Критическая длина волны устанавливает верхний предел длин волн, при котором происходит распространение энергии по волноводу (световоду). Например, для расчета критической длины волны в прямоугольном волноводе, размеры стенок которого a и b , можно записать , где m – число полуволн, укладывающихся на длину а .

В соответствии с длиной волны можно найти критическую частоту, которая устанавливает нижний предел частот, при которых происходит распространение энергии по световоду .

Учитывая все характерные размеры волновода (например, в прямоугольном – две стороны) можно записать окончательно для критической частоты и критической длины волны:

где m и n – число полуволн, укладывающихся на соответствующих сторонах а и в волновода.

Картины распределения полей в круглом и прямоугольном волноводах приведены на рис.:

Картина поля волны Е 01 в круглом волноводе

Картина поля волны Н 11 в круглом волноводе

Из рисунков видно, что в волноводах разного геометрического сечения, составляющие электрического и магнитного полей имеют различные конфигурацию и распределение.

Характеристическим сопротивлением Zс волновода называется отношение поперечных составляющих векторов Е и Н. Для волн электрического типа

Для волн магнитного типа

Объемные резонаторы. Волны, распространяющиеся в объемном резонаторе. Критическая длина волны. Электрические и магнитные поля в резонаторе. Типы объемных резонаторов. Настройка резонаторов. Использование объемных резонаторов.

Резонатор – колебательная система, в которой возможно накопление энергии колебаний. Если на резонатор действует внешняя периодическая сила, то в нем возникают вынужденные колебания, амплитуда которых резко возрастает при приближении частоты внешнего воздействия к определенным (собственным) значениям частоты, зависящим от свойств резонатора. Существуют акустические, механические и электромагнитные резонаторы. Простейшим электромагнитным резонатором радиочастоты (1- 2 Мгц) является колебательный контур. В диапазоне СВЧ применяются объемные резонаторы, а в диапазоне миллиметровых, субмиллиметровых радиоволн, а также в оптическом диапазоне – открытые резонаторы.

Объемный резонатор - колебательная система, представляющая собой полость с проводящими стенками, внутри которой могут возбуждаться электромагнитные колебания. Объемный резонатор. применяется в диапазоне сверхвысоких частот (10 9- 10 11 Гц), где обычные колебательные контуры, состоящие из емкости, индуктивности и сопротивления, осуществить невозможно. С уменьшением длины волны l размеры контура неизбежно приближаются к l, а это ведет к резкому возрастанию излучения из контура. Вследствие этого контур теряет способность к накоплению электромагнитной энергии и свои резонансные свойства. Для накопления энергии на СВЧ используют объемный резонатор – систему, аналогичную акустическому резонатору Гельмгольца. Процесс накопления энергии в объемном резонаторе можно описать на примере распространения плоской волны между двумя параллельными отражающими плоскостями. Если между плоскостями каким – либо образом возникнет плоская волна, распространяющаяся перпендикулярно к ним, то при достижении одной из плоскостей она полностью отразится от нее. Многократное отражение от обеих плоскостей приводит к образованию отраженных волн одинаковой амплитуды и частоты, распространяющихся в противоположных направлениях и интерферирующих друг с другом. Амплитуда результирующей волны (и соответственно ее интенсивность) зависит от соотношения между длиной волны l и расстоянием между плоскостями . Если (n – целое число), то интерференция волн приводит к образованию стоячей волны, амплитуда которой при многократном отражении сильно возрастает. Если же - то амплитуда суммарной волны существенно меньше, чем в первом случае.

Наиболее распространенным является цилиндрический объемный резонатор (полый цилиндр с проводящими стенками). Если в цилиндрической полости возбудить электромагнитную волну, распространяющуюся от оси цилиндра, к его отражающим стенкам (цилиндрическая волна), то интерференция отраженных волн приводит к образованию стоячих цилиндрических волн. Т.о., с заметной интенсивностью в объемном резонаторе могут возбуждаться только определенные колебания, образующие внутри полости стоячие волны. Это налагает определенные условия на размеры открытого резонатора.

Стоячие волны в объемном резонаторе могут иметь различную поляризацию (ориентацию векторов электрического Е и магнитного Н полей). Электромагнитные волны, распространяющиеся в свободном пространстве являются поперечно поляризованными, т. е. векторы Е и Н расположены в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Электромагнитные колебания в объемном резонаторе не обладают поперечной поляризацией – один из векторов Е или Н будет иметь проекцию на направление распространения волны е – продольную компоненту. Если продольную составляющую имеет вектор Е, то электромагнитное колебание называют электрическим и обозначается буквой Е , если продольную составляющую имеет векторН, то колебание называют. магнитным Н. Каждое колебание в цилиндрическом объемном резонаторе характеризуют 3 индексами тпр, соответствующими числу полуволн по его диаметру, окружности и длине (напр., Е тпр или Н mnp). Тип колебания (Е или Н) и его индексы тпр определяют структуру электрического и магнитного полей в объемном резонаторе.

В объемном резонаторе произвольной формы также могут возбуждаться электромагнитные колебания определенных длин волн и определенной структуры. Их называют собственными колебаниями, или видами колебаний (модами), а частоты этих колебаний – резонансными. В общем случае частота колебаний открытого резонатора определяется его внутренними размерами. Структура простейших колебаний Е 010 , Н 111 , Н 011 в цилиндрическом объемном резонаторе приведена на рис. 1.

