Дробно-рациональная функция
- это функция вида , где f(x) и g(x) - некоторые функции.
График дробно-рациональной функции
представляет собой гиперболу.
Функция имеет две асимптоты - вертикальную и горизонтальную.
Определение.
Прямая линия называется асимптотой графика функции, если график функции неограниченно сближается с этой прямой при удалении точки графика в бесконечность:
x=a уравнение вертикальной асимптоты
y=b уравнение горизонтальной асимптоты
y=kx+b уравнение наклонной асимптоты
Дробно-линейная функция представляет собой частный случай дробно-рациональной функции.
Дробно-линейная функция – это такая алгебраическая дробь , у которой числитель и знаменатель представляют собой линейные функции.
Во всякой дробно-линейной функции можно выделить целую часть.
Построим график функции y=1/x:
D(y): х≠0
E(y): у≠0
y = k/x - нечетная
Построим график функции y=k/x:
При k=2 y=-2/x:
ООФ: х≠0
МЗФ: у≠0
y=k/x – нечетная
Пример1 .
Построим график функции 
, т.е. представим ее в виде 
: выделим целую часть дроби, разделив числитель на знаменатель, мы получим:
Итак, 
. Мы видим, что график этой функции может быть получен из графика функции у=5/х с помощью двух последовательных сдвигов: сдвига гиперболы у=5/х вправо на 3 единицы, а затем сдвига полученной гиперболы 
вверх на 2 единицы.
При этих сдвигах асимптоты гиперболы у=5/х также переместятся: ось х на 2 единицы вверх, а ось у на 3 единицы вправо.
Для построения графика проведем в координатной плоскости пунктиром асимптоты: прямую у=2 и прямую х=3. Так как гипербола состоит из двух ветвей, то для построения каждой из них составим две таблицы: одну для х3 (т. е. первую слева от точки пересечения асимптот, а вторую справа от нее):
Отметив в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в первой таблице, и соединив их плавной линией, получим одну ветвь гиперболы. Аналогично (используя вторую таблицу) получим вторую ветвь гиперболы. График функции изображен на рисунке 3.
Любую дробь 
можно записать аналогичным образом, выделив ее целую часть. Следовательно, графики всех дробно-линейных функций являются гиперболами, различным образом сдвинутыми параллельно координатным осям и растянутыми по оси Оу.
Пример 2.
Построим график функции 
.
Поскольку мы знаем, что график есть гипербола, достаточно найти прямые, к которым приближаются ее ветви (асимптоты), и еще несколько точек.
Найдем сначала вертикальную асимптоту. Функция не определена там, где 2х+2=0, т.е. при х=-1. Стало быть, вертикальной асимптотой служит прямая х=-1.
Чтобы найти горизонтальную асимптоту, надо посмотреть, к чему приближаются значения функций, когда аргумент возрастает (по абсолютной величине), вторые слагаемые в числителе и знаменателе дроби 
относительно малы. Поэтому
.
Стало быть, горизонтальная асимптота – прямая у=3/2.
Определим точки пересечения нашей гиперболы с осями координат. При х=0 имеем у=5/2. Функция равна нулю, когда 3х+5=0, т.е. при х=-5/3.
Отметив на чертеже точки (-5/3;0) и (0;5/2) и проведя найденные горизонтальную и вертикальную асимптоты, построим график (рис.4).
Вообще, чтобы найти горизонтальную асимптоту, надо разделить числитель на знаменатель, тогда y=3/2+1/(x+1), y=3/2 – горизонтальная асимптота.
Алгоритм построения графика дробно-рациональной функции, содержащей квадратный трехчлен .
Найти область определения функции.
Разложить на множители квадратный трехчлен.
Сократить дробь.
Построить график (параболу, гиперболу, кубическую параболу).
Исключить из графика точки, не входящие в область определения («выколотые» точки).
Найти значение функции в «выколотых» точках.
Определить, при каких значениях b прямая y=b имеет с графиком ровно одну общую точку.
ЗАДАНИЕ
Построить график функции (D (y ), на графике – выколотые точки):
Разбор типовых вариантов заданий №23 ОГЭ по математике
Первый вариант задания
Постройте график функции
Алгоритм решения:
- Записываем ответ.
Решение:
1. Преобразуем функцию в зависимости от знака переменной х.
