить её в математическом виде, имеет формулу: v=1/T, где T - период колебаний.

Перед тем как перейти к заключению, расскажем немного о том, где наблюдаются периодические колебания и как знания о них могут быть полезны в жизни.

Применение

Выше мы уже рассмотрели виды периодических колебаний. Если даже руководствоваться перечнем того, где они встречаются, легко понять, что они окружают нас везде. излучают все наши электроприборы. Более того, связь телефона с телефоном или прослушивание радио были бы невозможны без них.

Звуковые волны также представляют собой колебания. Под действием электрического напряжения специальная мембрана в каком-либо генераторе звука начинает вибрировать, создавая волны определённой частоты. Вслед за мембраной начинают колебаться молекулы воздуха, которые в конце концов и доходят до нашего уха и воспринимаются как звук.

Заключение

Физика - очень интересная наука. И даже если кажется, что вы вроде как знаете в ней всё, что может пригодится в повседневной жизни, всё равно найдётся такая вещь, в которой будет нелишним разобраться получше. Мы надеемся, что эта статья помогла вам понять или вспомнить материал по физике колебаний. Это действительно очень важная тема, практическое применение теории из которой сегодня встречается повсеместно.

Общая характеристика колебаний

Ритмические процессы любой природы, характеризующиеся повторяемостью во времени, называются колебаниями.

Колебание – процесс, характеризующийся повторяемостью во времени параметров, его описывающих. Единство закономерностей ритмических процессов позволило разработать единый математический аппарат для их описания – теорию колебаний. Существуют множество признаков, по которым могут быть классифицированы колебания.

По физической природе колеблющейся системы различают механические и электромагнитные колебания.

Колебания называются периодическими, если величина, характеризующая состояние системы, повторяется через равные промежутки времени – период колебания.

Период (T ) - минимальное время, через которое повторяется состояние колебательной системы, т.е. время одного полного колебания.

Для таких колебаний

x(t)=x(t+T) ;(3. 1)

Периодическими являются колебания маятника часов, переменный ток, биение сердца, а колебания деревьев под порывом ветра, курсов иностранных валют – не периодические.

Кроме периода в случае периодических колебаний определена их частота.

Частота ()т.е. число колебаний в единицу времени.

Частота -величина, обратная периоду колебания,

Единицей измерения частоты являетсяГерц: 1 Гц = 1 с -1 , частота соответствующая одному колебанию в секунду. При описании периодических колебаний также используется циклическая частота – число колебаний за 2π секунд:

При периодических колебаниях эти параметры постоянны, а при других колебаниях могут изменяться.

Закон колебаний – зависимость колеблющейся величины от времени x(t) - может быть может быть разной. Наиболее простыми являются гармонические колебания (рис3.1), для которых колеблющаяся величина меняется по закону синуса или косинуса, что позволяет использовать одну функцию для описания процесса во времени:

Здесь: x (t) – значение колеблющейся величины в данный момент времени t , А – амплитуда – наибольшее отклонение колеблющейся величины от среднего значения., ω – циклическая частота, (ωt+φ ) – фаза колебания , φ – начальная фаза.

Гармоническому закону подчиняются многие известные колебательные процессы. в т.ч. упомянутые выше, но наиболее существенно что с помощью метода Фурье любая периодическая функция раскладывающаяся на гармонические составляющие (гармоники ) с кратными частотами:

f (t )= А + А 1 cos( t + )+ А cos (2 t+ )+…; (3.5)

Здесь основная частота определяется периодом процесса: .

Каждая гармоника характеризуется частотой () и амплитудой (А ). Совокупность гармоник называется спектром . Спектры периодических колебаний дискретные (линейчатые) (рис.3.1а), а не периодических непрерывные (рис.3.1б) .

Рис. 3.1 Дискретные (а) и непрерывные (б) спектры сложных колебательных

Виды колебаний

Колебательная система обладает определенной энергией, за счет которой совершаются колебания. Энергия зависит от амплитуды и частоты колебаний.

Колебания подразделяются на следующие виды: свободные или собственные, затухающие, вынужденные, автоколебания.

Свободные колебания совершаются в системе, однократно выведенной из положения равновесия и в дальнейшем предоставленной самой себе. При этом колебания происходят с собственной частотой (), которая не зависит от их амплитуды, т.е. определяется свойствами самой системы.