Переменное магнитное поле индуцирует в стенках объемного резонатора электрические токи. Направление токов зависит от вида колебаний: для электрических колебаний возможны только токи, параллельные оси цилиндра (продольные); при магнитных колебаниях ток может иметь как продольную, так и поперечную составляющие. Ток нагревает стенки резонатора, что приводит к потерям электромагнитной энергии в объемном резонаторе (тепловые потери). Чтобы уменьшить их, объемный резонатор изготовляют из металлов с малым удельным сопротивлением (напр., медь или ее сплавы) или покрывают стенки полости изнутри тонким слоем серебра или золота. Если в стенках объемного резонатора есть отверстия, которые пересекаются переменным током, то ток возбуждает вне объемного резонатора электромагнитное поле, что приводит к потерям энергии на излучение. В объемных резонаторах, применяемых на практике, потери на излучение гораздо больше тепловых потерь. Отношение электромагнитной энергии, запасенной в объемном резонаторе, к суммарным потерям в нем называют добротностью . Чем выше добротность, тем лучше качество резонатора.

Частота колебания Е 010 1 (рис.1 а), а также всех колебаний вида Е тп0 и Н тп0 зависит от диаметра цилиндра и не зависит от его длины, т. к. вдоль цилиндра их составляющие постоянны и не носят волнового характера. Изменяя размеры объемного резонатора, можно изменить (перестроить) резонансные частоты. Колебания в объемном резонаторе возбуждают вводя в него петлеобразный проводник (петля связи), через отверстие (щель). В последнем случае необходимо, чтобы токи в стенках резонатора пересекали щель. Те же элементы обеспечивают вывод электромагнитной энергии наружу.

Помимо цилиндрических объемных резонаторов, применяются объемные резонаторы другой формы: в лабораторных установках – прямоугольные; в маломощных генераторах СВЧ – клистронах – тороидальные; в мощных генераторах СВЧ – магнетронах – представляющих собой систему цилиндрич. резонаторов. О бъемные резонаторы применимы для частот 10 11 Гц (). Для более коротких волн длина волны возбуждаемых в объемных резонаторах колебаний становится сравнимой с размерами неизбежных шероховатостей и отверстий в стенках резонатора, что приводит к рассеянию электромагнитной энергии.

Эти недостатки устраняются в открытых резонаторах, представляющих собой систему зеркал.

Открытый резонатор – система отражающих поверхностей, в которой могут возбуждаться электромагнитные колебания очень высоких частот СВЧ и оптического диапазона. Открытые резонаторы играют решающую роль в работе лазеров. Объемные резонаторы – замкнутые полости с отражающими стенками, широко применяемые в диапазоне СВЧ, оказались неудобными для оптического диапазона. Боковые стенки создавали трудности для возбуждения активного вещества лазера. Поэтому для световых волн удаляют боковую поверхность полости. Образовавшийся открытый резонатор состоит из двух зеркал, удаленных друг от друга (рис. 6.2, а). Он обладает по сравнению с объемным резонатором некоторыми особенностями.

Простейшим открытым резонатором является интерферометр Фабри - Перо – два плоских строго параллельных зеркала А и В, находящихся на определенном расстоянии с друг от друга (рис.2, а). В направлении оси z в результате отражения от зеркал и интерференции отраженных волн, так же как и в объемном резонаторе, установятся стоячие световые волны:

где E z – электрическое поле световой волны,

Е 0 z – его амплитуда,

q = 2с / - целое число полуволн, укладывающееся в открытый резонатор вдоль оси z .

Например, при с = 10 см, = 10 -4 см, q = 10 5 . На поверхности зеркал (z = 0, z = с ) амплитуды световой волны Е 0 z равны нулю.

Волна, первоначально распространяющаяся параллельно оси оz , из-за дифракции света от краев зеркал, после отражения от зеркала будет распространяться в конусе с углом . В результате некоторая доля света (тем большая, чем больше угол ) не попадет на второе зеркало и покинет открытый резонатор (дифракционные потери). В диапазоне радиоволн длина волны сравнима с размерами резонатора, при этом дифракционные потери велики ( ~1). Поэтому открытый резонатор применяются лишь для миллиметровых и более коротких волн. Для света дифракционные потери малы ( ~10 -4 – 10 -5) и отсутствие боковых стенок не приводит к заметному уходу электромагнитной энергии из резонатора. Структура же волн в пространстве между зеркалами заметно не изменяется при удалении боковых стенок (отражающие поверхности отсутствуют).

Части плоской волны, распространяющиеся вдали от краев зеркал, при попеременном отражении от зеркал практически «не чувствуют» отсутствия боковых стенок. В то же время ее части вблизи краев зеркал из-за дифракционных потерь быстро уходят из открытого резонатора. Поэтому с течением времени в открытый резонатор устанавливается волновая картина, в которой амплитуда световой волны вблизи краев зеркал будет практически равна 0. Стационарная картина световой волны, установившаяся в открытом резонаторе после достаточно большого числа «проходов», называется видом колебаний, или модой открытого резонатора. Если вначале распределение энергии, т. е. интенсивность волны вдоль оси х у одного из зеркал было прямоугольным, то после первых проходов форма волны сильно изменится.