2. График функции заданных значениях х - часть параболы, ветви которой направлены вниз.
Вершина расположена в точке с координатами: 
Найдем нули функции: График проходит через начало координат и точку (-2;-7).
Графиком второй функции является парабола, ветви которой направлены вверх.
Вершина ее находится в точке:
Определим нули параболы
3. Изображаем график функции на координатной плоскости:
4. Из построения легко видно, что прямая y = m имеет с графиком ровно две точки, когда проходит через вершину одной из парабол, образующих график данной функции.
Значит, две общие точки функция и прямая имеют при m = -2,25 или m = 12,25.
Ответ: -2,25; 12,25.
Второй вариант задания
Постройте график функции
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Алгоритм решения:
- Преобразуем формулу, которая задает функцию.
- Определяем вид и характерные точки функции на каждом промежутке.
- Изображаем график на координатной плоскости.
- Делаем вывод относительно количества точек пересечения.
- Записываем ответ.
Решение:
1. Преобразуем формулу в зависимости от знака переменной х:
2. Графиком функции 
является парабола, ветви которой направлены вниз.
Вершина ее находится в точке: 
Найдем нули функции: График проходит через начало координат и точку (0;4).
Графиком второй функции 
является парабола, ветви которой направлены вверх.
Вершина ее находится в точке:
Определим нули параболы
3. Изображаем график на координатной плоскости:
Из изображения видно, что прямая y= m имеет с графиком только две общих точки, когда m=-9 или m=4. На графике прямая изображена красной линией при каждом значении m.
Ответ: -9; 4.
Третий вариант задания
Постройте график функции
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Алгоритм решения:
- Преобразуем формулу, которая задает функцию.
- Определяем вид и характерные точки функции на каждом промежутке.
- Изображаем график на координатной плоскости.
- Делаем вывод относительно количества точек пересечения.
- Записываем ответ.
Решение:
1. Преобразуем формулу функции в зависимости от знака переменной
2. Определяем вид функции и находим дополнительные точки для каждого участка графика.
График при - часть парабола, ветви которой направлены вниз. Потому как коэффициент а =-1 – отрицательный.
Определим вершину параболы 
и 
.
Вершина находится в точке (-3; 9).
Парабола проходит еще через точки (0;0) и (0;6).
Если , ветви параболы направлены вверх. Найдем вершину:
, (2; -4).
График проходит также через точки (0;0) и (0;4).
3. Строим искомый график:
Из построения видно, что прямая y=m имеет только 2 общие точки с графиком функции в случаях, когда m=-4 или m=9. На рисунке прямые изображены красным цветом.
Ответ: -4; 9.
Четвертый вариант задания
Постройте график функции
Определите, при каких значениях k прямая у = kx не имеет с графиком общих точек.
Алгоритм решения:
- Строим график.
- Записываем ответ.
Решение:
1. Если x < 0, то
Дробь, получившаяся в результате, определена 
. График представляет собой часть гиперболы.
Точки для построения графика:
3. Построим график заданной функции:
4. Прямая y=kx не имеет общих точек с графиком, при k=-1; 0 и 1, потому как тогда прямая проходит через точки, не входящие в область определения заданной функции.
На графике прямые для k=-1; 1изображены красным.
Ответ: -1; 0; 1.
Пятый вариант задания
Постройте график функции
Определите, при каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком общих точек.
Алгоритм решения:
- Раскрываем модуль и преобразовываем формул функции.
- Определяем вид функции на каждом промежутке и находим дополнительные точки графика.
- Строим график.
- Определяем искомые значения k.
- Записываем ответ.
Функция – это такая вещь, которая связывает две (или более) переменных между собой. Другими словами, функция помогает найти одну переменную, если мы знаем значение второй переменной. Например, если у нас в кармане есть 100 рублей, а шоколадка стоит 50 рублей, то мы можем купить 2 шоколадки. Если у нас в кармане есть 200 рублей, то мы можем купить 4 шоколадки. В этом случае первая переменная – это сумма, которая есть в кармане, а вторая переменная – количество шоколадок, которые мы можем купить. Стоимость шоколадки составляет 50 рублей, она не зависит от того сколько у нас денег, поэтому эта величина является постоянной.
Можно составить функцию для этого случая: у = 50 х , где у – деньги в кармане, х – количество шоколадок.