В реальных условиях колебания всегда являются затухающими , т.е. со временем происходит уменьшение энергии за счет ее диссипации и как следствие уменьшается амплитуда колебаний. Диссипация – необратимый переход части энергии упорядоченных процессов («энергии порядка») в энергию беспорядочных процессов («энергию хаоса»). Диссипация происходит в любой колеблющейся открытой системе.

Для создания незатухающих колебаний в реальных системах необходимо периодическое внешнее воздействие – периодическое пополнение энергии, теряемой за счет диссипации. Гармонические колебания, происходящие за счет внешнего периодического воздействия («вынуждающей силы»), называются вынужденными . Их частота совпадает с частотой вынуждающей силы (), а амплитуда оказывается зависящей от соотношения между частотой силы и собственной частотой системы. Важнейшим эффектом, осуществляющимся при вынужденных колебаниях, является резонанс – резкое возрастание амплитуды при приближении частоты вынужденных колебаний к собственной частоте колебательной системы. Резонансная частота тем ближе к собственной, а максимум амплитуды тем больше, чем меньше диссипация.

Автоколебания – незатухающие колебания, происходящие за счет источника энергии, вид и работа которого определяется самой колебательной системой. При автоколебаниях основные характеристики – амплитуда, частота – определяются самой системой. Это отличает данные колебания как от вынужденных, при которых эти параметры зависят от внешнего воздействия, так и от собственных, при которых внешнее воздействие задает амплитуду колебания. Простейшая автоколебательная система включает в себя:

колебательную систему (с затуханием),

усилитель колебаний (источник энергии),

нелинейный ограничитель (клапан),

звено обратной связи

При автоколебаниях для их установления важна нелинейность, управляющая поступлениями и тратами энергии источника, и позволяющая установить колебания определенной амплитуды. Примерами автоколебательных систем являются: механической - маятниковые часы, термодинамической – тепловой двигатель, электромагнитной – ламповый генератор, оптической – лазер (оптический квантовый генератор). Схема лазера представлена на рис.4.5. Здесь колебательная система – оптически активная среда, заполняющая оптический резонатор, имеется внешний источник энергии, обеспечивающий процесс «накачки», клапан и обратная связь – полупрозрачное зеркало на выходе оптического резонатора, нелинейность определяется условиями вынужденного излучения.

Во всех автоколебательных системах обратная связь регулирует включение внешнего источника и поступление в колебательную систему энергии: пока поступление энергии (вклад) выше потери, происходит самовозбуждение (раскачка), колебания в системе усиливаются; когда потеря энергии становится равной ее поступлению, клапан закрывается. Система колеблется в стационарном режиме с постоянной амплитудой; при возрастании потери амплитуда уменьшается, и вновь открывается клапан, возрастает вклад, амплитуда восстанавливается, клапан закрывается.

Колебательными называются процессы, при которых параметры, характеризующие состояние колебательной системы, обладают опре­делённой повторяемостью во времени. Такими процессами, например, могут являться суточные и годовые колебания температуры атмо­сферы и поверхности Земли, колебания маятников и т.д.

Если про­межутки времени, через которые состояние системы повторяется, равны между собой, то колебания называются периодическими , а про­межуток времени между двумя последовательными одинаковыми состояниями системы – периодом колебаний .

Для периодических колебаний функция, определяющая состояние колеблющейся системы, повторя­ется через период колебаний:

Среди периодических колебаний особое место занимают коле­бания гармонические , т.е. колебания, при которых характеристики движения системы изменяются по гармоническому закону, например:

Наибольшее внимание, уделяемое в теории колебаний именно часто встречающимся на практике гармоническим процессам, объяс­няется как тем, что для них наиболее хорошо развит аналитический аппарат, так и тем, что любые периодические колебания (и не толь­ко периодические) могут быть рассмотрены в виде определённой комбинации гармонических составляющих. В силу этих причин далее будут рассмотрены преимущественно гармонические колебания. В аналитическом выражении гармонических колебаний ве­личина x отклонения материальной точки от положения равно­весия называется смещением .