Аналогично вдоль оси у:

добротность, определяет потери световой энергии в открытом резонаторе. Кроме дифракционных потерь в лазерах необходим выход света из резонатора, для чего обычно одно из зеркал делают полупрозрачным. В реальных приборах существуют также потери, связанные с рассеянием света на различных неоднородностях и т. д. Все эти процессы приводят к затуханию во времени световых колебаний в открытом резонаторе, что количественно описывается добротностью Q mnq различной для разных мод. Строго монохроматическими с частотой могут быть лишь колебания, существующие неограниченно долго. Любое затухание приводит к нарушению монохроматичности. При этом тип колебаний состоит из целого набора частот в интервале от до . Величина , называется спектральной полушириной, связана с добротностью соотношением: .

Открытый резонатор отличается более высокой добротностью (Q~ 10 6 - 10 7)посравнению с объемными резонаторами СВЧ (Q~ 10 3 -10 4).

Республика Казахстан

Алматинский институт Энергетики и Связи

Кафедра Радиотехники

Контрольная работа

По дисциплине: Теория передачи электромагнитных волн

Прямоугольный волновод

Выполнил: ст. гр. БРЭ-07-9

Джуматаев Е. Б.

Зачетная книжка № 073013

Принял: доцент Хорош А.Х.

Алматы 2009

Задание

1. Построить амплитудно-частотную (АЧХ) и фазо-частотную (ФЧХ) характеристики отрезка волновода длиной L в заданном диапазоне длин волн.

2. Изобразить картину силовых линий электромагнитного поля всех типов волн, которые в этом диапазоне длин волн могут участвовать в переносе активной энергии. Построить зависимости их продольных составляющих от поперечных координат. Привести картины распределения плотности поверхностного тока, соответствующего распределению поля этих типов волн на стенках волновода.

3. Во сколько раз изменится длительность импульса прямоугольной формы на выходе волновода по сравнению со входом, если частота заполнения импульса равна центральной частоте рабочего диапазона волновода.

Исходные данные из таблиц 3-5:

Амплитуда поля

, В/м: 10

Длина отрезка L, м: 15

Материал стенок: медь

Тип волновода: □ (прямоугольный)

Характерные размеры волновода, мм: 28.5x12.6

Рабочий диапазон

, м: 0.029 – 0.056

Длительность импульса, нс: 1

Учитывать, что независимо от количества мод, участвующих в переносе энергии по волноводу, мощность генератора не меняется (можно принять равенство амплитуд всех мод).

Задание 1

Рис. 1. Амплитудно-частотная характеристика

Рис. 2. Фазо-частотная характеристика

Задание 2

волновод электромагнитный поле импульс

Прямоугольный волновод представляет собой полую металлическую трубу прямоугольного сечения.

При падение плоской волны с параллельной поляризацией на идеально проводящую плоскость, структуры полей электрического и магнитного векторов Магнитный вектор с единственной проекцией H y чисто поперечен, в то время как электрический вектор имеет и поперечную проекцию E x , и продольную проекцию E y . Неоднородные плоские волны такой структуры принято называть Е-волнами .(131 стр.)

При падении плоской волны с перпендикулярной поляризацией на идеально проводящую плоскость электрическое поле имеет единственную отличную от нуля проекцию

и является чисто поперечным. Вектор напряженности магнитного поля, напротив, кроме поперечной проекции H x имеет также продольную проекцию H y . По этой причине такие направляемые волны принято называть Н-волнами . (133 стр.)

Характер зависимостей проекций векторов электромагнитного поля волн Е- и Н-типов вдоль продольной координаты z и поперечной координаты х совершенно различен: по оси z устанавливается бегущая, а по оси х - стоячая волна. Чтобы учесть эту особенность рассматриваемого волнового процесса, вводят два параметра: продольное волновое число (7.18-7.20)

и поперечное волновое число ,

(2)

такие, что

при любом угле падения

. Где, - коэффициент фазы волны.

Пограничный случай возникает на такой рабочей частоте, когда

. При этом h=0 и, как следствие, длина волны в волноводе . Принято говорить, что волновод с выбранным типом волны оказывается в критическом режиме. Длину волны генератора, соответствующую случаю , называют критической длиной волны данного типа и обозначают. (стр. 158-159)

Из приведенных рассуждений следует, что в критическом режиме коэффициент фазы

Отсюда получается формула для вычисления критической длины волны (8.29)

(4)

Где, a и b – размеры волновода, числа т и п называют индексами волны данного типа. Физически они означают количества стоячих полуволн, возникающих внутри волновода вдоль координатных осей х и у соответственно. Поскольку индексы могут быть любыми, в прямоугольном металлическом волноводе возможно раздельное существование сколь угодно большого числа волн типа Е тп. Однако, волны типа E 0n и E m0 не существует. Для волн типа Н тп , также, справедлива формула (4).

Значит, для критической длины волны должно выполнятся следующее условие, при котором поле представляет собой распространяющуюся волну

Или, подставив значения рабочего диапазона и размеры волновода, получим

(5)

Условие выполняется, только при m=1 и n=0 (

становится равным 0.057). Значит, в данном волноводе будет распространяться волна типа H 10 .