Естественно функции бывают более сложными. Но для решения заданий ОГЭ по математике достаточно знать как выглядят графики основных функций.
1. Функция вида y = kx + b (прямая линия)
В этой функции k
и b
это числа. Функция может быть записана в разном виде: y
= x
, y
= 2x
, y
= 3x
– 4, y
= -9x
+44, y
= и т д. Главным признаком
является присутствие икса (х
) в первой степени (то есть все случаи, когда мы не делим на х
).
Число k
в этом случае отвечает за то, в какую сторону наклонена линия. Если k
> 0
, то функция возрастает вправо. Если k
< 0
, то функция возрастает влево.
Число b
y
. Если b
>0
, то график пересекает ось y выше начала координат, если b
< 0
– ниже.
2. Функция вида y = ax 2 + bx +c (парабола)
В этой функции a, b, c – числа. Функция может быть записана в разном виде: y = x 2, y = 3x 2 + 8, y = 2x 2 -4x + 10, y = -x 2 – 9x +1, y = – 7 и т. д. Главным признаком является наличие икса в квадрате (x 2).
Число а
отвечает за то, в какую сторону (вверх или вниз) направлены ветви параболы (я еще называю веселый смайлик и грустный смайлик). Если a
> 0
, то веселый смайлик, если a
< 0
– грустный.
Число b отвечает за то в какую сторону (вправо или влево) смещена точка начала параболы (точка перегиба) относительно оси y . Если b > 0 , то график смещен влево, если b < 0 – вправо.
Число c
– это точка пересечения графика с осью y
. Если c
>0
, то график пересекает ось y
выше начала координат, если c
< 0
– ниже.
3. Функция вида y = k/x + b (гипербола)
Эта функция по виду напоминает функцию прямой, за тем исключением, что х находится в знаменателе . Это как раз и является ее отличительной особенностью. Число k отвечает за расположение функции по четвертям, если k > 0 , то ветви гиперболы располагаются в первой и третьей четвертях, если k < 0 , то ветви располагаются во второй и четвертой четвертях.
Число а
отвечает за сдвиг всей функции вниз (а
< 0
) или вверх (a
> 0
).
4. Функция вида y = a (прямая)
В этом случае функция выглядит как прямая, параллельная оси х . Например у = 2, это прямая линия, которая проходит параллельно оси х и пересекает ось у в точке 2.
5. Функция вида y = √x
Этот вид встречается в заданиях редко, однако лучше запомнить. Это практически парабола, но повернутая по часовой стрелке на 90 0 , а также в ней отсутствует ее нижняя половина. Если не понятно, то просто смотрите на рисунок:
Графики? - Легко! (ОГЭ: задание 23) .
Довольно часто встречаются ученики, пасующие перед второй частью, и, особенно перед 23-м заданием, где нужно построить график и ответить на вопрос по нему.
Некоторые мотивируют нежелание рассматривать это задание тем, что в школе (имея ввиду обычную, не математическую) такие задания не рассматриваются вовсе - зачастую школьные учителя из второй части рассмотрениют только задание 21. Другие считают, что раз даже на "пятёрку" решать это задание не требуется (как известно, на оценку "отлично" достаточно решить правильно 21 задание - такие требования предъявляются, например, на экзаменах 2018 года), то вообще непонятно, зачем оно даётся. Третьи испытывают скорее психологический страх, полагая, что все задания второй части такие сложные, что и готовить их к успешной сдаче экзамена не следует.
Между тем, задания на построение графиков с модулями и выколотыми точками не такие уж и сложные. И, как показывает опыт, научиться строить такие графики, при его на то желании может не только ученик, претендующий на "пятёрку", но также и любой хорошист. Для этого нужно только желание научиться строить такие графики.
Действительно, задания 23 из года в год предлагаются примерно одинаковые. Существует не более десятка (в действительности несколько меньше) типовых заданий, отличающихся друг от друга только числами. Опыт показывает, что освоить эти задания может любой достаточно мотивированный ученик за 3-4 занятия с репетитором. Исходя из моего многолетнего опыта подготовки учеников к экзамену ОГЭ (ГИА), многие из них, понимая, что решать эти задания можно легко научиться, после занятий со мной успешно решают это задание и на экзамене.
Ниже приведены два примера заданий 23. Конечно, это далеко не все типы этого задания. Все типы заданий № 23 я рассматриваю на занятиях со своими учениками.