Очевидно, что максимальное отклонение точки от положения равновесия равно a, эта величина называется амплитудой колебаний . Физическая величина, равная:

и определяющая состояние колеблющейся системы в данный момент вре­мени, называется фазой колебаний . Значение фазы в момент начала от счёта времени

называется начальной фазой колебаний . Величина w в выражении фазы колебаний, определяющая быстроту колебательного процесса, называется его круговой или циклической частотой колебаний.

Состояние движения при периодических колебаниях должно повторяться через промежутки времени, равные периоду колебаний T. При этом, очевидно, фаза колебаний должна изменятся на 2p (период гармонической функции), т.е.:

Отсюда следует, что период колебаний и циклическая частота связаны между собой соотношением:

Скорость точки, закон движения которой определяется, также изменяется по гармоническому закону

Отметим, что смещение и скорость точки неодновременно обращаются в нуль или принимают максимальные значения, т.е. смешение и скорость отличаются по фазе.

Аналогично получаем, что ускорение точки равно:

Из выражения для ускорения видно, что оно смещено по фазе относительно смещения и скорости. Хотя смешение и ускорение одновременно проходят через нуль, в этот момент времени они имеют противоположные направления, т.е. смещены на p. Графики зависимостей смещения, скорости и ускорения от времени при гармонических колебаниях представлены условном масштабе на рисунке

Из закона гармонического движения, пользуясь формулами тригонометрических преобразований, можно записать:

Собственные колебания.

Основные особенности собственных колебаний рассмотрим на примере механической колебательной системы с одной степенью свободы, т.е. такой системы, положение которой можно в любой момент времени определять только одной координатой. Будем счи­тать, что размеры тела достаточно малы, чтобы его можно было рассматривать как материальную точку. Предположим, что при выводе тела из положения равновесия на него будут действовать силы, пропорциональные смещению и направленные противоположно этому смещению -kx. Как говори­лось выше, трением, сопротивлением среды можно пренебречь. Внутренние же силы, величина и направление которых определя­ются смещением из положения равновесия, могут быть, например, силами упругости или силами другой природы, но изменяющимися так же, как и упругие . Такие силы, независимо от их природы, будем называть "квазиупругими" . С учётом этих сил дифференциальное уравнение движения принимает вид

Решением дифференциального уравнения движения имеет вид гармонической функции

Строгое доказательство этого даёт теория дифференциаль­ных уравнений, мы же легко можем убедиться в справедливости этого утверждения путём подстановки решения в уравнение

Как видно, равенство будет соблюдаться для любого момен­та времени, если:

Действительно, отношение можно представить в виде квадрата некоторой величины, поскольку масса тела, коэффициент упругости и, следовательно, само отношение положительны. Как коэффициент k , так и масса тела являются внутренними парамет­рами колебательной системы, поэтому циклическая частота коле­баний w не зависит от начальных условий. От начальных условий зависит только амплитуда колебаний и начальная фаза, которые можно найти из начальных условий, как это было показано ранее. Скорость и ускорение тела при собственных колебаниях так­же изменяются по гармоническому закону:

Затухающие колебания.

Выясним теперь характер колебаний рассмотренной системы при наличии трения. При этом будем полагать, что силы трения пропорциональны скорости тела и противоположно ей направлены. Такими силами, например, являются силы вязкого трения при до­статочно малых скоростях движения тела. Если тело выведено из положения равновесия на величину x и при этом имеет скорость , то на него будут действовать квазиупругая сила F=-kx и сила сопротивления движению , где, m - коэффициент сопротивления. По второму закону динамики напишем дифференциаль­ное уравнение движения

Введём обозначения и . C учётом этих обозначений дифференциальное уравнение принимает вид

Исходя из сказанного, решение уравнения будем искать в виде

Если выражение

действительно является решением урав­нения, то после подстановки в мы должны получить тождество:

Очевидно, тождество будет выполняться для любого произ­вольного момента времени, если будут выполняться следующие условия

Из условия получаем дифференциальное уравнение для определения амплитуды колебаний

Разделяя переменные, получаем уравнение, удобное для ин­тегрирования

Решением этого уравнения является функция ,

где А 0 - постоянная интегрирования, которую можно определить из начальных условий.

частота колебаний действительно отличается от частоты собственных колебаний и равна

Можно теперь ответить на вопрос, поставленный в § 5: что означает отсутствие определенной частоты у негармонического периодического колебания периода ?