Рис. 4. Структура силовых линий векторов электромагнитного поля типа H 10 в прямоугольном волноводе

Длину волны в волноводе можно найти преобразовав формулы (3) и (4):

(6)

Это равенство показывает, что при изменении длины волны генератора

длина волны в волноводе изменяется не пропорционально ей. Закон зависимости длины волны в волноводе от длины волны в свободном пространстве называют дисперсионной характеристикой волновода. В явном виде эта характеристика описывается формулой, вытекающей из выражения (6) (8.32):

Зависимость длины волны в волноводе от длины волны генератора показано на рис. 3.

Распространение электромагнитных волн в волноводах

Эффективная передача сигналов с помощью электромагнитных волн возможна с использованием так называемых направляющих структур. Простейшая направляющая структура – это двухпроводная линия, волновые процессы в которой были описаны в одном из предыдущих разделов. Особенностью волновых процессов в двухпроводной линии является излучение электромагнитной энергии в окружающее пространство, что часто является неприемлемым, особенно при использовании электромагнитных волн высокой частоты. В радиотехнике и технике СВЧ нашли широкое применение волноводы. Волновод представляет собой полую тонкостенную трубку с заданным поперечным сечением. Стенки волновода могут проводить электрический ток, форма и размеры поперечного сечения волновода могут изменяться вдоль оси волновода. Ось волновода может быть пространственной кривой. Основные задачи теории волноводов: какие волны могут распространяться в конкретном волноводе, каким образом возбуждаются электромагнитные волны в волноводе, каким образом происходят переходные процессы в волноводе. Основы теоретического описания распространения электромагнитных волн в волноводе были разработаны в пятидесятые - шестидесятые годы прошлого века, значительный вклад в развитие теории волноводов внесли российские учёные.

Полное описание волновых процессов в рассматриваемых устройствах требует привлечения методов математической физики, а выполнение конкретных расчётов в современных условиях немыслимо без привлечения вычислительной математики и компьютерных технологий. В настоящем пособии рассмотрена проблема определения типов гармонических электромагнитных волн в достаточно длинном прямолинейном волноводе произвольного поперечного сечения с бесконечно проводящими стенками. Для случая волновода с прямоугольным поперечным сечением и волновода с круглым поперечным сечением рассмотрение доведено до конкретных численных результатов, при этом читателю предоставляется возможность освоить логическую последовательность приёмов построения физико-математической модели явления и её анализа.

1. Бегущие гармонические электромагнитные волны в волноводе произвольного поперечного сечения.

Рассмотрим прямолинейный волновод, ось которого направлена вдоль координаты z декартовой системы координат, а поперечное сечение представляет собой односвязную область D(x,y), граница которой является простым достаточно гладким замкнутым контуром. Оговоримся, что будем рассматривать правую систему декартовых координат (x,y,z ). Предположим, что вектор напряжённости электрического поля и вектор напряжённости магнитного поля внутри волновода могут быть описаны зависимостями

, . (1)

Соотношения (1) описывают гармонические волны, бегущие в положительном направлении оси z , амплитуда которых зависит только от поперечных координат точки наблюдения. Величина является круговой частотой электромагнитной волны, а величина - продольным волновым числом, определяющим длину волны в продольном направлении. Заметим, что волны (1) не подпадают под определение «плоская волна», для которой требуется специфическая зависимость амплитуды зависимости (1) от поперечных координат. Заметим также, что ниже рассматриваем проблему «установившихся колебаний», т.е. физическую ситуацию, в которой зависимость исследуемых величин от времени предопределена – гармоническая форма колебаний задана для любого промежутка времени. Последнее значительно упрощает математическую теорию, поскольку позволяет рассматривать «задачу без начальных условий».

В рамках линейной электродинамики, если среда внутри волновода является однородной, изотропной и непроводящей (диэлектрик), процесс распространения электромагнитной волны вида (1) описывается системой уравнений

, . (3)

Система уравнений (2)-(3) является частым случаем системы уравнений Максвелла, при выводе уравнений (2)-(3) учтен гармонический характер волны. При вычислении результатов пространственных производных в системе уравнений (2)-(3) учтём известные тождества векторного анализа

, (5)

и то обстоятельство, что амплитуды искомых величин (1) зависят только от поперечных координат. В итоге получаем систему дифференциальных уравнений частных производных в координатной форме:

(6)

Система уравнений (6) является основой для рассмотрения частных случаев распространения электромагнитной волны в прямолинейном волноводе произвольного поперечного сечения.

Интересно отметить одну существенную особенность системы уравнений (6). Ось z по условию является направлением распространения электромагнитной волны. При рассмотрении электромагнитных волн в неограниченной среде мы неоднократно убеждались, что электромагнитная волна является поперечной волной. Но если в системе уравнений (6) положить и , то останется система уравнений

которая допускает только две возможности: или решение для амплитуд электромагнитного поля тривиально, или величина является отрицательной величиной, т.е. является мнимой величиной, а рассматриваемые нами электромагнитные волны перестают быть бегущими волнами. Обе эти возможности не удовлетворительны с физической точки зрения. Остаётся смириться с тем, что в волноводах с поперечным сечением конечных размеров могут существовать не поперечные волны.

Система уравнений (6) может быть «разбита» на две независимые системы, в одной из них выполнено условие , а во второй – наоборот . Рассмотрение частных случаев проще, чем рассмотрение явления в целом, общее решение представляет собой суперпозицию частных решений в силу линейности исходной теории.

1. Электромагнитная волна первого типа (волна Е-типа).