Областью определения функции являются все значения кроме x = 0.
Решим неравенства и методом интервалов определим промежутки, при которых выполняется первое условие и при которых выполняется второе условие:
На участках [ - 2 ; 0) и [ 2 ; + ∞) выполняется первое условие системы, а на участках
(- ∞ ; -2] и (0 ; 2 ] выполняется второе условие системы. Значит,
записать функцию можно в следующем виде:
Строим график:
Прямая y = m - это прямая, параллельная оси OX. Такая прямая имеет одну обшую точку с графиком при m 1 = -1 или m 2 = 1
Запишем функцию в следующем виде:
значит,
Таким образом, график функции делится на два участка, причём на каждом участке базовым графиком будут параболы. Найдём вершины каждой по формуле
Прямая y = m - это прямая или параллельная оси абсцисс, или совпадающая с ней. По графику получаются два варианта. Если прямая y = m совпадает с осью
OX, то m 1 = 0. Рассмотрим случай, когда прямая проходит через точку, абсцесса которой равна -0,5 (на графике эта прямая изображена пунктиром). Для
определения значени m 2 нужно найти ординату точки, абсцисса которой равна -0,5. Для этого подставим это значение в формулу функции:
учитель математики
МОУ «Колталовская СОШ»
Калининского района
Тверской области
Цели урока:
- Обобщить и систематизировать знания, умения, навыки по теме урока
- Продолжить работу по подготовке к ОГЭ
- Развивать логическое мышление, речь, память, внимание
- Воспитывать аккуратность, самостоятельность
1. График какой функции изображён на рисунке:
- y=2x+4
- y=-2x+4
- y=x ²-4
- y=-x²+4
2. Какая из следующих парабол отсутствует на рисунке?
- y=(x-2) ²
- y= (x+2) ²
- y=x²+2
- y=x²-2
3. Каждую прямую соотнесите с её формулой:
4. Каждый график соотнесите с соответствующей ему формулой:
5. Используя график функции y=f(x), определите, какое утверждение верно:
- f(-1)
- Функция y=f(x) возрастает на промежутке Функция убывает на промежутке [-3;∞) Наибольшее значение функции равно 1, при х=-3 " width="640"
Построить график функции и по графику выяснить ее свойства.
У = -х 2 -6х-8
Свойства функции:
у0 на промежутке
(-∞;-4)U(-2;∞)
Функция возрастает на промежутке
(-∞;-3]
Функция убывает на промежутке
[-3;∞)
Наибольшее значение функции равно
1, при х=-3
План построения
1) Построить вершину параболы
2) Построить ось симметрии x=-1
3) Найти нули функции
4) Дополнительные точки
(-4; 11) ; (3;11)
5) Построить параболу по точкам
Задание 1
Задание 2
На рисунке изображен график квадратичной функции. Какая из перечисленных формул задает эту функцию?
Задание 3
На рисунке изображен график квадратичной функции. Какая из перечисленных формул задает эту функцию?
Задание 4
На каком рисунке изображён график функции y=f(x), обладающий свойствами:f(0)=2 и функция убывает на промежутке
Параболу, построенную в координатной плоскости, соотнесите с ее уравнением
ПОДУМАЙ!
ВЕРНО!
ПОДУМАЙ!
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 6 7
ПОДУМАЙ!
Напишите уравнение параболы, изображенной на рисунке.
ВЕРНО!
у=–(х–1) 2 +2
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 6 7
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
у=(х–1) 2 +2
ПОДУМАЙ!
у=–(х–1) 2 –2
По графику функции найдите наименьшее значение функции.
ПОДУМАЙ!
1 2 3 4 5 6 7
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
ПОДУМАЙ!
ВЕРНО!
ПОДУМАЙ!
Какая из функций является ограниченной сверху?
ПОДУМАЙ!
у=(–х–2) 2 +1
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
у=(х+2) 2 –1
ВЕРНО!
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 6 7
у=–(х+2) 2 –1
0 " width="640"
Какая из функций является ограниченной снизу?
ВЕРНО!
у=(–х–1) 2 +2
ПОДУМАЙ!
у=–(х–1) 2 +2
ПОДУМАЙ!
у=–2(х–1) 2 –2
ПОДУМАЙ!