Согласно теореме Фурье такое периодическое колебание представляет собой набор гармонических колебаний и, следовательно, характеризуется не одной частотой, а набором частот и т. д., т. е. кратных наиболее низкой (основной) частоте .

Рассмотрим осциллограммы колебаний, имеющих одинаковый период , но различных по своей форме. Пример таких осциллограмм мы имели на рис. 6, где было изображено несколько различных периодических колебаний одного и того же периода. По теореме Фурье каждое из этих колебаний является суммой гармонических колебаний, причем и основная частота , и ее обертоны и т. д. у всех рассматриваемых периодических колебаний одинаковы, так как одинаков период .

Но если частоты гармоник одни и те же, то с чем связано различие формы наших периодических колебаний?

Попробуем выяснить этот вопрос на примерах сложения гармонических колебаний. Это сложение осуществляется по общим правилам сложения движений (см. том I, § 6). Если складываемые перемещения происходят вдоль одной прямой, то результирующее перемещение равно алгебраической сумме складываемых перемещений. Отсюда вытекает и графический способ сложения колебании, которым мы будем сейчас пользоваться.

Рис. 30. Сумма гармонического колебания и его первого обертона

На рис. 30 штриховой линией показаны развертки (осциллограммы) двух гармонических колебаний - основного тона и первого обертона. Прямая линия соответствует положению равновесия. В какой-то момент времени, т. е. в какой-то точке этой прямой линии, имеем отрезки и , изображающие отклонения от положения равновесия, вызванные каждым из колебаний в этот момент. Сложив эти отрезки, мы получаем отрезок , изображающий результирующее отклонение в точке . Выполнив такое построение для ряда точек на прямой (с учетом знаков отклонений, т. е. плюс - вверх, минус - вниз), соединим концы всех результирующих отрезков линией. Мы получим развертку суммарного колебания (сплошная кривая на рисунке). Оно имеет тот же период, что и основная гармоника, но форма его несинусоидальная.

Попробуем теперь вдвое уменьшить амплитуду обертона. Результат сложения в этом случае показан на рис. 31. На рис. 32 амплитуды обеих гармоник те же, что и на рис. 30, но обертон сдвинут по времени на четверть своего периода. Наконец, на рис. 33 обе гармоники взяты такими же, как на рис. 30, но добавлен еще второй обертон. Во всех случаях результирующие колебания получаются с одним и тем же периодом, но совершенно различными по форме.

Рис. 31. То же, что на рисунке 30, но амплитуда обертона вдвое меньше

Итак, различие формы периодических колебаний связано с тем, сколько гармоник входит в их состав, с какими они входят амплитудами и фазами.

Рис. 32. То же, что на рисунке 30, но обертон сдвинут на четверть своего периода

Мы брали для простоты всего две или три складываемые гармоники; но формы периодических колебаний могут быть (и чаще всего бывают) такими, что количество обертонов будет очень большим и даже бесконечно большим. При этом для всякой формы периодического колебания каждая его гармоника имеет вполне определенную амплитуду и фазу. Стоит изменить амплитуду или фазу хотя бы одной-единственной гармоники, и форма результирующего периодического колебания в какой-то мере изменится.

Впрочем, очень часто изменения формы колебаний, обусловленные фазами гармоник, т. е. их сдвигами повремени, не играют роли в физическом явлении и поэтому не представляют интереса. Именно так, в частности, обстоит дело по отношению к звуковым колебаниям, к которым мы обратимся в следующих параграфах. В таких случаях нам важно знать лишь частоты и амплитуды гармоник, входящих в состав данного сложного колебания. Набор этих частот и амплитуд называется гармоническим спектром (или просто спектром) данного колебания.

Рис. 33. То же, что на рисунке 30, но добавлен второй обертон

Рис. 34. Периодическое колебание в форме толчков и спектр такого колебания

Спектры можно изображать в виде очень наглядных графиков, откладывая в определенном масштабе по горизонтальной оси частоты (или номера) гармоник, а по вертикали - их амплитуды. На рис. 34 показана осциллограмма колебания, представляющего собой периодические выбросы в одну сторону. Так меняется со временем, например, действующая периодическими толчками сила. В нижней части рисунка показан спектр этого колебания. Положение каждой линии определяет номер соответствующей гармоники и, следовательно, ее частоту, а высота линии - амплитуду этой гармоники.