Рассмотрим физическую ситуацию, для которой выполнено условие . Система уравнений (6) приобретает при этом вид:

(7)

Из системы уравнений (7) следует уравнение Гельмгольца для амплитуды продольной компоненты напряжённости электромагнитной волны:

(8)

Параметр в уравнении (8) определён соотношениями (9):

. (9)

Величина n в определениях (9) является величиной показателя преломления, с – скорость распространения электромагнитной волны в вакууме (бесконечное пространство), - модуль волнового вектора электромагнитной волны в вакууме. Как получено уравнение (8)? Второе уравнение системы (7) надо продифференцировать по переменной у , четвёртое уравнение системы (7) надо продифференцировать по переменной х и результаты сложить с учётом возможности исключения других амплитуд с использованием остальных уравнений системы (7). При этом используется условие обращения в нуль дивергенции напряжённости электрического поля и пятое уравнение системы (7). Привлекательность полученного результата состоит в том, что мы получили уравнение для одной искомой функции и это уравнение – уравнение канонической формы.

Легко проверить, что все остальные амплитуды явным образом выражаются через функцию :

(10)

Например, первое из соотношений (10) получается, если в четвёртое уравнение системы (7) подставить первое уравнение той же системы и воспользоваться определениями (9).

Все уравнения электродинамики удовлетворены, если функция удовлетворяет уравнению (8) и справедливы определения (9) и зависимости (10). Однако построение физико-математической модели нельзя считать законченным. Необходимо рассмотреть систему условий на границе раздела «диэлектрик - идеальный проводник», вытекающих из интегральной формы уравнений электродинамики.

На рис.1 показано поперечное сечение рассматриваемого волновода, ориентация составляющих вектора напряжённости электрического поля вдоль осей х и у, ось z направлена перпендикулярно плоскости рисунка и «на нас», направление единичного вектора внешней нормали к элементарному участку контура и положительное направление обхода контура – единичный вектор касательного направления . Пусть угол является углом между направлением нормали и

направлением оси х декартовой системы координат. На правой части рисунка показан вспомогательный контур, используемый ниже в теореме о циркуляции вектора напряжённости магнитного поля при формулировке граничных условий на боковой поверхности волновода.

Поскольку материал стенки волновода считается бесконечно проводящим, напряжённость электрического поля в стенке волновода равна нулю. Для компонент вектора напряжённости электрического поля на границе со стенкой волновода потребуем выполнения условий:

Физически необходимость условия (12) становится очевидной, если принять во внимание соотношения (10). Математически условие (12) является следствием условия (11). Необходимое условие непрерывности касательных компонент вектора напряжённости электрического поля при переходе через границу раздела двух сред выполнено.

Условие непрерывности нормальных компонент вектора магнитной индукции должно быть выполнено с учётом обращения в нуль вектора магнитной индукции в материале стенки волновода: если вектор напряжённости электрического поля в стенке волновода равен нулю, то вектор магнитной индукции тоже равен нулю: напряжённости электрического и магнитного полей в электромагнитной волне линейно связаны друг с другом и эта связь является однородной. Вычислим нормальную к контуру компоненту напряжённости магнитного поля (напомним, что всюду): . (13)

Ранее мы рассматривали падение плоской электромагнитной волны на поверхность идеального проводника и суперпозицию падающей и отраженной волн. Для локализации энергии в пространстве эту модель можно превратить в простейший волновод: добавить к имеющейся проводящей плоскости на некотором расстоянии параллельную ей такую же плоскость. В этом случае волны будут распространяться только в промежутке между этими двумя плоскостями. Будем называть такую направляющую систему двухплоскостным волноводом.

Очевидно, что как на верхней, так и на нижней плоскости должны выполняться одинаковые граничные условия . При этом картина поля в волноводе должна принимать некоторый вполне определенный вид, как это показано, например, на рисунке.

−Картины поля для некоторых простейших типов волн, распространяющихся между двумя параллельными плоскостями

Вид распределения поля, конечно, зависит от частоты электромагнитной волны и от расстояния между плоскостями. Характерная картина такого распределения носит название типа волны (типа колебаний) или моды. Из приведенного рисунка следует, что различные типы волн (моды) различаются числом стоячих полуволн, укладывающихся вдоль поперечной координаты . На этом принципе основана классификация типов волн в волноводах, которая проводится раздельно в случаеЕ - иН -типов. Дл этого каждому типу волны сопоставляется индекс: положительное целое число, равное числу стоячих полуволн, или, как иначе говорят, числу вариаций поля вдоль поперечной координаты. На этом основании тип волны, изображенный на рисунке Рисунок 13 а, следует назвать типом. На рисунке Рисунок 13 обозначены индексы изображенных типов волн вместе с силовыми линиями поля в поперечном сечении.

1. Критическая длина волны

Выясним условия существования тех или иных типов волн в зависимости от их индекса, ширины волновода и длины волны генератора. При этом будем исходить из сформулированного выше условия, которое на основании формул для суммарного поля между двумя плоскостями

принимает вид

,

где
− индекс типа волны.

Действительно, при выполнении этого условия амплитудная синусоидальная функция, описывающая распределение поля в поперечном сечении волновода, обращается в нуль на верхней и нижней стенках (рисунок Рисунок 14).

−Распространение волны в двухплоскостном волноводе

Это условие может быть переписано в следующем эквивалентном виде:

.