= (–(х+1)) 2 +2
у=(–х–1) 2 +2
a 0
у = х 2 – 7х + 12 с осью Оу.
у = х 2 – 7х + 12
ПОДУМАЙ!
ВЕРНО!
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
Найдите координаты точки пересечения графика функции
у = х 2 – 7х + 12 с осью Оу.
у = х 2 – 7х + 12
ПОДУМАЙ!
ВЕРНО!
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
По графику функции найдите промежутки ее возрастания.
ПОДУМАЙ!
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 6 7
ВЕРНО!
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
Выберите график, соответствующий функции
у = (х – 1) 2 – 1
ПОДУМАЙ!
Верно!
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
Какую из функций можно назвать обратной пропорциональностью?
ПОДУМАЙ!
ВЕРНО!
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
Какая линия является графиком функции
ПОДУМАЙ!
прямая, проходящая через начало координат
прямая, проходящая через II и IV координатные четверти
ПОДУМАЙ!
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
гипербола
1 2 3 4 5 6 7
ВЕРНО!
парабола
ПОДУМАЙ!
График какой из приведенных ниже функций
изображен на рисунке?
Какой из графиков функций, представленных на рисунке является гиперболой?
ПОДУМАЙ!
гипербола
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
Нахождение значения коэффициента а
- 1) по графику определяем координаты вершины ( m , n )
- 2) по графику определяем координаты любой точки А (х 1 ;у 1 )
- 3) подставляем эти значения в формулу квадратичной функции, заданной в виде:
У= a (х- m ) 2 + n
- 4) решаем полученное уравнение.
- Найдите значение а по графику функции
у=ax 2 +bx+c , изображенному на рисунке.
- Координаты вершины: (m;n)=(-1;1);
- Подставляем в формулу У=a(х-m) 2 +n:
3=а(1-(-1)) 2 +1;
3=а(1+1) 2 +1;
Нахождение коэффициента b по графику квадратичной функции
- Находим значение коэффициента a (смотри выше)
- В формулу для абсциссы вершины параболы
m= -b/2a подставляем значения m и a
- Вычисляем значение коэффициента b .
- Найдите значение b по графику функции
- Решение:
1. Находим значение коэффициента а
Координаты вершины: (m ; n)=(-1;1);
Координаты любой точки графика: (х 1 ;у 1)=(1;-3);
Подставляем в формулу У= a (х- m) 2 + n:
3=а(1-(-1)) 2 +1;
3=а(1+1) 2 +1;
- 2. подставляем значения а и m в формулу
1=- b /(2 · (-1));
b =-2
Нахождение коэффициента с по графику квадратичной функции
- Находим ординату точки пересечения графика с осью Оу, это значение равно коэффициенту с , т.е. точка (0;с) -точка пересечения параболы с осью Оу.
- Если по графику невозможно найти точку пересечения с осью Оу, то находим коэффициенты a ; b
- Подставляем найденные значения a , b , координаты А(х 1 ; у 1 ) в уравнение
у= ax 2 + bx + c и находим с.
- Найдите значение с по графику функции
у= ax 2 + bx + c , изображенному на рисунке.
1. Ордината точки пересечения графика с осью Оу равна 0, следовательно,
- Найдите значение коэффициентов а, b ,с по графику функции
у= ax 2 + bx + c , изображенному на рисунке.
- Находим значение коэффициента а:
1=а(3-2) 2 –3;
2 . Находим значение коэффициента b :
- Находим значение с:
3=2*4-8*2+с с=5
Найдите значение а по графику
функции у = aх 2 + bx + c ,
изображенному на рисунке.
Подсказка
Найдите значение b по графику
функции у = aх 2 + bx + c ,
изображенному на рисунке.
Подсказка
Если нажать на прямоугольник «Подсказка» - переход на следующий слайд с разбором решения задания.
Найдите значение c по графику
функции у = aх 2 + bx + c ,
изображенному на рисунке.
Список литературы:
1. "Алгебра. Учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений" Ю.Н. Макарычев и др., изд-во «Просвещение», 2014.;
2. "Алгебра. Учебник для 9 кл. общеобразовательных учреждений" Ю.Н. Макарычев и др., изд-во «Просвещение», 2011.;
3. ОГЭ, Математика, 3000 задач с ответами, Часть 1, 2014. Семенов А.Л., Ященко И.В., 2013.