Механические колебания. Параметры колебаний. Гармонические колебания.

Колебанием называется процесс точно или приблизительно повторяющийся черезопределенные промежутки времени.

Особенность колебаний - обязательное наличие на траектории положения устойчивого равновесия, в котором сумма всех сил, действующих на тело равна нулю называется положением равновесия.

Математическим маятником называют материальную точку, подвешенную на тонкой, невесомой и нерастяжимой нити.

Параметры колебательного движения.

1. Смещение или координата (x ) – отклонение от положения равновесия в данный

момент времени.	[x ]= м

2. Амплитуда (Xm ) – максимальное отклонение от положения равновесия.

[ X m ]= м

3. Период колебаний (T ) – время, за которое совершается одно полное колебание.

[T ]= c.

0 " style="margin-left:31.0pt;border-collapse:collapse">

Математический маятник

Пружинный маятник

m

https://pandia.ru/text/79/117/images/image006_26.gif" width="134" height="57 src=">Частота (линейная) (n) – число полных колебаний за 1 с.

[n]= Гц

5. Циклическая частота (w ) – число полных колебаний за 2p секунд, т. е. приблизительно за 6,28 с.

w = 2pn ; [w] =0 " style="margin-left:116.0pt;border-collapse:collapse">

https://pandia.ru/text/79/117/images/image012_9.jpg" width="90" height="103">

Тень на экране колеблется.

Уравнение и график гармонических колебаний.

Гармонические колебания -это колебания,при которых координата изменяется с течениемвремени по закону синуса или косинуса.

https://pandia.ru/text/79/117/images/image014_7.jpg" width="254" height="430 src=">x = X m sin (w t + j0 )

x = X m cos (w t + j0 )

x – координата,

Xm – амплитуда колебаний,

w – циклическая частота,

w t +j0 = j – фаза колебаний,

j0 – начальная фаза колебаний.

https://pandia.ru/text/79/117/images/image016_4.jpg" width="247" height="335 src=">

Графики отличаются только амплитудой

Графики отличаются только периодом (частотой)

https://pandia.ru/text/79/117/images/image018_3.jpg" width="204" height="90 src=">

Если амплитуда колебаний не изменяется течением времени, колебания называются незатухающими .

Собственные колебания не учитывают трения, полная механическая энергия системы, остается постоянной: E к + E п = E мех = const.

Собственные колебания незатухающие.

При вынужденных колебаниях энергия, поступающая непрерывно или периодически от внешнего источника, восполняет потери, возникающие за счет работы силы трения, и колебания могут быть незатухающими.

Кинетическая и потенциальная энергия тела при колебаниях переходят друг в друга. Когда отклонение системы от положения равновесия максимально, потенциальная энергия максимальна, а кинетическая равна нулю. При прохождении положения равновесия, наоборот.

Частота свободных колебаний определяется параметрами колебательной системы.

Частота вынужденных колебаний определяется частотой действия внешней силы. Амплитуда вынужденных колебаний тоже зависит от внешней силы.

Резонан c

Резонансом называется резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты действия внешней силы с частотой собственных колебаний системы.

При совпадении частоты w изменения силы с собственной частотой w0 колебаний системы сила в течение всего совершает положительную работу, увеличивая амплитуду колебаний тела. При любой другой частоте в течение одной части периода сила совершает положительную работу, а в течение другой части периода - отрицательную.

При резонансе рост амплитуды колебаний может привести к разрушению системы.

В 1905 году под копытами эскадрона гвардейской кавалерии рухнул Египетский мост через реку Фонтанку в Петербурге.

Автоколебания.

Автоколебаниями называются незатухающие колебания в системе, поддерживаемые внутренними источниками энергии при отсутствии воздействия внешней переменой силы.

В отличие от вынужденных колебаний частота и амплитуда автоколебаний определяются свойствами самой колебательной системы.

От свободных колебаний автоколебания отличаются независимостью амплитуды от времени и от начального кратковременного воздействия, возбуждающего процесс колебаний. Автоколебательную систему обычно можно разделить на три элемента:

1) колебательную систему;

2) источник энергии;

3) устройство с обратной связью, регулирующее поступление энергии из источника в колебательную систему.

Энергия, поступающая из источника за период, равна энергии, потерянной в колебательной системе за то же время.