−Распространение при разной длине волны

Отсюда можно сделать вывод: при фиксированных параметрах икаждому индексу
соответствует определенное значение угла падения, обеспечивающеее условие существования волн типов
или
(рисунок Рисунок 15). Отметим при этом, что с ростом индекса угол падения должен уменьшаться.

Поскольку левая часть последнего соотношения ограничена в интервале
, данное соотношение не может быть выполнено при любых
,и. Действительно, для любого индекса
найдется такая длина волны генератора, которую будем называть критической длиной волны данного типа и обозначать
, для которой выполнение условий возможно лишь при максимальном значении
, т.е.

.

Если теперь выбрать значение
, то граничные условия на стенках волновода не могут быть выполнены ни при каком вещественном значении угла падения. Физически это означает невозможность существования колебания данного типа в виде бегущей волны. Явления, происходящие в волноводе на критической длине волны, могут быть сформулированы следующим образом. Поскольку
, образуется стоячий волновой процесс в поперечной плоскости, т.е. никакого волнового движения, а следовательно, и передачи энергии вдоль осине происходит. Однако важно подчеркнуть, что на критической длине волны

,
.

Теперь можно сформулировать основной вывод из приведенных рассуждений. Каждый тип колебаний с индексом
может существовать как бегущая волна в области длин волн, удовлетворяющих равенству

.

Волны, более длинные, чем
, по волноводу на данном типе колебаний распространяться не могут. Принято говорить, что область частот, удовлетворяющая неравенству
, является областью отсечки данного типа колебаний.

Тип волны, обладающий наибольшей критической длиной, носит название основного (или низшего) в данном волноводе. Для рассматриваемого здесь двухплоскостного волновода низших типов волн два: это типы и, для них
. Итак, если длина волны генератора превосходит удвоенную ширину волновода, то никакие волныЕ - иН -типов распространяться в нем не могут. Если
, то в волноводе могут существовать лишь волны низших типов. При
появляется возможность возникновения двух волн высших типов,
и т.д.

Знание критической длины волны позволяет для конкретной длины волны генератора определить фазовую скорость на любом типе колебаний:

.

Аналогично находится длина волны в волноводе:

.

Формулы подобного вида будут часто встречаться в дальнейшем, при рассмотрении волноводов разного типа.

Глава 2. Прямоугольный металлический волновод

Лекция 4. Поле в прямоугольном волноводе

Прямоугольный волновод представляет собой полую металлическую трубу прямоугольного сечения (рис.2.1). Волновод используется как линия передачи в основном в сантиметровом диапазоне длин волн, частично в дециметровом и миллиметровом диапазонах. Примеры наиболее распространённых стандартных волноводов следующих поперечных размеров (широкую стенку принято обозначать через «а», узкую – «b»):

а х b = 1,6 х 0,8 мм (λ ср ~ 2 мм)

23 х 10 мм (λ ср ~ 3 см)

72 х 34 мм (λ ср ~ 10 см)

110 х 55 мм (λ ср ~ 15 см)

Задача определения поля в волноводе решается в предположении, что стенки волновода обладают бесконечной проводимостью, а заполняющая его среда - идеальный диэлектрик с параметрами  и  .. Волновод бесконечно протяжённый (чисто бегущая волна). Поле монохроматическое. Будем считать, что источник находится за пределами рассматриваемой части линии передачи и создаваемая им волна распространяется вдоль оси z.Используемая система координат и размеры a и b поперечного сечения волновода показаны на рис.2.1.

Рис. 2.1. Прямоугольный волновод

В прямоугольном металлическом волноводе с однородным диэлектрическим заполнением распространяются магнитные волны типа
, у которых компонентыH Z  0, a E Z = 0 (направление оси z совпадает с продольной осью волновода), и электрические волны
, у которыхE Z  0, H Z = 0. Поперечно электромагнитные Т -волны не существуют. Предположим, что Т волна существует, у которой Е Z = 0, Н Z = 0, Е ┴ ≠ 0, Н ┴ ≠ 0. Силовые линии вектора Н → замкнуты, в данном случае лежат в поперечной плоскости и согласно первому уравнению Максвелла охватывают линии вектора объёмной плотности полного тока:

Но у волны Т продольная составляющаяЕ Z = 0, уравнение Максвелла не выполняется, и волнаТ не существует. Здесь же можно сделать вывод, что если внутри линии есть проводник, тоТ волна существует. Но это уже другой тип линии передачи (например - коаксиальная линия).

Т
ак как поперечные составляющие векторов поля однозначно определяются через продольные (см. 1.15,1.16), то для определения поля электрических и магнитных волн достаточно решить однородные волновые уравнения Гельмгольца для продольных составляющих векторов поля

Уравнения одинаковые по структуре, достаточно заняться решением одного из них. Волна распространяется вдоль оси z.

Амплитуда Е mz (х,у ) зависит от поперечных координат, фаза β z описывает линейное изменение фазы поля вдоль координаты распространения z. При явной зависимости от z, можно сразу расписать вторую производную в операторе Лапласа:

Далее учтём, что
┴ , сократим е - jβz и уравнения Гельмгольца приводим к виду

Эти уравнения решаем методом разделения переменных, согласно которому искомое решение представляется в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной. Займемся первым волновым уравнением (2.1).

(2.3)

Д
ля определения неизвестных функций X (x ) и Y (y ) искомое решение (2.3) подставляем в (2.1) и делим на произведение X (x ) Y (y )

(2.4)

В уравнении (2.5) сумма двух независимых функций (первое и второе слагаемые) равна постоянной величине. Это возможно только при условии, что сами функции равны пока неизвестным постоянным, называемыми константами разделения

При этом должно выполняться равенство

(2.7)

Решая полученные уравнения (2.6), находим

Неизвестные постоянные
,
определяем из граничных условий: на идеально проводящих стенках волновода касательная составляющая вектора напряженности электрического поля равна нулю. В случае электрических волн (решаем уравнение 2.1) продольная составляющая E mz является касательной ко всем стенкам волновода. Поэтому уравнения (2.3,2.8,2.9) должны быть подчинены следующим граничным условиям:

При х=0 коэффициент В=0 ; при х=a функция
.

Коэффициент A ≠0 , иначе Е Z = 0, что невозможно для Е волн. Значит,
, аргумент синуса
, и неизвестная константа разделения принимает вид:

, индекс m имеет числовые значения
(2.10)

При y=0 коэффициент D =0; при у=b функция
.

Коэффициент С ≠0, иначе Е Z = 0, что невозможно для Е волн. Значит,
, аргумент синуса
, и неизвестная константа разделения принимает вид:

, индекс n имеет числовые значения
(2.11)

В случае электрических волн значения индексов m = 0 и n = 0 не годятся, так как при этом E mz = 0 во всех точках внутри волновода. Найденное решение для продольной составляющей E mz принимает вид

В формуле (2.12) введено обозначение E 0 z = AC – максимальная амплитуда продольной составляющей вектораЕ . ВеличинаE 0 z определяется либо заданием конкретного источника, либо заданием мощности бегущей волны. Для дальнейшего анализа конкретное значение
не требуется. Волновод является линейной системой, и безразлично, на каком уровне поля проводить его анализ. Через найденную продольную составляющую (2.12) поперечные составляющие векторов поля определяются из соотношений (1.16).

имеет компоненты:

,

,

,

,
,
, (2.13)

где
– характеристическое сопротивление волновода с

волной
;

[Ом] – характеристическое сопротивление cреды, заполняющей волновод;

–продольное волновое число (коэффициент фазы);

–поперечное волновое число.

Электрические и магнитные волны имеют много общих черт, и их свойства удобно анализировать совместно. В случае магнитных волн решение уравнения для продольной составляющей (2.2) проводится так же, как и для электрических волн. Видоизменяется только запись граничных условий.

Электромагнитное поле распространяющейся волны
имеет компоненты:

,

,

,

,
,
, (2.14)

где
[Ом] – характеристическое сопротивление волновода для волн типа
.

В отличие от электрических волн для магнитных волн индексы m иn могут принимать нулевые значения, но они не могут равняться нулю одновременно, так как при этом продольная составляющаяH z не зависит от переменныхx иy и вектор Е (см. 1.5) будет равен нулю.

Значение искомого поперечного волнового числа (2.7) получаем из приведенного решения, а вслед и значение критической длины волны для электрических и магнитных волн

(2.15)

Каждой паре индексов (чисел) m иn соответствует определённое поле, называемое типом волны, или гармоникой, или модой (от латинского словаmodus– образ). Обозначаются ониЕ mn илиН mn и в волноводе может существовать бесконечный спектр электрических и магнитных волн. Не существуют в силу граничных условий (Е τ =0 на идеально проводящей стенке) волныН 00 , Е 00 , Е m 0, Е 0n . Индекс m в записи волны означает, что все составляющие электромагнитного поля имеют m вариаций поля вдоль осиo х , а индексn означает число вариаций поля вдоль оси oy .

Лекция 5. Параметры электрических и магнитных волн в прямоугольном волноводе

Из бесконечного спектра типов волн с индексами m = 0, 1, 2, ... и n = 0, 1, 2, ... распространяться в волноводе будут лишь те, для которых выполняется соотношение

или
, (2.16)

где – критическая длина волны данного типа колебания;

–критическая частота;

, – относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости мате риала, заполняющего волновод;

–частота генератора;

–длина волны в безграничной cреде с параметрами материала, заполняющего волновод;

–длина волны в вакууме.

Критическая длина волны
или
вычисляется по единой формуле

, (2.17)

где a иb – размеры поперечного сечения волновода по широкой и узкой стенкам. Из выражениявидно, что чем меньше индексыmиn, тем больше λ кр. Волна, обладающая наибольшей λ кр, называется основной (основной тип), остальные волны – высшими типами. При одинаковых индексахm иn выполняется равенство

,

и волны
и
называются вырожденными. Невырожденными будут волны Н m 0 и Н 0 n , так как при таких индексах электрических волн нет.

Другие параметры распространяющихся
или
волн в соответствии с разделом 1 рассчитываются по следующим формулам:

, ;

фазовая скорость волны в волноводе

, где
,;

групповая скорость волны в волноводе

, .

Мощность, переносимая волной любого типа в волноводе, вычисляется интегрированием продольной составляющей вектора Пойнтинга по поперечному сечению волновода

, [Вт],

где
– поперечные к осиz компоненты векторов поля электромагнитной волны.

Максимальная переносимая мощность в волноводе определяется напряженностью электрического поля пробоя диэлектрика, заполняющего волновод. Для сухого воздуха при нормальном давлении напряженность пробоя Е проб = 30 кВ/см.

Коэффициент затухания волны в волноводе равен сумме коэффициентов затухания, обусловленных потерями в металлических стенках волновода и в диэлектрике, заполняющем волновод
.

Для волн типа
(m>1, n1)

, ,

где
– активное поверхностное сопротивление металла с проводимостью.

Для волн типа

. (2.19)

Коэффициент затухания, обусловленный потерями в диэлектрике с комплексной диэлектрической проницаемостью

вычисляется по формуле

, (2.20)

где – характеристическое сопротивление волновода:

–для волн типа
,

–для волн типа
.

Для нескольких первых типов волн значения критической длины волны приведены в таблице

Тип волны	Н 10	Н 20	Н 01	Н 02	Н 11

О
сновной волной прямоугольного волновода является волнаH 10 (при условии a > b ). Для волны H 10
. Немаловажной является следующая волна. Приb< это волнаН 20 , при b> следующей будет волна Н 01 . В стандартных волноводах для расширения частотного диапазона на основном типе волны принимают условие b .

Лекция 6. Основная волна типа Н 10 прямоугольного волновода

Обычно волновод проектируют таким образом, чтобы в нём распространялась одна основная волна (одномодовый режим). Определим частотный диапазон, в котором возможно распространение только основной волны и невозможно распространение других. Частотный рабочий диапазон, при котором распространяется только Н 10

<<
,
<<
(2.21)

Заполнение волновода диэлектриком смещает частотный диапазон в низкочастотную область. Для заданного частотного диапазона необходимо выбрать поперечные размеры волновода, исходя из условия распространения волн

> >;
<;
<b<Итак, <<, b<и более жёсткое условие b<. (2.22)

Поперечные размеры прямоугольных волноводов соизмеримы с длиной волны, поэтому в основном они используются в сантиметровом диапазоне, частично в дециметровом и миллиметровом диапазонах. Обычно принимают

,
. (2.23)

В качестве средней длины волны рабочего диапазона рекомендуется величина

.(2.24)

Если b < 0,5 а , то область, где распространяется только основной тип волны Н 10 , определяется соотношением
. На практике рекомендуются следующие использования допустимой полосы длин волн:

,
.(2.25).

Приведем выражения, описывающие пространственную зависимость комплексных амплитуд декартовых проекций векторов электромагнитного поля для волны типа Н 10 , подставляя индексы m =1 и n =0 в общие формулы (2.14):

(2.26)

Иногда удобно выразить амплитуды через максимальную амплитуду электрического поля Е 0 , которая максимальна в середине широкой стенки. Укажем распределение амплитуд составляющих векторов поля по координатам: вдоль осиzамплитуды постоянны (как и у любой бегущей волны), амплитуды постоянны и по координатеy(так как индексn =0), по координатеx– амплитуды имеют тригонометрическую зависимость. Цифра 1 в записиH 10 означает, что все составляющие электромагнитного поля имеют одну вариацию поля вдоль осиo х . Цифра 0 означает, что все компоненты поля имеют постоянное распределение вдоль оси oy (0 вариаций).

На рис. 2.2 показано распределение по модулю амплитуд составляющих векторов поля, нормированных к максимальному значению

Рис. 2.2 Распределение амплитуд составляющих векторов поля.

Параметры волны Н 10 рассчитываются по общим формулам направляемых волн. Длина волны

(2.27)

Следует отметить, что при изменении длины волны генератора λ 0 длина волны в волноводе λ в изменяется непропорционально ей. Закон зависимости длины волны в волноводе от длины волны в свободном пространстве называется дисперсионной характеристикой волновода (график на рис.2.3).

Область λ 0 < λ кр является областью прозрачности . При λ 0 << λ кр λ в  λ 0 . Если λ 0  λ кр, то λ в  ∞. При переходе λ 0 за граничные значения λ 0 в волноводе существует не бегущая волна, а колебание, экспоненциально затухающее вдоль продольной оси oz .

Рис. 2.3 Дисперсионная характеристика прямоугольного волновода

С фазовой скоростью распространяется фронт волны внутри волновода

(2.28)

Передача же сигнала по волноводу происходит с групповой скоростью

(2.29)

Видно, что групповая скорость всегда меньше фазовой и скорости света.

Характеристическое сопротивление волновода. По физическому смыслу характеристическое сопротивление линии передачи – это отношение некоторой электрической характеристики волнового процесса к магнитной. В теории волноводов характеристическое сопротивление определяется как отношение модулей поперечных составляющих векторов напряженности электрического и магнитного полей. Для волны H 10 характеристическое сопротивление вычисляется по формуле

(2.30)

Характеристическое сопротивление широко используется в различных прикладных задачах (например, в задачах согласования, т.е. отсутствия отраженной волны). Через сопротивления можно оценить излучение из открытого конца волновода. Волноводу сопоставляется эквивалентная схема в виде полубесконечной линии с сопротивлением
и нагрузки с сопротивлениемZ С, равным сопротивлению свободного пространства. Используем коэффициент отражения
на границе двух сред. Погрешность этой формулы в данном случае составляет 10%-15%, так как не учитываются высшие типы, возникающие на открытом конце волновода. Через коэффициент отражения считается
. Обычно коэффициент отражения невелик на волнеН 10 и открытый конец волновода может служить эффективной антенной в СВЧ диапазоне.